Questions du sujet
1. Montrer que D(d_1, \cdots, d_n) = V(d_1, \cdots, d_n). 2. Montrer que le Wronskien des fonctions monômiales $(x \mapsto a_1 x^{d_1}), \cdots, (x \mapsto a_n x^{d_n})$ est égal à $$ V(d_1, \cdots, d_n)\ x^{d_1+\cdots+d_n-\binom{n}{2}} \prod_{i=1}^n a_i. $$ 3. Soit $g$ une fonction $(n-1)$ fois dérivable sur $I$, montrer que $$ W_n(f_1 g, f_2 g, \cdots, f_n g) = g^{n} W_n(f_1, \cdots, f_n). $$ 4. Pour $f_1$ ne s’annulant pas sur $I$, montrer que $$ W_n(f_1, \cdots, f_n) = f_1^n\, W_{n-1}\left(\left(\frac{f_2}{f_1}\right)’,\, \left(\frac{f_3}{f_1}\right)’,\, \cdots,\, \left(\frac{f_n}{f_1}\right)’\right). $$ 5. Montrer que si $f_1, \cdots, f_n$ forment une famille liée dans $C^{n-1}(I; \mathbb{R})$ alors $W_n(f_1, \cdots, f_n)$ est identiquement nulle sur $I$.} 6. Soit $f_1$ et $f_2$ deux éléments de $C^{n-1}(I; \mathbb{R})$. On suppose que $W_2(f_1, f_2) = 0$ sur $I$ et que $f_1 f_2$ ne s’annule pas sur $I$. Montrer alors que $f_1$ et $f_2$ forment une famille liée de $C^{n-1}(I; \mathbb{R})$. 7. Donner un exemple de fonctions $f_1, f_2$ formant une famille libre dans $C^{n-1}(I; \mathbb{R})$ et telles que $W_2(f_1, f_2) = 0$. 8. En utilisant la question 4 montrer que si $W_n(f_1, \cdots, f_n)$ est la fonction nulle sur $I$, alors il existe un sous-intervalle $J \subset I$, sur lequel les restrictions de $f_1, \cdots, f_n$ à $J$ forment une famille liée dans $C^{n-1}(J; \mathbb{R})$. 9. Démontrer qu’il existe une matrice inversible $A \in M_n(\mathbb{C})$ telle que $(f_1, \ldots, f_n) A = (g_1, \ldots, g_n)$, où les $g_1, \ldots, g_n$ sont des fonctions développables en série entière non nulles dont les ordres $d_1, \ldots, d_n$ sont deux à deux distincts. On commencera d’abord par le cas $n=2$.\\ On souhaite démontrer que pour ces fonctions $(g_1, \ldots, g_n)$, il existe un réel $C \neq 0$ tel que \[ W_n(g_1, \ldots, g_n)(x) = C\ x^{d_1+\cdots+d_n-\binom{n}{2}} (1 + o(1)) \] au voisinage de $0$. 10. Traiter le cas où pour tout $i = 1, \ldots, n$, on a $d_i \geq n-1$.} 11. On choisit un entier $a$ tel que pour tout $i = 1, \ldots, n$, on ait $d_i + a \geq n-1$.\\ En utilisant la question 3 avec $g(x) = x^a$, montrer (1). 12. En déduire que $W_n(f_1, \cdots, f_n)$ est non nulle au voisinage de $0$. 13. Montrer que $\Delta^{n-1}(X^n)$ est de la forme $aX + b$ avec $a \neq 0$, et en déduire que l’ensemble des solutions de l’équation est non vide et que $k(n) \leq n$.\\ On notera en particulier que $k(n)$ est fini. 14. Montrer que tout $g \in \mathbb{C}[X]$ peut s’écrire sous la forme \[ g(X) = g_1^n(X) + \cdots + g_{k(n)}^n(X). \] 15. Montrer que $k(2) = 2$.} 16. Montrer que pour $n \geq 3,\, n < k^2(n) - k(n)$. \\ Soit \[ X = f_1^n(X) + \cdots + f_{k(n)}^n(X) \] avec $f_i \in \mathbb{C}[X]$. On considère les Wronskiens $Z_1 = W_{k(n)}(f_1^n, \ldots, f_{k(n)}^n)$ et $Z_2 = W_{k(n)}(X, f_2^n, \ldots, f_{k(n)}^n)$. 17. Montrer que $Z_1 = Z_2$ puis que $Z_1$ n’est pas le polynôme nul. 18. Montrer que $Z_1$ est divisible par $\prod_{i=1}^{k(n)} f_i^{n-k(n)+1}$. 19. Montrer que \[ \operatorname{deg} Z_2 \le 1 + n \sum_{i=2}^{k(n)} \operatorname{deg} f_i - \frac{k(n)(k(n)-1)}{2}. \] 20. Déduire des questions 17 et 18 que \[ n\,\deg f_1 \leq (k(n)-1) \sum_{i=1}^{k(n)} \deg f_i - \frac{k(n)(k(n)-1)}{2} + 1. \] } 21. Montrer que $n < k^2(n) - k(n)$.}FAQ
Le Wronskien des fonctions monômiales \( (x \mapsto a_i x^{d_i}) \) est donné par \( V(d_1, \dots, d_n) \cdot x^{\sum d_i – \binom{n}{2}} \prod a_i \). Cela montre un lien profond entre l’algèbre linéaire et l’analyse, crucial pour les problèmes de dépendance linéaire en CPGE.
Si \( f_1, \dots, f_n \) sont \( (n-1) \)-fois dérivables et \( g \) est \( (n-1) \)-fois dérivable, alors \( W_n(f_1 g, \dots, f_n g) = g^n W_n(f_1, \dots, f_n) \). C’est un résultat clé pour simplifier les calculs de Wronskiens dans les équations différentielles.
Si \( f_1, \dots, f_n \) forment une famille liée dans \( C^{n-1}(I, \mathbb{R}) \), alors leur Wronskien \( W_n(f_1, \dots, f_n) \) est identiquement nul sur \( I \). C’est un critère fondamental pour étudier l’indépendance linéaire des solutions d’équations différentielles.
Si \( W_2(f_1, f_2) = 0 \) sur \( I \) et \( f_1 f_2 \) ne s’annule pas, alors \( f_1 \) et \( f_2 \) sont liées. C’est une application directe du théorème de structure des solutions d’équations différentielles linéaires d’ordre 2, très utile en analyse.
Oui ! Par exemple, \( f_1(x) = x^2 \) et \( f_2(x) = x|x| \) forment une famille libre dans \( C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \), mais leur Wronskien est nul en \( x = 0 \). Cela illustre la subtilité du lien entre Wronskien et indépendance linéaire.
Si \( W_n(f_1, \dots, f_n) = 0 \) sur \( I \), alors il existe un sous-intervalle \( J \subset I \) où les restrictions des \( f_i \) forment une famille liée. C’est une conséquence de la question 4 et du théorème des zéros isolés.
On peut trouver une matrice inversible \( A \) telle que \( (f_1, \dots, f_n) A = (g_1, \dots, g_n) \), où les \( g_i \) ont des développements en série entière d’ordres distincts. Cela permet d’appliquer des résultats sur les Wronskiens comme dans la question 9.
Pour des fonctions \( g_i \) d’ordres distincts \( d_i \), on a \( W_n(g_1, \dots, g_n)(x) \sim Cx^{\sum d_i – \binom{n}{2}} \) au voisinage de 0. C’est un résultat puissant pour l’analyse locale des solutions d’équations différentielles.
Si \( d_i \geq n-1 \) pour tout \( i \), on peut directement appliquer les résultats sur les Wronskiens. Sinon, on utilise une fonction \( g(x) = x^a \) pour ramener le problème à ce cas, comme dans la question 11.
Grâce à la transformation par \( g(x) = x^a \) et à l’étude asymptotique, on montre que \( W_n(f_1, \dots, f_n) \) ne peut pas être identiquement nul au voisinage de 0. C’est une conséquence des questions 11 et 12.
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