Questions du sujet
1. Soit $\varphi(\lambda) = \lambda^{2t}(1 – \lambda)^2$ pour $\lambda \in [0, 1]$. Calculer $\displaystyle\max_{\lambda \in [0, 1]} \varphi(\lambda)$. 2. Soit $\psi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\psi(x) = |x|^{2t}$. Montrer que $\psi$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $\psi’$ et $\psi”$. 3. Soit $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$. Prouver que $\ell = |h|^{2t}$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $\ell’$ et $\ell”$. 4. Montrer que pour tout $\beta \in \mathbb{R}^n$, la fonction $\left(\varepsilon \mapsto L_\alpha(\varepsilon, \beta)\right)$ est dérivable et exprimer sa dérivée sous forme d’intégrale. 5. Montrer que pour tout $\beta \in \mathbb{R}^n$, la fonction $\left(\varepsilon \mapsto L_\alpha(\varepsilon, \beta)\right)$ est deux fois dérivable et exprimer sa dérivée seconde sous forme d’intégrale.} 6. Établir que $$ I_t(\alpha + \beta) – I_t(\alpha) = \int_0^1 \frac{\partial L_\alpha}{\partial \varepsilon}(\varepsilon, \beta) d\varepsilon, $$ puis montrer que $I_t$ est continue sur $\mathbb{R}^n$. 7. En utilisant les propriétés de $L_\alpha$, montrer que les dérivées partielles $\frac{\partial^2 I_t}{\partial \alpha_k^2}$ pour $k = 1, \cdots, n,$ existent et les exprimer sous forme d’intégrales. 8. Montrer que $I_t$ est une fonction bornée sur $\mathbb{R}^n$, qui atteint son minimum. On note $\tilde{\alpha}$ l’un des points où le minimum est atteint. 9. Montrer que pour tout $\beta \in \mathbb{R}^n$, $$ \frac{\partial^2 L_{\tilde{\alpha}}}{\partial \varepsilon^2}(0, \beta) \ge 0 $$ puis que $$ \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 I_t}{\partial \alpha_k^2}(\tilde{\alpha}) \ge 0. $$ 10. Établir alors l’inégalité suivante : $$ I_t(\tilde{\alpha}) \leq (2t – 1) \|r\|^2 I_{t-1}(\tilde{\alpha}). $$} 11. Établir la majoration suivante : $$ I_t(\tilde{\alpha}) \leq 2\pi \left[(2t – 1)\|r\|^2\right]^t. $$ 12. Établir les deux identités $$ \int_0^{2\pi} P_r(x, \alpha) dx = 0 \quad \text{et} \quad \int_0^{2\pi} |P_r(x, \alpha)|^2 dx = \pi \| r \|^2. $$ 13. Montrer que la borne supérieure $S = \sup_{x \in \mathbb{R}} |P_r(x, \alpha)|$ est finie et qu’il existe $x_\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $$ |P_r(x_\alpha, \alpha)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |P_r(x, \alpha)|. $$ 14. Montrer que $\|r\|^2 \leq 2S^2$. 15. Montrer que la fonction $x \mapsto P_r(x,\alpha)$ est non identiquement nulle et n’est pas de signe constant.} 16. Soit $\lambda \in ]0, 1[$. Soit $V^+_\lambda = \{\xi \in [x_\alpha, x_\alpha + 2\pi],\, |P_r(\xi, \alpha)| = \lambda S\}$. Montrer que $V^+_\lambda$ est un ensemble compact non vide. Soit $b = \min\{\xi,\, \xi \in V^+_\lambda\}$. 17. Montrer qu’il existe $a$ tel que : \[ a < x_\alpha < b \text{ et } b - a < 2\pi,\quad |P_r(a, \alpha)| = |P_r(b, \alpha)| = \lambda S, \] \[ |P_r(x, \alpha)| > \lambda S \text{ pour tout } x \in\,]a, b[. \] 18. Établir les relations \[ 2(1-\lambda)S = \left|\int_a^b \frac{\partial P_r}{\partial x}(x, \alpha) dx\right| \] et \[ \left[2(1-\lambda)S\right]^2 \leq (b-a) \int_a^b \left| \frac{\partial P_r}{\partial x}(x, \alpha)\right|^2 dx. \] 19. Établir l’inégalité suivante : \[ \int_a^b \left| \frac{\partial P_r}{\partial x}(x, \alpha)\right|^2 dx \leq \pi \sum_{k=1}^n k^2 r_k^2. \] 20. Établir les inégalités suivantes : \[ \frac{2}{\pi} \frac{\|r\|^2}{\sum_{k=1}^n k^2 r_k^2}(1-\lambda)^2 \leq (b-a) \leq I_t(\tilde{\alpha})(\lambda S)^{-2t}. \] } 21. Montrer qu’il existe une constante $A$, indépendante de $n$, $r$, $t$ et $\tilde{\alpha}$, telle que l’inégalité suivante soit satisfaite : \[ S^2 \leq A_t \left( \sum_{k=1}^n k^2 r_k^2 \right)^{1/t} \left( \sum_{k=1}^n r_k^2 \right)^{1-1/t}. \] }FAQ
Ce sujet fait intervenir une large palette d’outils d’analyse, notamment la dérivation (calcul de dérivées premières et secondes), la continuité des fonctions, l’étude de la régularité (classe C^2), et tout ce qui touche à l’analyse fonctionnelle sur ℝ^n. Tu vas aussi travailler sur le calcul d’intégrales dépendant de paramètres, la manipulation des normes euclidiennes et des polynômes trigonométriques. C’est l’occasion de bien consolider ces fondamentaux incontournables pour réussir les concours d’entrée aux grandes écoles d’ingénieurs.
La recherche de maximum, de minimum ou de borne supérieure permet souvent de donner des estimations quantitatives cruciales (majorations, minorations) dans tout problème d’analyse. Dans ce sujet, ce type de problématique apparaît à travers l’étude de la fonction φ ou avec la borne supérieure du module d’un polynôme trigonométrique. Savoir optimiser ou borner une fonction, c’est un vrai levier pour démontrer des inégalités et valider la structure d’un raisonnement mathématique au concours. Si tu veux vraiment progresser, travailler ce genre de question avec un corrigé détaillé est essentiel !
Maîtriser la classe C², c’est connaître l’existence et la continuité des dérivées premières et secondes d’une fonction. C’est capital dans les études d’intégrabilité, les développements limités, l’analyse de la régularité d’une expression composée et dans l’usage des théorèmes généraux (Taylor, Rolle, etc.). Pour ce sujet, l’attente porte notamment sur la justesse de l’écriture des dérivées pour des fonctions composées et l’exploitation de ces régularités pour établir des résultats d’inégalités. Si jamais tu bloques sur ces aspects, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster pour progresser plus vite, profiter d’exercices corrigés et du dashboard personnalisé !
Les polynômes trigonométriques te suivent partout dans les sujets de CPGE, car ils sont au cœur du lien entre analyse réelle et calculs complexes. Savoir identifier leurs périodes, étudier leur module, comprendre leur développement et tirer parti de l’orthogonalité sur un intervalle, c’est ce qui va te permettre d’établir des majorations ou des identités. Ce type de question, présente dans l’épreuve de Mines-Ponts PSI 2007, nécessite rigueur et entraînement. Consacrer du temps à refaire ces manipulations avec des corrigés détaillés est le moyen le plus sûr de progresser !
Ce sujet fait appel à la puissance de la norme euclidienne, particulièrement utile en dimension finie pour obtenir des résultats de bornes, d’optimisation ou d’études de convergence. L’algèbre linéaire intervient en lien avec les familles de vecteurs, la manipulation des coefficients réels ou la construction d’expressions à valeurs vectorielles. À travers des objets comme \(r = (r_1, …, r_n)\), tu mets en œuvre ces deux domaines pour obtenir des estimations fines dans des estimations de grandeurs analytiques. C’est une transdisciplinarité caractéristique des concours d’entrée en école d’ingénieur.
Les inégalités intégrales sont un incontournable pour comparer des quantités et obtenir des bornes lors des questions d’analyse approfondie au concours. Que ce soit à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, de Hölder ou de Bessel, elles permettent de contrôler le comportement d’une fonction ou d’une suite de fonctions par rapport à une norme ou une quantité connue. Savoir les manipuler te donnera rapidement un coup d’avance dans toute épreuve du concours Mines-Ponts PSI. Un point clé : relis bien la théorie, entraîne-toi et va voir des corrigés rédigés avec pédagogie pour vérifier ta méthode !
Pour progresser, rien de tel que d’analyser de vrais énoncés issus des concours, en s’entraînant à rédiger chaque argument en détail et sans raccourci. Identifie les points où tu bloques (développements limités, optimisation, intégrales dépendant de paramètres) et confronte-toi à la correction structurée d’experts – ça fait toute la différence ! N’oublie pas que sur Prépa Booster, tu peux débloquer les corrigés des écrits, profiter d’une banque d’exercices corrigés similaires et suivre tes progrès avec le dashboard personnalisé. C’est tout ce qu’il te faut pour faire la différence le jour du concours !