Questions du sujet
1. Montrer que la fonction \( R \) est bien définie et qu’elle est continue sur \( \mathbb{R} \).
2. Montrer que l’intégrale \( \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x^2)}{x^2} dx \) est convergente.
3. Montrer que la fonction \( \hat{f} \) est bien définie, et continue sur \( \mathbb{R} \).
4. Justifier l’existence de \( S(h) \) pour tout \( h > 0 \).
5. Montrer que
\[
S(h) = \int_{0}^{+\infty} \eta_h(t) dt.
\]}
6. Montrer que, pour tous \( h \in\,]0, 1] \) et \( t \in [1, +\infty[ \), on a
\[
|\eta_h(t)| \leq \frac{C}{1+(t-1)^2} \cdot
\]
7. En déduire que
\[
S(h) \to \int_{0}^{+\infty} f(t) dt \quad \text{quand } h \to 0.
\]
8. En déduire un équivalent de \( R(x) \) quand \( x \) tend vers 0 par valeurs strictement positives. La fonction \( R \) est-elle dérivable en 0 ?
9. Montrer que la fonction \( F \) est bien définie, \( 2\pi \)-périodique et continue sur \( \mathbb{R} \).
10. Montrer que la fonction \( G \) est bien définie, \( 2\pi \)-périodique et continue sur \( \mathbb{R} \).}
11. Montrer que \( G = 2\pi F \). En particulier, on a \( G(0) = 2\pi F(0) \), soit :
\[
\sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) = 2\pi \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(2 n \pi),
\]
12. Montrer que, pour tout réel strictement positif \( a \), on a
\[
\sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n a) = \frac{1}{a} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f} \left( \frac{2 n \pi}{a} \right).
\]
Cette égalité constitue la formule sommatoire de Poisson.
13. Montrer que \( f \) est de classe \( C^{\infty} \) sur \( \mathbb{R} \). On pourra utiliser un développement en série entière.
14. Etablir que \( f'(t) \to 0 \) quand \( t \to \pm\infty \), et que
\[
f”(t) = -4 e^{i t^2} + O(t^{-2})
\]
quand \( t \to \pm\infty \).
15. Montrer que l’intégrale \( I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i x^2} dx \) est convergente.}
16. Montrer que \( \hat{f}(x) = O(x^{-2}) \) quand \( x \to \pm\infty \).
17. En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer qu’il existe des nombres complexes \( a \) et \( b \) tels que
\[
F(x) = F(0) + a \sqrt{x} + b x + O(x^{3/2}) \quad \text{quand } x \to 0 \text{ par valeurs strictement positives.}
\]
Préciser la valeur de \( b \), et exprimer \( a \) en fonction de \( I \) (l’intégrale \( I \) a été définie à la question 15).
18. Exprimer, pour \( x \in \mathbb{R} \), \( F(\pi + x) \) en fonction de \( F(4x) \) et de \( F(x) \).
19. Déduire de ce qui précède que la fonction \( R \) est dérivable en \( \pi \), et préciser la valeur de \( R'(\pi) \).}