Questions du sujet
1. Montrer que la relation ORTS est une relation d’équivalence sur $M_n$.
2. Montrer que les éléments de $S_n$ vérifient les conditions (C1), (C2), (C3) et (C4), et que ceux de $A_n$ vérifient les conditions (C1), (C2) et (C3).
3. Montrer que les éléments de $O_n$ vérifient les conditions (C2) et (C3).
4. Dans cette question seulement, on suppose $n = 2$. Montrer que les matrices $rT$, où $r > 0$ et $T \in O_2$, vérifient les conditions (C1) et (C4).
5. Montrer que si $A$ vérifie la condition (C1), alors $A$ vérifie la condition (C2).}
6. Montrer que si $A$ vérifie la condition (C2), alors $A$ vérifie la condition (C3).
7. Dans cette question seulement, on suppose $n = 2$ et soit $A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \in M_2$ vérifiant la condition (C3). Montrer que $c = b$ ou bien ($b \neq 0$ et $c = -b$ et $a = d$). On pourra utiliser, par exemple, les vecteurs $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ de $E_2$. En déduire que $A$ vérifie la condition (C4).
8. Montrer que, pour tout réel $\lambda$, la matrice $A – \lambda I_n$ vérifie (C3).
9. En déduire que $A$ et $A^T$ ont les mêmes sous-espaces propres et qu’ils sont deux à deux orthogonaux.
10. En utilisant la question précédente, déterminer une condition nécessaire et suffisante sur la matrice $A$ pour qu’elle soit diagonalisable.}
11. Pour $n > 3$, montrer que $A$ est orthogonalement semblable à une matrice du type $\begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$, où $A_1 \in M_p$ et $A_2 \in M_{n-p}$ vérifient (C3), avec $p \in \{1, 2\}$. On pourra commencer par montrer que toute matrice orthogonalement semblable à $A$ vérifie (C3).
12. Montrer que si $A$ vérifie la condition (C3), alors $A$ vérifie la condition (C4).
13. Établir l’existence d’un unique polynôme $P$ de $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ tel que : $\forall k \in \{1,\ldots,n\},\ P(z_k) = z_k$ où $Z = \{z_1,…,z_n\}$, une famille de $n$ complexes deux à deux distincts. On suppose de plus que, pour tout $k \in \{1,…,n\}$, $z_k \in Z$. Montrer alors que le polynôme $P$ est réel.
14. Soient $(r, \theta) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$ et $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(re^{i\theta}) = re^{-i\theta}$. Montrer que $P(rR(\theta)) = (rR(\theta))^T$. Lorsque $\sin \theta \neq 0$, on pourra utiliser la division euclidienne de $P$ par le polynôme caractéristique $\chi$ de la matrice $rR(\theta)$ de $M_2$.
15. Montrer que si $A \in M_n$ vérifie la condition (C4), alors $A$ vérifie la condition (C1).}
16. Pour tout $(r, \theta) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$, montrer que les séries $\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{r^k \cos(k\theta)}{k!}$ et $\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{r^k \sin(k\theta)}{k!}$ convergent et calculer leur somme.
17. L’espace vectoriel $M_n$ est désormais muni de la norme $\lVert \cdot \rVert_\infty$ définie par :\\
\[
A = (A_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in M_n,\ \lVert A \rVert_\infty = \max_{1 \leq i,j \leq n} |A_{i,j}|
\]
Montrer que, pour tout $(A, B) \in M_n^2$, $\lVert AB \rVert_\infty \leq n \lVert A \rVert_\infty \lVert B \rVert_\infty$.
18. Pour $A \in M_n$ et $p \in \mathbb{N}$, on pose $S_p(A) = \sum_{k=0}^p \frac{1}{k!}A^k$. Montrer que la suite $(S_p(A))_{p \in \mathbb{N}}$ converge dans $M_n$, vers une limite que l’on notera $\mathrm{Exp}(A)$, et que :
\[
\forall Q \in O_n, \mathrm{Exp}(Q^T A Q) = Q^T \mathrm{Exp}(A) Q
\]
On pourra montrer que, pour tous $1 \leq i, j \leq n$, la série numérique $\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{(A^k)_{i,j}}{k!}$ est absolument convergente.
19. Montrer que l’ensemble $E_n$ constitué des matrices normales de $M_n$ est un fermé de $M_n$. Qu’en déduit-on pour $\mathrm{Exp}(A)$, lorsque $A \in E_n$ ?
20. Soit $(r, \theta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Montrer que $\mathrm{Exp}(rR(\theta)) = e^r \cos \theta R(r\sin\theta)$. En déduire que $\mathrm{Exp}(E_n)$ est l’ensemble des matrices de $M_n$ orthogonalement semblable aux matrices diagonales par blocs, dont chaque bloc diagonal est :
\begin{itemize}
\item soit du type $(\mu) \in M_1$, avec $\mu > 0$
\item soit du type $\lambda R(\varphi) \in M_2$, avec $\lambda > 0$ et $\varphi \in \mathbb{R}$.
\end{itemize}
}
21. On note $S_{n}^{++}$ l’ensemble des matrices symétriques de $M_n$ à valeurs propres strictement positives, et $F_n$ l’ensemble des matrices $B$ de $M_n$ vérifiant les deux conditions :
\begin{itemize}
\item les valeurs propres négatives de $B$ sont de multiplicité paire
\item il existe $S \in S_{n}^{++}$ et $T \in SO_n$ telles que $B = S T = T S$.
\end{itemize}
Démontrer que $\mathrm{Exp}(E_n) = F_n$.
22. La matrice $B = (B_{i,j}) \in M_n$ définie par :
\[
B_{i,j} =
\begin{cases}
1 & \text{si } 1 \leq i + 1 = j \leq n \text{ ou } (i, j) = (n, 1) \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
\]
est-elle l’exponentielle d’une matrice de $E_n$ ?}