Mines Maths 2 PC 2017

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Corrigé de l’épreuve Mines Ponts Mathématiques PC 2017

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Énoncé de l’épreuve Mines Ponts Mathématiques PC 2017

💡 Si un sujet identique a été utilisé par le concours pour différentes filières, le sujet affiché ci-dessous peut-être celui d'une autre filière. Le contenu reste identique.

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Questions du sujet

1. Justifier l’existence de $R_n(x)$. Que vaut la somme $T_n(x) + R_n(x)$ ? 2. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction $t \mapsto e^{nt}$, prouver pour tout réel $x$ strictement positif, pour tout entier $n$, la relation :\\ $R_n(x) = e^{nx} \frac{n^{n+1}}{n!} \int_{0}^{x} (u e^{-u})^n du.$ 3. Soit $y$ un réel strictement positif. On pose $a_n = \frac{n^{n+1}}{n!} y^n$.\\ Calculer $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. En déduire que, si $y 1$, alors $T_n(x) = o(e^{nx})$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\ On pourra l’écrire $(u e^{-u})^n \leq (x e^{-x})^{n-1} u e^{-u}$ pour $u \geq x$.\\ Une estimation asymptotique de $T_n(x)$, pour $x = 1$, sera obtenue dans la suite du problème. 8. Montrer que $f'(0) = 0$ puis, à l’aide d’un développement limité, déterminer $k = \lim_{x \to 0} \Psi(x)$.\\ On prolonge $\Psi$ en posant $\Psi(0) = k$. 9. Montrer que la fonction $\Psi$, sur $] – 1, 1[$, est minorée par un réel strictement positif. En déduire l’existence d’un réel $a$ strictement positif tel que pour tout $x \in [-1, 1]$, on ait $f(x) \leq e^{-a x^2}$.\\ \textit{Indication : on pourra distinguer les cas où $f(1)$ et $f(-1)$ sont non nuls des cas où l’un des deux au moins est nul.} 10. Montrer que chaque fonction $g_n$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$, et que la suite de fonctions $(g_n, n \geq 1)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $g$ telle que pour tout $u \in \mathbb{R}$, $g(u) = e^{-u^2/2}$.} 11. En déduire que\\ $\int_{-1}^{1} \frac{1}{f(x)^{2n}} dx \underset{n\to+\infty}{\sim} \sqrt{\frac{2\pi}{n}}$.\\ On en déduit de la même manière que\\ $\int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)^{2n}} dx \underset{n\to+\infty}{\sim} \sqrt{ \frac{\pi}{2n}}$. 12. Pour tout entier $n \geq 1$, déduire de la question 5 que $n! = n^{n+1} e^{-n} (I_n + J_n),$\\ avec $I_n = \int_{-1}^{1} (x + 1)^n e^{-n x} dx$ et $J_n = \int_{1}^{+\infty} (x + 1)^n e^{-n x} dx$. 13. Montrer que pour tout $x \geq 1$, $x+1 \leq 2x$.\\ En déduire une majoration de $J_n$. 14. En appliquant la méthode de Laplace, donner un équivalent de $I_n$. 15. En déduire que $n! \underset{n\to +\infty}{\sim} \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$.} 16. Pour tout entier $n$ non nul, montrer l’identité suivante :\\ $R_n(1) = \frac{n^{n+1}}{n!} \int_{0}^{1} (1-t)^n e^{n t} dt$. 17. En déduire un équivalent de $R_n(1)$ lorsque $n$ tend vers l’infini.\\ Prouver que $T_n(1) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2} e^n$. 18. Pour une entrée liste= $[w_1, \cdots, w_{n+1}]$, écrire un pseudo-code ou un code Python pour calculer la valeur de $X(w_1, \cdots, w_{n+1})$.\\ Si nécessaire, on admettra l’existence d’une fonction qui permet de tester l’appartenance d’un élément $w$ à une liste $L$ : $(w \text{ in } L)$ renvoie « True » si $w \in L$, « False » sinon. 19. Montrer que pour $k \in \{2, \dots, n+1\}$, l’événement $(X = k)$ est de probabilité non nulle. 20. Pour tout $k \in \{0, \dots, n-1\}$, montrer que $\mathbb{P}(X > k + 1) = \mathbb{P}(X > k + 1 \mid X > k) \mathbb{P}(X > k)$.} 21. En déduire que pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$,\\ $\mathbb{P}(X > k) = \frac{n!}{n^k (n – k)!}$. 22. Etablir l’identité suivante :\\ $\mathbb{E}[X] = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}(X > k)$. 23. En utilisant les questions précédentes, donner un équivalent simple de $\mathbb{E}[X]$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.}

FAQ

Pourquoi étudier les restes de Taylor dans ce sujet de Mines-Ponts 2017 ?

Dans ce sujet, l’étude des restes de Taylor comme $ R_n(x) $ est cruciale pour comprendre le comportement asymptotique des fonctions exponentielles et des intégrales associées. Cela permet notamment d’établir des équivalents et des développements limités, compétences clés en analyse pour les concours. Si tu veux approfondir, débloque les corrigés pour voir les détails des calculs et les astuces méthodologiques !

Comment utiliser la formule de Taylor avec reste intégral pour $ R_n(x) $ ?

La formule de Taylor avec reste intégral appliquée à $ t \mapsto e^{nt} $ donne $ R_n(x) = e^{nx} \frac{n^{n+1}}{n!} \int_{0}^{x} (u e^{-u})^n du $. C’est une technique puissante pour transformer un problème d’analyse en un problème d’intégration, souvent plus maniable. Retrouve cette démonstration complète dans le corrigé détaillé !

Pourquoi la suite $ a_n = \frac{n^{n+1}}{n!} y^n $ tend vers 0 si $ y < e^{-1} $ ?

En calculant $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $, on trouve que cette suite est dominée par un terme exponentiel décroissant lorsque $ y < e^{-1} $. C'est un exemple classique d'utilisation du critère de d'Alembert pour étudier la convergence des suites. Pour voir tous les détails, consulte le corrigé !

Comment montrer que $ T_n(x) \sim e^{nx} $ pour $ x \in ]0,1[ $ ?

En étudiant le maximum de $ u \mapsto u e^{-u} $ sur $[0, x]$, on montre que $ R_n(x) = o(e^{nx}) $. Cela permet de déduire que $ T_n(x) $, qui est la somme de $ e^{nx} $ et de $ R_n(x) $, est équivalent à $ e^{nx} $. Une belle application des théorèmes d’analyse asymptotique !

Comment démontrer la formule $ n! = \int_{0}^{+\infty} t^n e^{-t} dt $ ?

Cette formule est une conséquence directe de la définition de la fonction Gamma, $ \Gamma(n+1) = n! $, et de son expression intégrale. C’est un résultat fondamental en analyse, souvent utilisé pour des calculs d’intégrales ou des équivalents. Pour une démonstration rigoureuse, regarde le corrigé !

Quelle est la méthode de Laplace et comment l’appliquer pour trouver un équivalent de $ I_n $ ?

La méthode de Laplace permet d’étudier le comportement asymptotique d’intégrales de la forme $ \int e^{n \phi(t)} dt $. Pour $ I_n $, on identifie le point où $ \phi(t) $ est maximal, puis on effectue un développement limité autour de ce point. C’est une technique incontournable pour les équivalents en analyse. Pour voir l’application détaillée, débloque les corrigés !

Comment obtenir la formule de Stirling $ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n $ ?

La formule de Stirling s’obtient en combinant les résultats des questions précédentes, notamment en utilisant la méthode de Laplace sur $ I_n $ et en négligeant $ J_n $ devant $ I_n $. C’est un résultat majeur en analyse asymptotique, très utile pour les équivalents de suites. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé !

Comment traiter les questions de probabilités dans ce sujet ?

Les questions de probabilités portent sur des événements et des espérances, avec des calculs combinatoires et des raisonnements par récurrence. Par exemple, pour $ \mathbb{P}(X > k) $, on utilise des propriétés de dénombrement et des relations de récurrence. C’est un bon entraînement pour les épreuves de modélisation. Pour voir les détails, regarde le corrigé !

Quels sont les points clés à retenir de ce sujet de Mines-Ponts 2017 ?

Ce sujet couvre plusieurs thèmes importants : analyse asymptotique avec les restes de Taylor, intégration et méthode de Laplace, probabilités discrètes, et la formule de Stirling. C’est un excellent sujet pour réviser l’analyse et les probabilités en vue des concours. Pour une synthèse complète, débloque les corrigés et accède à des exercices similaires !