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Mines Maths 2 PSI 2005

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Énoncé de l’épreuve

💡 Si un sujet identique a été utilisé par le concours pour différentes filières, le sujet affiché ci-dessous peut-être celui d'une autre filière. Le contenu reste identique.

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Questions du sujet

1. Soit $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Déterminer toutes les parties vectorielles $F$ de $E$ stables par dérivation. 2. Soit $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, et soit $F$ l’ensemble des solutions de l’équation différentielle $y” + y’ + y = 0$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, et qu’il existe $f_1, f_2 \in E$ tels que $F = \mathrm{Vect}(f_1, f_2)$. 3. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels $G$ de $E$ tels que $\forall f \in G,\ f(0) = f'(0) = 0$ et qui sont stables par dérivation. Montrer que pour tout tel $G$, il existe un sous-espace vectoriel $F$ de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ tel que $G = \{f \in E\ |\ f(0) = f'(0) = 0 \text{ et } f \in F\}$. 4. Soit $f \mapsto (f(0), f'(0))$ l’application linéaire de $F$ dans $\mathbb{R}^2$. Donner la matrice de cette application dans une base $(f_1, f_2)$ de $F$. 5. Soit $G = \{g \in E\ |\ g(0) = g'(0) = 0\}$ et $(f_1, f_2)$ une base de $F$. Montrer que $E = F \oplus G$.} 6. Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ linéaire et $A$ la matrice associée à $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ : \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 8 \\ 5 & -6 & 10 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \] Rédiger les conditions sur $f$ pour qu’il existe des réels $x,y,z$ non tous nuls tels que $x – y + z = 0$ et $f(x,y,z)=0$. 7. Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$, soit $f$ une forme linéaire sur $E$. Montrer que l’ensemble des solutions de $f(x) = 0$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 8. Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension $n \geq 1$, et $(e_i)_{i \in I}$ une famille génératrice de $E$. Montrer qu’il existe une famille $(f_i)_{i \in J}$ de formes linéaires sur $E$ telle que $E = \bigcap_{i\in J} \ker f_i$. 9. Soit $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, $F = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, et soient les applications différentielles $\Delta : f \mapsto \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} – \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ et $\Phi: f \mapsto \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$. Soit $G = \ker \Delta \cap \ker \Phi$. Déterminer des familles génératrices pour $G$. 10. Soit $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ et $F$ un sous-espace vectoriel stable par $\Delta$ et $\Phi$. Montrer que $F = x y F \oplus \ker \Phi$.} 11. On considère l’application $w:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ donnée par $w(u,v) = \left(\frac{u+v}{2}, \frac{u-v}{2}\right)$, et l’application linéaire $L:F \to E$ définie par $L(f) = f \circ w$. Montrer que $L(\ker \Delta) = \ker \widetilde{\Phi}$, où $\widetilde{\Phi}$ est l’application correspondante dans la nouvelle base. 12. Montrer que $L[(x^2 – y^2)F] = uv F$. 13. Soit $(f_i)_{1\leq i\leq k}$ une famille $k$ de formes linéaires indépendantes sur $E$ (espace vectoriel sur $\mathbb{R}$), et $H_i = \ker f_i$. Montrer que \[ \bigcap_{i=1}^k H_i = \ker \varphi, \] où $\varphi : E \to \mathbb{R}^k$, $x \mapsto (f_1(x),\ldots,f_k(x))$. 14. Soient $D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z=0, y=x\}$ et $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 6y – 4z + 10 = 0\}$. Déterminer la nature de l’intersection de $D$ et $S$.}

FAQ

Quels sont les principaux concepts de l’algèbre linéaire abordés dans le sujet de maths PSI Mines-Ponts 2005 ?

Dans ce sujet, tu travailles sur la stabilité par dérivation de sous-espaces de fonctions, la notion de sous-espace vectoriel, la caractérisation des noyaux d’applications et de formes linéaires, ainsi que la décomposition d’un espace vectoriel en somme directe. Tu seras aussi amené à manipuler la notion de famille génératrice, à examiner des systèmes linéaires et à croiser la théorie avec des exemples concrets. Ce sont des piliers fondamentaux de l’algèbre linéaire en CPGE.

Comment aborde-t-on les équations différentielles linéaires à coefficients constants dans ce type d’épreuve ?

Pour traiter les équations différentielles linéaires à coefficients constants, comme celle du sujet (par exemple y” + y’ + y = 0), il faut d’abord déterminer l’ensemble des solutions, souvent en passant par la résolution de l’équation caractéristique associée. Ensuite, on cherche une base du sous-espace des solutions, en montrant qu’il est de dimension finie et en explicitant des fonctions indépendantes qui le génèrent. Ces méthodes sont incontournables en concours et permettent de réinvestir rapidement les bases du cours en situation de problème.

Quelles sont les méthodes classiques pour identifier la nature d’une intersection de surfaces ou de sous-espaces dans l’espace ?

Identifier la nature d’une intersection, comme celle d’un plan et d’une sphère dans le sujet, passe par une analyse géométrique et algébrique. On commence par écrire les équations des objets, puis on résout simultanément pour caractériser l’intersection : point, droite, cercle, ou vide. L’étude des conditions d’intersection (discriminant, position relative, etc.) mobilise autant la géométrie que la résolution de systèmes linéaires ou quadratiques. Pour maîtriser ce type de questions, n’hésite pas à consulter les corrigés détaillés sur Prépa Booster après avoir travaillé par toi-même.

En quoi la notion de stabilité par dérivation est-elle importante dans l’étude des sous-espaces de fonctions ?

La stabilité par dérivation permet d’identifier des sous-espaces de fonctions particulièrement structurés et adaptés à la résolution d’équations différentielles. Cela signifie que si une fonction appartient à un sous-espace, alors toutes ses dérivées de tout ordre en font aussi partie. Cette propriété est essentielle pour appliquer les outils de l’analyse fonctionnelle et est fréquemment testée dans les épreuves de concours comme Mines-Ponts PSI.

Quels conseils pour bien préparer l’épreuve de mathématiques du concours Mines-Ponts en filière PSI ?

Maîtrise d’abord parfaitement les fondamentaux : espaces vectoriels, applications linéaires, équations différentielles et aspects géométriques. Entraîne-toi sur des sujets de concours, travaille avec régularité et lis les corrigés pour comprendre les raisonnements attendus. Garde en tête que tu peux accéder à encore plus de corrigés, à des exercices corrigés supplémentaires et à ton dashboard personnalisé en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !