Questions du sujet
1. Vérifier que pour tout vecteur $X =
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
\in M_{n,1}(\mathbb{R})$ on a :
$X^TAX = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j}x_ix_j$.
2. Montrer que si $A \in S^+_n(\mathbb{R})$, les valeurs propres de $A$ sont des réels positifs ou nuls.
3. Soit $f$ une application continue sur $[a;b]\times[c;d]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$.
Pour $(x,t) \in [a;b]\times[c;d]$ on pose : $\varphi(x,t) = \int_a^x f(u,t) \, du$.
Montrer que pour tout $x\in[a;b]$, l’application $t\mapsto \varphi(x,t)$ est continue sur $[c;d]$.
4. On pose alors, pour tout $x\in[a;b]$: $\psi(x) = \int_c^d \varphi(x,t)\, dt$. Montrer que $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a;b]$ ; préciser $\psi’$.
5. En déduire : $\forall x\in[a;b], \int_a^x \left(\int_c^d f(u,t)dt\right) du = \int_c^d\left(\int_a^x f(u,t) du\right) dt$. On a donc, en particulier : $\int_a^b \left(\int_c^d f(u,t)dt\right) du = \int_c^d \left( \int_a^b f(u,t) du\right) dt$ (c’est le théorème de Fubini). Cette quantité sera notée simplement : $\int_a^b\int_c^d f(u,t)du\,dt$.}
6. Soit $f$ une application continue sur $[a;b] \times [c;d]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. On suppose qu’il existe $M\in\mathbb{R}^+$ tel que, pour tous $(x,y), (x’,y’) \in [a;b]\times[c;d]$ :\\
$|f(x,y)-f(x’,y’)| \leq M(|x-x’|+|y-y’|)$
\\
(condition L).
$n$ désignant un entier naturel non nul, on pose, pour tout entier $k\in\llbracket 0;n\rrbracket$,
$u_k = a + k\dfrac{b-a}{n}$
et pour tout entier $\ell\in\llbracket 0;n\rrbracket$,
$t_\ell = c + \ell\dfrac{d-c}{n}$.
Enfin, on définit la somme de Riemann :
$S_n(f) = \dfrac{(b-a)(d-c)}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{\ell=0}^{n-1} f(u_k, t_\ell)$.
\\
Démontrer que :
$\lim_{n\to+\infty} S_n(f) = \int_a^b\int_c^d f(u,t)du\,dt$.
7. Soit $H$ un espace préhilbertien réel, où le produit scalaire est noté $\langle \cdot|\cdot \rangle_H$. Montrer que l’application $K: H^2 \to \mathbb{R},\, (x,y) \mapsto \langle x|y\rangle_H$ est un NTP.
8. Montrer que si $K$ vérifie la propriété (R), alors $K$ est un NTP.
9. Montrer que si $\Omega = \{x_1,\dots, x_n\}$ est un ensemble fini, et si $K$ est un NTP sur $\Omega$, alors $K$ vérifie la propriété (R).\\
\textit{Indication : on pourra diagonaliser la matrice $\operatorname{Cov}_K(x_1,\dots, x_n)$.}
10. On considère ici l’espace vectoriel $H$ des fonctions $f$ continues et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur l’intervalle $[0;1]$, telles que $f(0) = 0$. Pour $(f,g) \in H^2$ on pose :\\
$\langle f|g\rangle_H = \int_0^1 f'(t)g'(t)dt$.\\
Montrer que l’on a bien défini ainsi un produit scalaire sur $H$.}
11. Soit le noyau $K: [0;1] \times [0;1] \to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto \min(x,y)$. Montrer que $K$ vérifie la propriété (R).\\
\textit{Indication : pour tout $x\in[0;1]$, on pourra poser $\varphi(x)=K_x$, où $K_x$ désigne l’application partielle $y\mapsto K(x,y)$.}
12. Montrer que si $K’$ est une autre application symétrique et continue de $I \times I$ dans $\mathbb{R}$ telle que $u_K = u_{K’}$, alors $K=K’$.
13. Montrer que $u_K$ est un endomorphisme de $E$, puis que cet endomorphisme est une application continue de l’espace vectoriel normé $(E, \|\cdot\|_2)$ dans lui-même.
14. Montrer que $u_K$ est un endomorphisme symétrique de l’espace préhilbertien $E$. En déduire que si $\lambda$ et $\mu$ sont deux valeurs propres distinctes de $u_K$ et si $f_\lambda, f_\mu$ en sont deux vecteurs propres associés, alors $f_\lambda$ et $f_\mu$ sont orthogonaux.
15. On suppose désormais que $K$ est un NTP. Montrer que, pour toute $f\in E$, on a $\langle u_K(f) | f \rangle >0$. Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de $u_K$ ?\\
\textit{Indication : utiliser la question 6.}}
16. On prend maintenant $I=[0;1]$, et on note $E$ l’espace vectoriel $E=\mathcal{C}([0;1],\mathbb{R})$ que l’on munit du produit scalaire : $\langle f|g\rangle = \int_I f(t)g(t)dt$, et l’on note $\|\cdot\|_2$ la norme associée.\\
Soit $f \in E$ donnée. On cherche ici à déterminer les applications $g$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[0;1]$ qui satisfont au problème aux limites :
\[
(P)\quad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
g” = -f \\
g(0) = g'(1) = 0
\end{array}
\right.
\]
Montrer que le problème $(P)$ possède une solution unique $g$, donnée par $g = u_K(f)$ où $K$ est le NTP défini par $K: I\times I \to \mathbb{R},\, (x,t) \mapsto \min(x,t)$.
17. Déterminer les valeurs propres de $u_K$ (on les exprimera sous forme d’une suite strictement décroissante $(\lambda_k)_{k\in\mathbb{N}}$). Montrer que pour tout $k\in\mathbb{N}$ le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda_k$ est de dimension $1$, et déterminer un vecteur propre unitaire $e_k$ qui l’engendre.\\
Pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, on note $F_n = \operatorname{Vect}(e_0, …, e_n)$ et $p_n$ la projection orthogonale sur $F_n$.
18. En admettant la relation :
\[
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{\left(k+\frac{1}{2}\right)^4} = \frac{\pi^4}{6},
\]
vérifier l’égalité :
\[
\int_0^1\int_0^1 K(x,t)^2 dx\,dt = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k^2.
\]
19. Montrer que :
$\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\|K_x – p_n(K_x)\|_2^2 dx = 0$
20. En déduire, pour toute $f\in E$ :
\[
\lim_{n\to+\infty}
\left\|
u_K(f) – \sum_{k=0}^n \lambda_k \langle e_k | f\rangle e_k
\right\|_2
= 0.
\]}
21. Montrer que la série de fonctions
\[
\sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k \langle e_k | f \rangle e_k
\]
est uniformément convergente sur $I$, puis que
\[
u_K(f) = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k \langle e_k | f \rangle e_k.
\]
22. Démontrer que :
$\forall (x,y)\in I^2,\; K(x,y) = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k e_k(x) e_k(y)$\\
\textit{Indication : poser $K_0(x,y) = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k e_k(x) e_k(y)$ et montrer que $u_K = u_{K_0}$.}
23. En déduire la formule de la trace :
\[
\int_0^1 K(x,x) dx = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k
\]
puis la valeur de
\[
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(k+\frac{1}{2})^2}.
\]}