Questions du sujet
1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ un entier non nul. Montrer que l’application $N$ de $M_n(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ définie par \[ \forall M \in M_n(\mathbb{R}), \quad N(M) = \sup_{i,j\in\{1,…,n\}} |M_{i,j}|, \] est une norme sur $M_n(\mathbb{R})$. 2. Dans le cas où $M \in M_n(\mathbb{R})$ n’est pas inversible, on rappelle qu’il existe deux matrices inversibles $P$ et $Q$ (de tailles $n \times n$) telles que $M = P.J.Q$ où \[ J = \begin{pmatrix} 1 & & & (0) \\ & \ddots & & \\ & & 1 & \\ (0) & & & 0 \end{pmatrix} \] $J$ étant une matrice diagonale dont les $r$ premiers éléments diagonaux valent $1$ et dont les $n – r$ derniers éléments diagonaux valent $0$. Si $J = 0$ on convient que $r = 0$. \\ \textbf{Rappeler l’interprétation de $r$.} 3. On conserve les notations de la question précédente. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles $(J_k)_{k \in \mathbb{N}}$ de $M_n(\mathbb{R})$ telle que $M = \lim_{k \to +\infty} P.J_k.Q$ au sens de la distance associée à la norme $N$. 4. Montrer que le déterminant définit une fonction continue de $M_n(\mathbb{R})$, muni de la distance associée à la norme $N$, dans $\mathbb{R}$ (on pourra écrire le déterminant comme une somme de fonctions toutes en forme de produits). 5. Soit $i \in \{1, 2, …, n\}$. Calculer \[ M_{i,1} \det[M]_{1}^{i} – M_{i,2} \det[M]_{2}^{i} + \ldots + (-1)^{n-1} M_{i,n} \det[M]_{n}^{i} \] en fonction de $\det M$ et de $i$.} 6. Montrer que \[ M_{j,1} \det[M]_{1}^{i} – M_{j,2} \det[M]_{2}^{i} + \ldots + (-1)^{n-1} M_{j,n} \det[M]_{n}^{i} = 0 \] pour $i, j \in \{1, 2, …, n\}$, vérifiant $i \neq j$ (on interprétera le membre de gauche comme le développement par rapport à une ligne du déterminant d’une certaine matrice). 7. Déduire des deux questions précédentes le fait que $M \cdot\transp{(\mathrm{Com} M)} = x I_n$ où $x$ est un nombre réel que l’on précisera. 8. On introduit la matrice de $M_n(\mathbb{R})$ suivante : \[ M^\star = \begin{pmatrix} \det[M]_{1}^{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & (-1)^{n+1}\det[M]_{1}^{n} \\ -\det[M]_{2}^{1} & 1 & 0 & \cdots & 0 & (-1)^{n+2}\det[M]_{2}^{n} \\ \det[M]_{3}^{1} & 0 & 1 & \cdots & 0 & (-1)^{n+3}\det[M]_{3}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ (-1)^{n}\det[M]_{n-1}^{1} & 0 & 0 & \cdots & 1 & -\det[M]_{n-1}^{n} \\ (-1)^{n+1}\det[M]_{n}^{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \det[M]_{n}^{n} \end{pmatrix} \] Calculer $\det M^\star$ en fonction de $\det[M]_{1}^{1}$, $\det[M]_{n}^{n}$, $\det[M]_{1}^{n}$, $\det[M]_{n}^{1}$. 9. Écrire le calcul explicite de la matrice produit $M \cdot M^\star$ sous la forme du tableau usuel de taille $n \times n$. 10. En utilisant la question précédente, démontrer (1) dans le cas où $M$ est inversible.} 11. Démontrer (1) dans le cas où $M$ n’est pas inversible. 12. Appliquer cet algorithme au calcul du déterminant de \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] 13. Soit $M \in M_n(\mathbb{R})$. On suppose que l’algorithme se termine sans qu’aucun des coefficients des matrices $B^{(i)}$ ne s’annule. Quel est le nombre $u_n$ de déterminants $2\times2$ que l’on a calculé au cours de la procédure ? 14. Soit donc $v_n$ le nombre de déterminants $2 \times 2$ calculés lorsque l’on applique la méthode de développements successifs par rapport à des lignes pour calculer le déterminant d’une matrice de taille $n \times n$. Établir une relation entre $v_n$ et $v_{n-1}$. Puis, comparer $u_n$ et $v_n$ lorsque $n \to +\infty$. 15. Soit $r, s \in \{1, 2, …, n-2\}$. En appliquant la formule de condensation, montrer que $A^{(2)}_{r,s}$ est le déterminant d’une matrice $3 \times 3$, extraite de $M$, que l’on précisera.} 16. Soit $k \in \{1, 2, …, n – 1\}$ et $r, s \in \{1, 2, …, n-k\}$. Généraliser le résultat précédent en exprimant $A^{(k)}_{r,s}$ comme le déterminant d’une matrice de taille $(k + 1, k + 1)$ extraite de $M$ que l’on précisera. Prouver que $A^{(n-1)}_{1,1} = \det M$. 17. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Soit $t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, et $j \in \{1, …, n\}$. On note $M_{t,j}$ la matrice obtenue à partir de $M$ par multiplication de la $j$-ème colonne de $M$ par $t$. Montrer que $\det_\lambda M_{t,j}$ est bien défini et donner sa valeur en fonction de $\det_\lambda M$ et de $t$. 18. On considère un vecteur $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ de $\mathbb{R}^n$ tel que les réels $x_i$ sont tous non nuls. On introduit la matrice de Vandermonde de taille $n \times n$ : \[ V(x_1, x_2, \ldots, x_n) = (x_i^{j-1})_{1 \leq i, j \leq n}, \] où $x_i^{j-1}$ est le coefficient situé sur la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne. \\ On suppose que $x_j + \lambda x_i$ est non nul pour tous $i, j \in \{1, \ldots, n\}$ tels que $1 \leq i < j \leq n$. Calculer $\det_\lambda V(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ en fonction des $x_j + \lambda x_i$, $(i, j \in \{1, \ldots, n\})$. (On commencera par le cas $n=3$ puis on procédera par récurrence sur $n$).}FAQ
Une norme sur $M_n(\mathbb{R})$ permet de mesurer la ‘taille’ ou la ‘distance’ associée à une matrice, ce qui est crucial pour étudier la convergence ou la stabilité de suites de matrices, ainsi que la continuité de fonctions matricielles comme le déterminant. En concours comme les Mines-Ponts, savoir caractériser, reconnaître et manipuler une norme est indispensable notamment en algèbre linéaire et en analyse matricielle.
Le rang $r$ d’une matrice correspond au nombre maximal de lignes (ou de colonnes) linéairement indépendantes. Dans les exercices de concours, le rang joue un rôle clé pour déterminer l’inversibilité, travailler sur la réduction de matrices, ou encore dimensionner les espaces noyau/image. Maitriser sa signification et ses interprétations opératoires, c’est se donner toutes les chances face aux questions sur les changements de bases ou la décomposition de matrices.
La continuité du déterminant permet d’assurer que de petites modifications d’une matrice occasionnent de petites modifications de sa valeur de déterminant. C’est fondamental pour les questions de stabilité numérique, d’approximation, et pour justifier certains raisonnements par passage à la limite, notamment quand on traite des suites de matrices non inversibles. Retrouve tous les détails, des démonstrations et leurs applications concrètes dans les corrigés détaillés sur Prépa Booster, accessibles après déblocage !
La comatrice associe à chaque élément d’une matrice le cofacteur correspondant : c’est un outil incontournable pour les calculs de déterminants, les inverses de matrices, et pour prouver certaines formules fondamentales comme $M \cdot \mathrm{Com}(M)^T = \det(M) I_n$. Maîtriser la comatrice, c’est pouvoir aller vite et loin dans la résolution de beaucoup d’exercices classiques de concours.
Face à un calcul de déterminant difficile, l’astuce est souvent de repérer des structures remarquables (trigonalité, présence de zéros, symétries), d’utiliser la formule de condensation ou le développement par rapport à une ligne ou une colonne. Les matrices de Vandermonde sont un classique, leur déterminant voit émerger de beaux produits, essentiels aussi pour les polynômes d’interpolation. Entraîne-toi sur différentes méthodes, et consulte les corrigés détaillés de Prépa Booster pour t’approprier toutes les stratégies gagnantes !
Le secret, c’est d’instaurer une routine dans les questions sur les déterminants et les transformations de matrices : lis bien l’énoncé, commence par les propriétés simples (lignes/colonnes nulles, triangularisation, pivots évidents), et décide vite si la question demande un calcul direct ou une mise en œuvre d’un théorème. S’entraîner en conditions réelles avec une correction détaillée te fera gagner de précieuses minutes le jour J.
Parce qu’ils permettent de ‘dégrader’ la difficulté : extraire des sous-matrices, calculer leur déterminant (mineur), puis combiner ces résultats via des formules d’expansion ou de condensation. Ce savoir-faire est l’une des pierres angulaires de l’algèbre linéaire en prépa, d’autant plus que beaucoup de propriétés globales (inversibilité, relation de récurrence) passent par le calcul habile de mineurs.