Questions du sujet
1. Calculer $h_0$ et $h_1$ et établir pour tout entier $n$, pour tout réel $x$, l’identité suivante : \[2h_{n+1}(x) – 2x h_n(x) + h_n'(x) = 0.\] 2. En déduire que $h_n$ est un polynôme de degré $n$ et de coefficient dominant $1$.\\ On admet que pour tous les entiers $m$ et $n$, \[ \int_{-\infty}^{+\infty} h_m(x)h_n(x)e^{-x^2}dx = \begin{cases} \sqrt{\pi} n!2^{-n} & \text{si } m=n \\ 0 & \text{si } m\neq n. \end{cases} \] 3. Montrer que pour tout réel $x$, l’identité suivante est satisfaite : \[ \left. \frac{d^n}{dt^n} e^{-(x-t)^2}\right|_{t=0} = 2^n e^{-x^2} h_n(x). \] 4. Montrer que pour tout réel $x$, la fonction $f_x$ de la variable réelle $t$ définie par \[ f_x(t) = e^{-(x-t)^2}, \] admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de convergence, \[ f_x(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k}{k!} 2^k h_k(x) e^{-x^2}. \] 5. Établir pour tout réel $x$ et tout entier positif $n$, l’équation de récurrence suivante : \[ 2h_{n+1}(x) – 2x h_n(x) + n h_{n-1}(x) = 0, \] avec la convention $h_{-1}(x) = 0$. } 6. Montrer que pour tout entier $n$, l’identité $h_n'(x) = n h_{n-1}(x)$ est satisfaite.\\ On pose maintenant pour tout entier $k$ et pour tout réel $x$, \[ \varphi_k(x) = \frac{1}{\sqrt{d_k}} e^{-\frac{x^2}{2}} h_k(x). \] 7. Calculer $\varphi_n(0)$ et $\varphi_n'(0)$ pour tout entier $n$. 8. Pour tout entier $k$, tout réel $x$ et tout réel $y$, exprimer \[ (x-y)h_k(x)h_k(y) \] uniquement en fonction de $h_{k+1}(x)$, $h_{k+1}(y)$, $h_k(x)$, $h_k(y)$, $h_{k-1}(x)$ et $h_{k-1}(y)$. 9. Établir, pour des réels $x$ et $y$ distincts, les identités suivantes : \[ (x-y) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{d_k} h_k(x) h_k(y) = \frac{1}{d_{n-1}} ( h_n(x) h_{n-1}(y) – h_n(y) h_{n-1}(x) ), \] \[ \sum_{k=0}^{n-1} \varphi_k(x) \varphi_k(y) = \frac{n}{2} \frac{ \varphi_n(x)\varphi_{n-1}(y) – \varphi_{n-1}(x)\varphi_n(y) }{x-y}. \] 10. Montrer que l’équation différentielle (S(r, $\beta$, $\gamma$)) a une solution unique dont on donnera l’expression.\\ (S(r, $\beta$, \(\gamma\))) : \[ \begin{cases} \rho”(x) + \gamma^2 \rho(x) = r(x),\, \text{pour tout réel } x,\\ \rho(0) = \beta, \\ \rho'(0) = 0. \end{cases} \] } 11. Montrer que pour tout réel $x$, \[ \varphi_{2m}(x) = \alpha_{2m} \cos(\sqrt{4m+1}\, x) + \int_0^x \frac{ \sin( \sqrt{4m+1}(x-y)) }{ \sqrt{4m+1} } y^2 \varphi_{2m}(y) dy, \] avec pour tout entier $m$, \[ \alpha_{2m} = \frac{(-1)^m}{\pi^{1/4}} \sqrt{ \frac{(2m)!}{2^m m! } }. \] 12. Trouver un équivalent de $\alpha_{2m}$ quand $m$ tend vers l’infini. 13. Montrer que pour tout réel $x$, l’inégalité suivante est vérifiée : \[ \left| \int_0^x \frac{ \sin( \sqrt{4m+1}(x-y)) }{ \sqrt{4m+1} } y^2 \varphi_{2m}(y) dy \right| \leq \frac{1}{ \sqrt{4m+1} } |x|^{5/2} \sqrt{5}. \] On pourra utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations (5). 14. Établir pour tout réel $x > 0$, la limite suivante : \[ \lim_{m\to+\infty} (-1)^m \pi^{1/4} m^{1/4} \varphi_{2m} \left(\frac{x}{2\sqrt{m}} \right) = \cos(x). \] 15. Montrer, pour tout $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$, les identités suivantes : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} K^{(N)}(x,z)K^{(N)}(z,y) dz = K^{(N)}(x,y), \] \[ \int_{-\infty}^{+\infty} K^{(N)}(x,x) dx = N. \] } 16. Montrer que $\vec{\sigma}$ définit une permutation de $\{1, \dots, k\}$ telle que $\vec{\sigma}(k)=k$. Calculer sa signature en fonction de celle de $\sigma$. (On distinguera le cas où $\sigma(k)=k$ du cas où $\sigma(k)\neq k$.) 17. Soit $\sigma\in S_k$, établir les propriétés suivantes : \[ \operatorname{card}\left( \theta^{-1}(\{\theta(\sigma)\}) \right) = \begin{cases} 1 & \text{si } \sigma(k) = k, \\ k-1 & \text{sinon}. \end{cases} \] 18. Montrer pour tout $(x_1, \dots, x_k) \in \mathbb{R}^k$, pour tout entier $N$, les identités suivantes : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \prod_{i=1}^k K^{(N)} \left( x_i, x_{\sigma(i)} \right) dx_k = \begin{cases} N \prod_{i=1}^{k-1} K^{(N)} (x_i, x_{\vec{\sigma}(i)}) & \text{si } \sigma(k) = k, \\ k \prod_{i=1}^{k-1} K^{(N)} (x_i, x_{\vec{\sigma}(i)}) & \text{sinon}. \end{cases} \] 19. En utilisant l’expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, déduire, des questions précédentes, que pour tout entier $k > 1$, \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{Det} K^{(N)} (x_1, \dots, x_k) dx_k = (N-k+1) \operatorname{Det} K^{(N)} (x_1, \dots, x_{k-1}), \] avec par convention $\operatorname{Det} K^{(N)} (x_1, \dots, x_k) = 1$ si $k=0$. 20. Soient $N$ réels, $x_1, \ldots, x_N$, montrer les deux égalités suivantes : \[ \det \begin{pmatrix} h_0(x_1) & h_1(x_1) & \cdots & h_{N-1}(x_1) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ h_0(x_N) & h_1(x_N) & \cdots & h_{N-1}(x_N) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{N-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_N & \cdots & x_N^{N-1} \end{pmatrix} = \prod_{1\leq iFAQ
Les polynômes de Hermite constituent une famille importante de polynômes orthogonaux qui interviennent dans de nombreux sujets de concours, particulièrement dans les épreuves de mathématiques des concours Mines-Ponts. Ils servent non seulement à construire des bases orthogonales en analyse, mais aussi à résoudre des équations différentielles et à explorer les fondements de la mécanique quantique. Maîtrise bien leur définition, leurs propriétés de récurrence et d’orthogonalité, car tu auras fréquemment à les manipuler dans des calculs d’intégrales ou lors de preuves par récurrence.
Les équations différentielles sont omniprésentes, car elles jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Dans ce sujet, elles permettent d’étudier les fonctions issues des polynômes de Hermite, mais aussi de relier des résolutions analytiques avec des propriétés de symétrie, d’orthogonalité et de développement en série entière. Comprendre les méthodes de résolution (variation des constantes, utilisation des séries entières, conditions initiales spécifiques) est indispensable pour briller lors des épreuves écrites.
L’orthogonalité entre fonctions ou polynômes, notamment dans le cadre du produit scalaire du type \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) g(x) e^{-x^2} dx \), te permet de développer n’importe quelle fonction (bien choisie) sur la base considérée, ici celle des Hermite par exemple. Cette propriété est clé pour simplifier des calculs d’intégrales, résoudre des systèmes linéaires ou décomposer des opérateurs. Garde à l’esprit qu’utiliser l’orthogonalité, c’est accéder plus rapidement à la réponse, mais cela suppose de bien connaître les conditions d’application et les normalisations usuelles. Pour t’exercer et vérifier ta maîtrise, débloque les corrigés et entraîne-toi sur les exercices associant polynômes orthogonaux et analyse fonctionnelle sur Prépa Booster !
Lorsqu’une fonction est exprimée sous une forme exponentielle ou analytique, il faut penser au développement en série entière. Commence par calculer les dérivées successives, regarde le schéma de récurrence et identifie la structure de la série (notamment le rayon de convergence pour justifier la validité du développement). Cela t’oblige à manipuler les formules de Taylor et à faire le lien entre analyse réelle et suites de fonctions. C’est la routine des sujets exigeants du concours Mines-Ponts, alors anticipe la question et entraîne-toi dès maintenant !
Les formules de récurrence sont la pierre angulaire de l’étude des suites et familles de polynômes. Savoir sortir rapidement la bonne relation te permet de démontrer très efficacement le degré ou l’expression générale d’une famille de polynômes, voire d’en déduire des propriétés sur leurs dérivées et coefficients dominants. Maîtrise bien la différence entre relations de récurrence ascendantes et descendantes, et mémorise-en quelques exemples types pour gagner du temps en conditions d’épreuve.
Le noyau de projection \( K^{(N)}(x,y) \) est une construction essentielle qui intervient lors de la résolution de problèmes d’orthogonalité et de projections dans les espaces de fonctions. Il se retrouve très fréquemment en mathématiques appliquées et en physique mathématique. Ce noyau permet souvent d’exprimer, via des formules de type déterminantal, la solution à divers problèmes notamment ceux liés aux systèmes linéaires et à la théorie spectrale. Savoir jongler entre des expressions intégrales, des sommes sur les bases orthogonales et la présentation sous forme de déterminant, c’est aller droit au but dans la rédaction.
Les intégrales de type Gaussienne, notamment celles impliquant \( e^{-x^2} \) et des polynômes, jouent un rôle central car elles sont à la base d’une grande partie des outils en probabilités, en physique quantique, mais aussi dans l’analyse fonctionnelle. Elles permettent de définir des produits scalaires, de normaliser des bases et d’assurer la convergence d’une grande variété de séries et d’intégrales. Savoir résoudre ce type d’intégrales et manipuler leurs propriétés est absolument incontournable en Maths Sup/Spé, et clairement valorisé en concours.