Questions du sujet
1. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel $C$ ? 2. Démontrer que l’espace $C$ est une $\mathbb{R}$-algèbre associative unitaire. L’élément unité de cette algèbre est noté $e$. 3. Démontrer que le sous-ensemble $G$ de $C$ est, pour la loi produit $*$, un groupe. 4. Soit $H$ le sous-ensemble des éléments $(P, 0)$ du groupe $G$. Démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ isomorphe au groupe $SO(\mathbb{R}^3)$. 5. Soit $A$ le sous-ensemble des éléments $(I_3, Q)$ de $G$ ($I_3$ est la matrice unité). \\ $A = \{(I_3, Q) \mid (I_3, Q) \in G \}$. \\ Est-ce que $A$ est un sous-groupe de $G$ ?} 6. Démontrer que, pour qu’un élément $(P, Q)$ de $C$ appartienne à $G$, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice $P$ soit égal à $1$ et que la relation $t(P, Q) * (P, Q) = e$ ait lieu :\\ $(P, Q) \in G \iff t(P, Q) * (P, Q) = e, \det P = 1$. 7. Soit $\vec{a}$ un vecteur de $E^3$ ; soit $p_{\vec{a}}$ l’endomorphisme de $E^3$ dans lui-même qui, au vecteur $\vec{x}$, associe le produit vectoriel des vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{x}$ : $\vec{x} \mapsto \vec{a} \wedge \vec{x}$. Quelle est la matrice $P_{\vec{a}}$ associée à l’application $p_{\vec{a}}$ dans la base $\mathcal{B}$ de $E^3$ ? 8. Soit $r$ une rotation de $E^3$ dans lui-même ; comparer pour deux vecteurs quelconques $\vec{x}$ et $\vec{y}$ de $E^3$ les expressions suivantes : \\ $r(\vec{x} \wedge \vec{y}),\ r(\vec{x}) \wedge r(\vec{y})$. 9. Démontrer que, si $r$ est une rotation de $E^3$ et $\vec{a}$ un vecteur de $E^3$, il existe un vecteur $\vec{b}$ de $E^3$ tel que l’endomorphisme $r \circ p_{\vec{a}}$, composé de $p_{\vec{a}}$ et de $r$, est égal à l’endomorphisme $p_{\vec{b}} \circ r$, composé de $r$ et de $p_{\vec{b}}$ : \\ $r \circ p_{\vec{a}} = p_{\vec{b}} \circ r$ ; \\ exprimer ce vecteur $\vec{b}$ en fonction du vecteur $\vec{a}$ et de la rotation $r$. 10. Soit $M$ un point quelconque de la droite $D$. Démontrer que le vecteur $\vec{v}$, égal au produit vectoriel des vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\vec{u}$, est indépendant du point $M$ de la droite $D$ :\\ $\vec{v} = \overrightarrow{OM} \wedge \vec{u}$.\\ Comparer les directions des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.} 11. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace $E^3$ tels que le vecteur $\vec{u}$ soit unitaire $(\|\vec{u}\| = 1)$ et $\vec{v}$ orthogonal à $\vec{u}$ $(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0)$. Déterminer, à l’aide des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u} \wedge \vec{v}$, les vecteurs $\vec{x}$ de $E^3$, solutions de l’équation suivante :\\ $\vec{x} \wedge \vec{u} = \vec{v}$. 12. Étant donnés deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l’espace $E^3$ tels que le vecteur $\vec{u}$ soit unitaire $(\|\vec{u}\| = 1)$ et $\vec{v}$ orthogonal à $\vec{u}$ $(\vec{u}\cdot \vec{v} = 0)$, démontrer qu’il existe une seule droite $D$ de l’espace $E$ telle qu’un vecteur directeur unitaire de la droite $D$ soit le vecteur $\vec{u}$ et que tout point $M$ de $D$ vérifie la relation suivante :\\ $\overrightarrow{OM} \wedge \vec{u} = \vec{v}$. 13. Exemple : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont définis, dans le repère $Oxyz$, par les relations suivantes :\\ $\vec{u} = \vec{i} ; \vec{v} = b\vec{j} + c\vec{k}$,\\ où $b$ et $c$ sont deux réels donnés. Déterminer la droite $D$ correspondante. 14. À quelle condition nécessaire et suffisante deux couples de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$ et $(\vec{u}’, \vec{v}’)$, appartenant à $P$, déterminent la même droite $D$ ? 15. Aux deux droites $D$ et $D’$ de l’espace $E$, muni du repère orthonormé direct $Oxyz$, sont associés d’après la question 14 des couples de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$ et $(\vec{u}’, \vec{v}’)$ ; démontrer que, le couple de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$ étant fixé, il est possible de choisir le couple de vecteurs $(\vec{u}’, \vec{v}’)$ de façon que les vecteurs $\vec{u}’$ et $\vec{v}’$ s’expriment au moyen des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ par les relations suivantes :\\ $\vec{u}’ = \alpha(\vec{u}),\ \vec{v}’ = \alpha(\vec{v}) + \beta(\vec{u})$,\\ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux endomorphismes de $E^3$ tels que le déterminant de $\alpha$ soit strictement positif $(\det \alpha > 0)$.} 16. Au déplacement $d$ est donc associé le couple des deux endomorphismes $\alpha$ et $\beta$. Soient $A$ et $B$ les matrices associées aux endomorphismes $\alpha$ et $\beta$ dans une base orthonormée directe de $E^3$. Démontrer que le couple de matrices $(A, B)$ appartient au groupe $G$. 17. Démontrer que l’application qui, au déplacement $d$ de $E$ associe l’élément $(A, B)$ du groupe $G$, est injective. 18. Exemple : soit $D$ la droite du plan $xOy$ d’équation $y = y_0$ ($y_0$ est un réel différent de zéro donné) ; soit $D’$ son image par le déplacement égal à la rotation d’axe $Oz$ et d’angle $\theta$ suivie de la translation de vecteur $\vec{j} + \vec{k}$. Déterminer les endomorphismes $\alpha$ et $\beta$ associés à ce déplacement et les couples de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$ et $(\vec{u}’, \vec{v}’)$ associés respectivement aux droites $D$ et $D’$. Vérifier dans ce cas particulier la relation obtenue à la question 15. 19. Démontrer que l’application $J$ qui, à un déplacement $d$ de l’espace $E$ associe le couple de matrices $(A, B)$ du groupe $G$ est bijective. 20. Soit $d$ un déplacement, distinct de l’application identique ; à ce déplacement est associé un couple de matrices $(A, B)$ appartenant à $G$. Rechercher l’existence d’une droite invariante par le déplacement $d$ en considérant le couple de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$ associé à cette droite. Écrire les relations vérifiées par ces vecteurs inconnus $\vec{u}, \vec{v}$. Quelle conclusion y a-t-il lieu d’en tirer sur le vecteur $\vec{u}$ ?} 21. Déterminer la droite invariante dans l’exemple de la question 18.}FAQ
Dans ce sujet, tu retrouveras principalement des notions fondamentales liées aux espaces vectoriels, aux endomorphismes (particulièrement dans R³), aux sous-groupes, aux groupes d’isométries et aux structures algébriques comme les algèbres et les groupes. La manipulation des matrices, notamment orthogonales et spéciales, ainsi que la compréhension des actions de groupe sur des ensembles structurés géométriquement, sont au cœur de l’épreuve.
Le produit vectoriel te permet non seulement de résoudre des problèmes de géométrie dans l’espace (calculs de vecteurs orthogonaux, directions ou déterminations de plans), mais il intervient aussi de façon centrale dans la représentation des rotations et la structuration des groupes comme SO(3). Dans ce sujet, il joue un rôle clé quand il s’agit de lier algèbre matricielle, combinatoire des sous-groupes et représentation des déplacements dans l’espace.
Une algèbre associative unitaire sur ℝ, c’est un espace vectoriel réel muni d’une loi interne (généralement le produit matriciel ou une composition) qui est associative, et qui possède un élément neutre. On retrouve cette structure parce qu’elle permet de décrire et de manipuler les objets comme les matrices associées aux déplacements, les rotations, ou même certains sous-ensembles ayant une signification géométrique ou physique. Ce langage te permet de raisonner de manière générale et efficace sur des ensembles de transformations.
SO(3) désigne le groupe des rotations préservant l’orientation et la norme dans l’espace euclidien de dimension 3. Il apparaît dès qu’il est question de symétries spatiales, de déplacements ou d’invariants liés à la géométrie de l’espace. Dans ce sujet, tu es amené à manipuler SO(3) via les matrices orthogonales de déterminant 1 et à exploiter ses propriétés pour décrire les sous-ensembles d’isométries, d’où toute l’importance de savoir jongler avec ces objets.
Pour déterminer une droite invariante, il faut chercher un vecteur directeur qui est conservé (ou simplement transformé selon une certaine règle) par l’action de l’application. Cela ramène souvent à la résolution d’une équation vectorielle ou matricielle, traduisant l’invariance recherchée. Dans le sujet Mines-Ponts PSI 2003, cette question fait le lien entre algèbre et géométrie. Pour voir comment structurer ton raisonnement ou t’entraîner sur ce type d’exercice, je t’invite à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
La bijection permet de garantir que chaque déplacement (ou isométrie) correspond à un unique couple de matrices, et réciproquement. Cela t’assure une présentation claire et rigoureuse des applications linéaires ou affines. Ce type de correspondance structure ta réflexion et t’aide à comprendre en profondeur la construction des groupes d’isométries et leur action sur l’espace.
Pour progresser, alterne les entraînements sur des questions de cours (définitions, propriétés, preuves type) et la pratique sur des exercices d’application, issus des concours ou des annales. L’idéal est de varier les supports et de t’auto-corriger avec des corrigés détaillés. Pour aller plus loin et structurer ta révision avec des corrigés d’épreuves, d’exos corrigés et un dashboard personnalisé, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster—tu pourras t’entraîner de façon ciblée et progresser à ton rythme !