Questions du sujet
1. Montrer, pour tout entier relatif $m$, que $u_m$ est $2\pi$-périodique, continue sur $\mathbb{R}$ et que l’on a la relation suivante : \[ \int_0^{2\pi} |u_m(y)|^2 \, dy = 2\pi \sum_{n\in\mathbb{Z}} |a_{m,n}(u)|^2. \] } 2. Pour tout réel $y$, établir l’identité \[ \sum_{m\in\mathbb{Z}} |u_m(y)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |u(x, y)|^2 \, dx. \] } 3. Prouver que la série double \[ \sum_{m\in\mathbb{Z}} \sum_{n\in\mathbb{Z}} |a_{m,n}(u)|^2 \] converge et établir l’identité \[ \sum_{m\in\mathbb{Z}} \sum_{n\in\mathbb{Z}} |a_{m,n}(u)|^2 = \frac{1}{4\pi^2}\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |u(x, y)|^2 \, dx \, dy. \] } 4. Prouver que pour tout couple de réels $(x, y)$, la série double suivante est sommable : \[ \sum_{m\in\mathbb{Z}} \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_{m, n}(u)\, e^{imx+iny}. \] 5. Prouver que $v$ ainsi définie est continue.} 6. Démontrer que $v$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ et que pour tout couple $(k, l)$ d’entiers naturels : \[ \frac{\partial^{k+l}v}{\partial x^k \partial y^l}(x, y) = \sum_{m\in\mathbb{Z}} \sum_{n\in\mathbb{Z}} (im)^k (in)^l a_{m,n}(u) e^{imx+iny}. \] } 7. Soit un réel $y$. Montrer que pour tout entier relatif $k$, \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} v(x, y) e^{-ikx} dx = \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_{k,n}(u) e^{iny}. \] } 8. Pour tout couple $(k, l)$ d’entiers relatifs, calculer $a_{k, l}(v)$.} 9. En déduire que $u = v$.} 10. Pour tout couple d’entiers relatifs $(m, n)$, exprimer $a_{m,n} \left( \frac{\partial u_0}{\partial x} \right)$ en fonction de $a_{m,n}(u_0)$.} 11. Démontrer, pour tous les entiers naturels $k$ et $l$, que la suite double \[ \Big( |a_{m,n}(u_0)| (1 + |m| )^k (1+|n|)^l \Big)_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2} \] est bornée.} 12. Construire une fonction $u$ qui soit solution du problème posé.\\ \textit{Indication : on pourra chercher $u$ sous la forme} \[ u(t, x, y) = \sum_{m\in\mathbb{Z}}\sum_{n\in\mathbb{Z}} \varphi_{m, n}(t)\alpha_{m, n}e^{imx+iny}. \] } 13. Montrer que la fonction $E_u$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$. Exprimer sa dérivée sous forme d’une intégrale sur $[0,2\pi]^2$.} 14. Pour tout $(t, x, y)$ appartenant à $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}^2$, établir l’identité suivante~: \[ \left( \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \frac{u}{2} \frac{\partial \bar{u}}{\partial t} + \frac{\bar{u}}{2} \frac{\partial u}{\partial t} \right)(t, x, y) = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial}{\partial x} \left( u \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \bar{u} \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( u \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \bar{u} \frac{\partial u}{\partial y} \right) \right)(t, x, y). \] } 15. Prouver que $E_u(t) = E_u(0)$ pour tout $t > 0$.} 16. Montrer que le problème posé possède au plus une solution.}FAQ
Les séries de Fourier doubles te permettent d’analyser des fonctions périodiques de deux variables. Elles sont essentielles pour décomposer des fonctions sur le carré unité, étudier des problèmes aux limites, et démontrer des résultats de régularité ou de convergence. Ce type d’outils est central à la fois pour les sujets d’analyse et pour les applications en physique mathématique, comme la résolution d’équations aux dérivées partielles. N’hésite pas à débloquer les corrigés Prépa Booster pour voir comment exploiter ces outils dans une rédaction soignée.
C’est un classique des concours ! L’étude de la régularité te fait manipuler l’analyse réelle et complexe, mais aussi tous les outils de convergence de séries de fonctions. Cela te permet de montrer que des objets définis par séries (comme les fonctions de plusieurs variables périodiques) sont bien des fonctions régulières. Ces points de rigueur font souvent la différence en maths Mines-Ponts. Pour t’entraîner sur ces raisonnements, tu peux retrouver des corrigés détaillés sur Prépa Booster.
L’identité de Parseval est un outil clé : elle te relie l’énergie (en termes d’intégrale du carré de la fonction) avec la somme des carrés des coefficients de Fourier. C’est exactement ce que tu retrouves dans ce sujet Mines-Ponts pour démontrer la convergence et l’orthogonalité des développements en série. Cela te sert aussi lorsque tu dois prouver des propriétés d’unicité ou d’approximation de fonctions dans l’espace de Hilbert \( L^2 \). Un incontournable en analyse que tu retrouveras dans beaucoup de corrigés sur Prépa Booster.
En concours, on te demande souvent de prouver qu’il existe au plus une solution, ou de construire explicitement une solution à partir de séries de Fourier. Astuce d’expert : rédige proprement tes vérifications des conditions initiales ou au bord, et utilise pour l’unicité souvent la positivité d’un certain ‘énergie’ ou une intégrale. Pour maîtriser ces techniques, débloque les corrigés sur Prépa Booster et accède à une banque d’exercices similaires corrigés.
La convergence (simple ou absolue) doit toujours être vérifiée si tu manipules l’ordre des sommes ou si tu justifies une régularité. Garde en tête les critères classiques (comparaison, majoration par une série convergente…) et explicite bien l’utilisation du théorème de Fubini-Tonelli. En Maths PSI, ces points sont très surveillés par les correcteurs.
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