Questions du sujet
1. Soit $f \in C^0_\#,$ démontrer que la suite des $c_n(f)$ où $n \in \mathbb{Z},$ est bornée. 2. Soit $f \in C^\infty_\#,$ donner l’expression de $c_n(f^{(k)})$ en fonction de $c_n(f)$. En déduire que pour tout $k \in \mathbb{N}$, il existe $C_k>0$ tel que, pour tout entier relatif non nul $n$, $|c_n(f)|\leq \dfrac{C_k}{|n|^k}$. 3. Soit $(d_n)_{n\in\mathbb{Z}}$, une suite d’éléments de $\mathbb{C}$, telle que la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}} d_n$ converge absolument. Montrer que pour tout $x$ réel la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}} d_n e_n(x)$ converge et que sa somme $h(x)$ appartient à $C^0_\#$. Justifier que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $d_n = c_n(h)$. 4. Réciproquement, on suppose pour cette question que quel que soit l’entier $k$, il existe $C_k>0$ et $N_k\geq 1$ tels que $|d_n| \leq \dfrac{C_k}{|n|^k}$ pour tout $|n| \geq N_k$. Démontrer que pour tout $\ell$ entier, la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}} d_n e_n^{(\ell)}$ converge normalement ; en déduire que $h(x) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} d_n e_n(x)$ appartient à $C^\infty_\#$. 5. Un opérateur différentiel sur $C^\infty_\#$ est une application linéaire $B$ de $C^\infty_\#$ dans lui-même de la forme suivante : \[ B f = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k f^{(k)}, \] où les réels $b_k$ sont tous nuls sauf un nombre fini. On appelle ordre de $B$ l’entier $K$ défini par $K = \max\{ k \in \mathbb{N}\ |\ b_k\neq 0 \}$. Démontrer qu’une application linéaire $B$ de $C^\infty_\#$ dans lui-même est un opérateur différentiel d’ordre $K$ si et seulement si il existe un polynôme $P_K$ d’ordre $K$ tel que, pour tout entier relatif $n$, et pour tout $f \in C^\infty_\#$, $c_n(Bf) = P_K(n)c_n(f)$.} 6. Soit $\rho$ une fonction $\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, strictement croissante, telle qu’il existe $\ell \in \mathbb{N}_+$ avec $\forall y \geq 1,\, y \leq \rho(y) \leq y^\ell$.\\ Soit $f \in C^\infty_\#$, démontrer que la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}} \rho (|n|) c_n(f) e_n$ converge normalement et que sa somme appartient à $C^\infty_\#$. 7. Soit $f \in C^0_\#$, démontrer que pour tout $t>0$, la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-t\rho(|n|)} c_n(f) e_n$ converge normalement et que sa somme appartient à $C^\infty_\#$. 8. On définit l’opérateur $A : C^\infty_\# \to C^\infty_\#$ par la formule \[ A(f) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \rho(|n|) c_n(f) e_n. \] On suppose désormais que $t \in \mathbb{R}_+^*$, et on définit l’opérateur $Q_t$ sur $C^0_\#$ par la formule suivante : \[ Q_t(f) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-t\rho(|n|)} c_n(f) e_n. \] Montrer que pour $x$ réel fixé et $f \in C^0_\#$, la fonction $t \mapsto Q_t(f)(x)$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$. 9. Démontrer que, pour $f \in C^0_\#$ et $t>0$, $\dfrac{\partial}{\partial t} Q_t(f)(x) = -A(Q_t(f))(x)\ \forall x$. 10. On note $I$ l’opérateur identité de $C^\infty_\#$. Soit $\alpha \in \mathbb{C}$, $\alpha \notin \mathbb{R}_-$. Montrer que pour tout $g \in C^\infty_\#$ il existe un et un seul élément, noté $u$, appartenant à $C^\infty_\#$ qui soit solution de l’équation $(A+\alpha I)u = g$.} 11. Montrer que pour $\Re\alpha>0$ et $g\in C^\infty_\#$, et pour tout $x$ réel, \[ (A+\alpha I)^{-1}g(x) = \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} Q_t(g)(x)dt. \] 12. Déterminer les valeurs propres de $A$, c’est-à-dire les $\lambda$ complexes tels qu’il existe $g\neq 0$ vérifiant $Ag = \lambda g$. 13. Dans ce paragraphe on s’intéresse à deux occurences particulières de la fonction $\rho$ :\\ $\rho_1(y) = y$ et $\rho_2(y)=y^2$.\\ On pose \[ A_1(f) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} |n| c_n(f) e_n \quad \text{et}\quad A_2(f) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} n^2 c_n(f) e_n, \] ainsi que \[ Q^1_t(f) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-t|n|} c_n(f) e_n,\quad Q^2_t(f) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-t n^2} c_n(f) e_n. \] \\ Démontrer que si $f\in C^\infty_\#$, $(A_1\circ A_1)f= A_2(f)$. 14. Démontrer que $A_2$ est un opérateur différentiel et en donner l’expression. En est-il de même pour $A_1$ ? 15. En référence aux résultats des questions 13 et 9, justifier le titre du document.} 16. Si $g$ est une fonction continue et intégrable sur $\mathbb{R}$, on pose \[ \mathcal{F}(g)(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega x} g(x)\ dx, \] où $\omega\in\mathbb{R}$ ; c’est la transformée de Fourier de $f$.\\ On admet les formules suivantes : \[ \mathcal{F}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)(\omega) = \sqrt{\pi/2} e^{-|\omega|},\quad \mathcal{F}(e^{-x^2/2})(\omega) = e^{-\omega^2/2}. \] Déterminer le réel $\alpha$ tel que, pour tout $f\in C^\infty_\#$, pour tout $y$ réel et tout $t\in\mathbb{R}_+^*$, \[ Q^1_t(f)(y) = \alpha \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^2 + x^2} f(y – x) dx. \] 17. On suppose dans ce paragraphe que $f \in C^0_\#$, et on se limite à l’étude de $Q^1_t(f)$.\\ On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction $f$ continue $T$-périodique et tout $\epsilon>0$, il existe un polynôme trigonométrique $p$, soit $p(t)= \sum_{n\in Z_N} c_n e^{2i\pi n t/T}$ où $c_n\in\mathbb{C}$, $Z_N=\{n\in\mathbb{Z}\ |\ -N\leq n\leq N\}$, tel que $\Vert f-p\Vert \leq \epsilon$.\\ En s’aidant du théorème ci-dessus, montrer que pour tout $y$ réel et tout $t>0$ \[ Q^1_t(f)(y) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^2 + x^2} f(y-x) dx. \] 18. En utilisant l’expression de $Q^1_t(f)$ sous forme de série, montrer que \[ \lim_{t\to 0^+} \int_0^{2\pi} |f(y) – Q^1_t(f)(y)| dy = 0. \] 19. En utilisant l’expression intégrale de $Q^1_t$ obtenue à la question 17, montrer que pour tout $y$ réel, \[ f(y) = \lim_{t\to 0^+} Q^1_t(f)(y). \] 20. Pour $f \in C^0_\#$, on pose $Q^1_0(f) = f$ et \[ E(t) = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} |Q^1_t(f)(x)|^2 dx,\ t\geq 0. \] Montrer que $E$ est une fonction décroissante de $t$ et déterminer sa limite en $t=+\infty$.}FAQ
Pour ce sujet, il est crucial de bien comprendre les séries de Fourier, les espaces de fonctions périodiques comme $C^0_\#$ et $C^\infty_\#$, ainsi que la convergence des séries de fonctions. Les notions d’opérateurs différentiels, de transformée de Fourier et d’application de polynômes aux séries de Fourier sont également essentielles. Enfin, il faut être à l’aise avec la démonstration de la régularité (continuité, dérivabilité, etc.) des séries construites à partir de coefficients bien choisis.
L’espace $C^\infty_\#$ désigne l’ensemble des fonctions $2\pi$-périodiques de classe $C^\infty$, c’est-à-dire indéfiniment dérivables sur $\mathbb{R}$ et égales à elles-mêmes modulo $2\pi$. Ces espaces sont au cœur de l’analyse des séries de Fourier, car toute fonction $C^\infty_\#$ admet un développement en série de Fourier absolument convergente, ce qui ouvre la porte à l’analyse fine des opérateurs différentiels et des solutions d’équations fonctionnelles. Ce type d’espace intervient aussi en physique (ondes, chaleur) et dans beaucoup d’épreuves de concours.
Les opérateurs différentiels, définis sur $C^\infty_\#$, permettent d’analyser l’action de la dérivation (ou combinaisons de dérivées) directement sur les coefficients de Fourier. Cela donne des outils pour étudier des équations différentielles linéaires à coefficients constants et leurs solutions via leur série de Fourier. Ces opérateurs interviennent aussi pour caractériser la régularité ou l’effet lissant de certains procédés (comme dans les questions sur les opérateurs $A$ ou $Q_t$ du sujet). Cette approche est très prisée en concours pour sa rigueur et sa puissance.
La convergence normale, c’est-à-dire uniforme sur tout segment, est abordée en imposant des conditions fortes sur le décroissance des coefficients $d_n$. Cela permet d’assurer non seulement la convergence, mais aussi la stabilité des opérations comme la dérivation ou l’intégration terme à terme. Savoir évaluer cette convergence est décisif, car elle garantit que la série représente une fonction régulière (continue, différentiable, voire $C^\infty$) et qu’on peut manipuler les séries comme des fonctions usuelles.
La plupart du temps, tu dois utiliser la transformée de Fourier (ou de Laplace) pour relier une expression intégrale (comme un noyau de Poisson ou de Gauss) à une somme de séries de Fourier dont les coefficients ont été explicités. Cela permet d’obtenir des formules de type sommation de Poisson et de démontrer la densité ou la régularité des solutions construites. Bien comprendre ce passage série-intégrale est fondamental pour réussir des questions de synthèse ou d’application en concours.
En mathématiques, surtout dans ce type de sujets, prouver l’unicité (et l’existence) des solutions à une équation fonctionnelle ou différentielle est fondamental : c’est la garantie qu’il n’y a pas de ambiguïté, et cela permet d’identifier précisément la nature de l’opérateur (ici de type différentiel sur $C^\infty_\#$). Présenter clairement ces arguments, c’est montrer une maîtrise de la rigueur attendue en concours, notamment aux Mines-Ponts.
Plusieurs questions du sujet exploitent des opérateurs de type $A_2$ ou $Q^2_t$, analogues aux solutions de l’équation de la chaleur ou des phénomènes de diffusion. On retrouve la formule de Poisson et le passage à la limite pour reconstituer la fonction initiale (principe de régularisation). Savoir faire le lien avec ces grands classiques de la physique mathématique est un vrai atout pour argumenter et briller à l’oral.
C’est le fameux théorème de Weierstrass trigonométrique qui assure qu’on peut approcher uniformément toute fonction continue périodique par des polynômes trigonométriques. Maîtriser les essais d’approximation, le raisonnement sur la convergence des polynômes partiels et leur interprétation en termes physiques (ondes, signaux) te fera gagner des points précieux lors des écrits et des oraux.
Les sujets mines-ponts sont connus pour leur exigence en analyse, rigueur et capacité à relier plusieurs notions avancées : séries, opérateurs, convergence, applications intégrales. Travailler sur ce sujet, c’est aller au-delà du cours, affiner tes méthodes de résolution et gagner en rapidité. Pour exploiter toutes les subtilités du corrigé, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster : tu accèderas non seulement à celui-ci mais également à des exercices corrigés supplémentaires et à un dashboard personnalisé pour t’entraîner efficacement !