Questions du sujet
1. Calculer $F_2(\lambda)$, $L_2(\lambda)$. 2. Exhiber une infinité de matrices $J$ qui satisfassent c). 3. Montrer que les matrices $I$ et $J$ sont linéairement indépendantes sur $M_2(\mathbb{R})$. 4. Trouver deux polynômes $Q$ et $T$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que \[ \left(X + \lambda + \frac{1}{2}\right)^2 = (X^2 – \frac{5}{4})Q(X) + T(X). \] 5. En déduire que $R(\lambda)$ vérifie l’équation suivante : \[ R(\lambda)^2 = (1+2\lambda)R(\lambda) + (1-\lambda-\lambda^2) I. \] } 6. Montrer que $R(\lambda)$ est inversible et montrer que \[ R(\lambda)^{-1} = – \frac{1}{\lambda^2 + \lambda – 1} J + \frac{1}{2}\frac{1+2\lambda}{\lambda^2 + \lambda – 1} I. \] 7. En utilisant la formule de Moivre, établir que pour $n \geq 1$, \[ 2F_{n+1}(\lambda) = L_n(\lambda)F_1(\lambda) + L_1(\lambda)F_n(\lambda)\quad 2L_{n+1}(\lambda)=5F_n(\lambda)F_1(\lambda) + L_n(\lambda)L_1(\lambda). \] 8. Montrer que la formule de Moivre reste valable pour tout entier négatif. 9. Montrer l’identité suivante : \[ R(\lambda)^2 + (1-\lambda-\lambda^2)I = 2 J R(\lambda). \] 10. Soit $W(\lambda) = (\lambda^2 + \lambda – 1)R(\lambda)^{-2}$. Montrer que \[ I – W(\lambda) = 2J R(\lambda)^{-1} \quad\text{et}\quad (I – W(\lambda))^{-1} = \frac{2}{5} J R(\lambda). \] } 11. Montrer alors que pour tout entier $n \geq 0$, \[ \sum_{k=0}^n (\lambda^2 + \lambda – 1)^k R(\lambda)^{n-2k} = F_{n+1}(\lambda) I. \] 12. En déduire, pour $n \geq 0$, les valeurs de \[ \sum_{k=0}^n (\lambda^2 + \lambda – 1)^k F_{n-2k}(\lambda) \quad \text{et} \quad \sum_{k=0}^n (\lambda^2 + \lambda – 1)^k L_{n-2k}(\lambda). \] 13. Pour $k \geq 1$, on introduit \[ \delta_k(\lambda) = \det \begin{pmatrix} L_{k-1}(\lambda) & L_{k}(\lambda)\\ L_{k}(\lambda) & L_{k+1}(\lambda) \end{pmatrix}. \] On définit le polynôme $P$ de $\mathbb{R}[X]$ par \[ P(X) = (1-\lambda-\lambda^2) X^2 + (1+2\lambda) X – 1. \] Montrer que $(\delta_k(\lambda), k\geq 1)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 14. En déduire, pour $k \geq 1$, la valeur de \[ \frac{L_k(\lambda)^2}{P\left(\frac{L_{k-1}(\lambda)}{L_k(\lambda)}\right)}. \] 15. Montrer que, pour tout $k \geq 1$, \[ R\left(\frac{L_{k-1}}{L_k}\right) = \frac{2}{L_k}J R(0)^k. \] } 16. Déduire des questions précédentes la propriété suivante : pour tout $n \in \mathbb{Z}$, pour tout $k \geq 1$, \[ F_{2n}\left(\frac{L_{k-1}}{L_k}\right) = \frac{5^n}{L_k^{2n}} F_{2nk},\quad L_{2n}\left(\frac{L_{k-1}}{L_k}\right) = \frac{5^n}{L_k^{2n}} L_{2nk}. \] 17. Soit $i$ un entier impair et $n \geq 0$, on pose \[ p_k = \frac{L_i L_{2i(n-k)}}{2L_i(2n+1)} \] pour $k\in \{0,1,2,\dots,2n\}$. Montrer que la suite $(p_k, k\in \{0,1,\dots,2n\})$ définit une probabilité.}FAQ
Pour calculer \( F_2(\lambda) \) et \( L_2(\lambda) \), tu dois utiliser les relations de récurrence des suites de Fibonacci et Lucas généralisées. En partant des définitions \( F_0(\lambda) = 0 \), \( F_1(\lambda) = 1 \) et \( L_0(\lambda) = 2 \), \( L_1(\lambda) = \lambda \), tu peux appliquer la relation \( F_{n+1}(\lambda) = \lambda F_n(\lambda) + F_{n-1}(\lambda) \) pour trouver \( F_2(\lambda) = \lambda \). Pour \( L_2(\lambda) \), utilise \( L_{n+1}(\lambda) = \lambda L_n(\lambda) + L_{n-1}(\lambda) \), ce qui donne \( L_2(\lambda) = \lambda^2 + 1 \).
Pour exhiber une infinité de matrices \( J \) satisfaisant la condition \( J^2 = \frac{5}{4}I \), tu peux considérer des matrices de la forme \( J = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \) où \( a, b, c \) sont des réels tels que \( a^2 + bc = -\frac{5}{4} \). Par exemple, pour \( a = 0 \), tu peux prendre \( b = \frac{5}{4} \) et \( c = -1 \), ce qui donne \( J = \begin{pmatrix} 0 & \frac{5}{4} \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \). En faisant varier \( b \) et \( c \) sous cette contrainte, tu obtiens une infinité de solutions.
Pour montrer que \( I \) et \( J \) sont linéairement indépendantes, suppose qu’il existe \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) tels que \( \alpha I + \beta J = 0 \). En écrivant explicitement cette équation avec \( J \) sous forme générale, tu obtiens un système d’équations linéaires. Par exemple, si \( J = \begin{pmatrix} 0 & \frac{5}{4} \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \), alors \( \alpha I + \beta J = \begin{pmatrix} \alpha & \frac{5}{4}\beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). Cela implique \( \alpha = 0 \) et \( \beta = 0 \), donc \( I \) et \( J \) sont bien linéairement indépendantes.
Pour trouver \( Q \) et \( T \) tels que \( \left(X + \lambda + \frac{1}{2}\right)^2 = (X^2 – \frac{5}{4})Q(X) + T(X) \), tu peux effectuer une division euclidienne de polynômes. Développe d’abord le membre de gauche : \( X^2 + (2\lambda + 1)X + (\lambda + \frac{1}{2})^2 \). Ensuite, écris \( Q(X) = 1 \) et \( T(X) = (2\lambda + 1)X + (\lambda + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4} \). En simplifiant, tu obtiens \( T(X) = (2\lambda + 1)X + \lambda^2 + \lambda + \frac{9}{4} \).
Pour montrer que \( R(\lambda) \) est inversible, tu peux utiliser l’équation \( R(\lambda)^2 = (1+2\lambda)R(\lambda) + (1-\lambda-\lambda^2)I \). En réarrangeant, tu obtiens \( R(\lambda) \left( R(\lambda) – (1+2\lambda)I \right) = (1-\lambda-\lambda^2)I \). Si \( \lambda^2 + \lambda – 1 \neq 0 \), alors \( R(\lambda) \) est inversible. Son inverse est donné par \( R(\lambda)^{-1} = -\frac{1}{\lambda^2 + \lambda – 1}J + \frac{1+2\lambda}{2(\lambda^2 + \lambda – 1)}I \).
La formule de Moivre généralisée pour les suites de Fibonacci et Lucas te permet d’écrire des relations de récurrence. En utilisant \( R(\lambda) = F_1(\lambda)J + L_1(\lambda)I \), tu peux montrer par récurrence que \( 2F_{n+1}(\lambda) = L_n(\lambda)F_1(\lambda) + L_1(\lambda)F_n(\lambda) \) et \( 2L_{n+1}(\lambda) = 5F_n(\lambda)F_1(\lambda) + L_n(\lambda)L_1(\lambda) \). Ces relations découlent des propriétés des matrices et des suites définies par récurrence.
Pour généraliser la formule de Moivre aux entiers négatifs, tu peux utiliser l’inversibilité de \( R(\lambda) \). En effet, puisque \( R(\lambda) \) est inversible, tu peux écrire \( R(-n) = R(n)^{-1} \) pour \( n \geq 1 \). Cela te permet d’étendre les relations de récurrence aux indices négatifs en utilisant les propriétés des matrices inverses et les relations déjà établies pour les entiers positifs.
Pour montrer cette identité, tu peux partir de l’équation \( R(\lambda)^2 = (1+2\lambda)R(\lambda) + (1-\lambda-\lambda^2)I \) et réarranger les termes. En utilisant \( R(\lambda) = \lambda I + J \), tu peux développer \( R(\lambda)^2 \) et substituer pour obtenir \( R(\lambda)^2 + (1-\lambda-\lambda^2)I = (1+2\lambda)R(\lambda) \). Ensuite, en remplaçant \( R(\lambda) \) par \( \lambda I + J \), tu obtiens \( 2J R(\lambda) \) après simplification.
Pour calculer les sommes \( \sum_{k=0}^n (\lambda^2 + \lambda – 1)^k R(\lambda)^{n-2k} \), tu peux utiliser les relations de récurrence et les propriétés des matrices. En utilisant la formule de Moivre et les relations établies précédemment, tu peux montrer que cette somme est égale à \( F_{n+1}(\lambda)I \). Pour les autres sommes, tu peux projeter sur les composantes \( I \) et \( J \) pour obtenir les expressions souhaitées.
Pour montrer que \( (\delta_k(\lambda)) \) est géométrique, tu peux utiliser les relations de récurrence des suites \( L_n(\lambda) \). En calculant \( \delta_{k+1}(\lambda) \) en fonction de \( \delta_k(\lambda) \), tu obtiens une relation de la forme \( \delta_{k+1}(\lambda) = r \delta_k(\lambda) \), où \( r \) est la raison de la suite géométrique. En utilisant les déterminants et les propriétés des suites, tu peux trouver que la raison est \( \frac{1}{\lambda^2 + \lambda – 1} \).
Pour montrer que \( (p_k) \) définit une probabilité, tu dois vérifier que \( p_k \geq 0 \) pour tout \( k \) et que \( \sum_{k=0}^{2n} p_k = 1 \). En utilisant les propriétés des suites \( L_n(\lambda) \) et les relations de récurrence, tu peux montrer que les \( p_k \) sont bien positifs et que leur somme vaut 1, ce qui en fait une distribution de probabilité.
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