Questions du sujet
1. Calculer $h_0$ et $h_1$ et établir pour tout entier $n$, pour tout réel $x$, l’identité suivante : \[ 2h_{n+1}(x) – 2xh_n(x) + h’_n(x) = 0. \] 2. En déduire que $h_n$ est un polynôme de degré $n$ et de coefficient dominant $1$. 3. Montrer que pour tout réel $x$, l’identité suivante est satisfaite : \[ \left.\frac{d^n}{dt^n} e^{-(x-t)^2}\right|_{t=0} = 2^n e^{-x^2} h_n(x). \] 4. Montrer que pour tout réel $x$, la fonction $f_x$ de la variable réelle $t$ définie par \[ f_x(t) = e^{-(x-t)^2}, \] admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de convergence, \[ f_x(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k}{k!} 2^k h_k(x) e^{-x^2}. \] 5. Établir pour tout réel $x$ et tout entier positif $n$, l’équation de récurrence suivante : \[ 2h_{n+1}(x) – 2xh_n(x) + nh_{n-1}(x) = 0, \] avec la convention $h_{-1}(x) = 0$.} 6. Montrer que pour tout entier $n$, l’identité $h’_n = n h_{n-1}$ est satisfaite. 7. Calculer $\varphi_n(0)$ et $\varphi’_n(0)$ pour tout entier $n$. 8. Pour tout entier $k$, tout réel $x$ et tout réel $y$, exprimer \[ (x-y) h_k(x) h_k(y) \] uniquement en fonction de $h_{k+1}(x), h_{k+1}(y), h_k(x), h_k(y), h_{k-1}(x)$ et $h_{k-1}(y)$. 9. Établir, pour des réels $x$ et $y$ distincts, les identités suivantes : \[ (x-y) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{d_k} h_k(x) h_k(y) = \frac{1}{d_{n-1}} \left( h_n(x) h_{n-1}(y) – h_n(y) h_{n-1}(x) \right), \] \[ \sum_{k=0}^{n-1} \varphi_k(x)\varphi_k(y) = \frac{1}{2} \frac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(y)-\varphi_{n-1}(x)\varphi_n(y)}{x-y}. \] 10. Montrer que l’équation différentielle $(S(r, \beta, \gamma))$ a une solution unique dont on donnera l’expression.} 11. Montrer que pour tout réel $x$, \[ \varphi_{2m}(x) = \alpha_{2m} \cos(\sqrt{4m+1}\,x) + \int_{0}^x \frac{\sin(\sqrt{4m+1}(x-y))}{\sqrt{4m+1}} \frac{y}{2} \varphi_{2m}(y) \, dy, \] avec pour tout entier $m$ : \[ \alpha_{2m} = \frac{(-1)^m}{\pi^{1/4}} \sqrt{\frac{(2m)!}{2^m m!}}. \] 12. Trouver un équivalent de $\alpha_{2m}$ quand $m$ tend vers l’infini. 13. Montrer que pour tout réel $x$, l’inégalité suivante est vérifiée : \[ \left| \int_{0}^x \frac{\sin(\sqrt{4m+1}(x-y))}{\sqrt{4m+1}} \frac{y}{2}\varphi_{2m}(y) \, dy \right| \leq \frac{1}{\sqrt{4m+1}} |x| \frac{5}{2} \sqrt{5}. \] On pourra utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations (5). 14. Établir pour tout réel $x > 0$, la limite suivante : \[ \lim_{m \to +\infty} (-1)^m \pi^{1/4} m^{1/4} \varphi_{2m}\left( \frac{x}{2\sqrt{m}} \right) = \cos(x). \] 15. Montrer, pour tout $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$, les identités suivantes : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} K^{(N)}(x, z) K^{(N)}(z, y) dz = K^{(N)}(x, y), \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} K^{(N)}(x, x) dx = N. \] } 16. Montrer que $\bar{\sigma}$ définit une permutation de $\{1, \ldots, k\}$ telle que $\bar{\sigma}(k) = k$. Calculer sa signature en fonction de celle de $\sigma$. (On distinguera le cas où $\sigma(k)=k$ du cas où $\sigma(k) \neq k$.) 17. Soit $\sigma \in S_k$, établir les propriétés suivantes : \[ \mathrm{card} \left( \theta^{-1}(\{\theta(\sigma)\}) \right) = \begin{cases} 1 & \text{si } \sigma(k)=k, \\ k-1 & \text{sinon.} \end{cases} \] 18. Montrer pour tout $(x_1, \ldots, x_k) \in \mathbb{R}^k$, pour tout entier $N$, les identités suivantes : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \prod_{i=1}^k K^{(N)}(x_i, x_{\sigma(i)}) dx_k = \begin{cases} N \prod_{i=1}^{k-1} K^{(N)}(x_i, x_{\hat{\sigma}(i)}) & \text{si } \sigma(k) = k, \\ \prod_{i=1}^{k-1} K^{(N)}(x_i, x_{\hat{\sigma}(i)}) & \text{sinon.} \end{cases} \] 19. En utilisant l’expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, déduire, des questions précédentes, que pour tout entier $k>1$, \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{Det} \, K^{(N)}(x_1, \ldots, x_k) dx_k = (N-k+1) \mathrm{Det} \, K^{(N)}(x_1, \ldots, x_{k-1}), \] avec par convention $\mathrm{Det} \, K^{(N)}(x_1, \ldots, x_k) = 1$ si $k=0$. 20. Soient $N$ réels, $x_1, \ldots, x_N$, montrer les deux égalités suivantes : \[ \det \begin{pmatrix} h_0(x_1) & h_1(x_1) & \dots & h_{N-1}(x_1) \\ \vdots & & & \vdots \\ h_0(x_N) & h_1(x_N) & \dots & h_{N-1}(x_N) \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{N-1} \\ \vdots & & & \vdots \\ 1 & x_N & \cdots & x_N^{N-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq N} (x_j - x_i). \] } 21. Soient $N$ réels $(x_1,\ldots,x_N)$, établir pour tout entier $1\leq k\leq N$, l’identité suivante : \[ \frac{1}{d_0\cdots d_{N-1}}\Psi_k^{(N)}(x_1,\ldots,x_k) = \mathrm{Det}\, K^{(N)}(x_1,\ldots,x_k). \] On commencera par le cas $k = N$.}FAQ
Dans ce sujet, tu étudies en profondeur la famille des polynômes de Hermite (ici notés hₙ(x)), connus pour leurs propriétés remarquables en analyse et en probabilités. Tu y abordes leur construction par récurrence, la détermination de leurs degrés et coefficients dominants, leurs dérivées, ainsi que leur lien avec certaines séries entières et l’analyse des solutions d’équations différentielles. C’est une occasion parfaite de réviser les techniques liées à l’orthogonalité des familles de polynômes et à leur rôle dans l’étude des opérateurs en mathématiques appliquées.
Ce sujet exploite le noyau de projection K^{(N)} et ses déterminants pour t’entraîner à manipuler les notions de fonctions à plusieurs variables, de symétrie, et d’intégration sur R^k. C’est un terrain idéal pour maîtriser comment on passe de la combinatoire (permutations et signatures) à l’analyse fonctionnelle (calculs d’intégrales et propriétés des fonctions noyaux). Cela te prépare aussi à comprendre l’importance de ces outils pour des applications comme la mécanique quantique, le traitement du signal ou les probabilités.
À travers les identités mettant en jeu des déterminants de matrices (par exemple avec les hₙ(x) ou les monômes x^n), tu manipules non seulement les propriétés algébriques de ces objets, mais aussi des formules classiques comme la formule de Vandermonde. Le sujet te pousse à combiner des arguments de récursion, des manipulations de signatures de permutations et des calculs de produits de matrices, autant d’outils indispensables pour briller dans les écrits des concours scientifiques. Besoin d’aller plus loin sur ces points ? Débloque le corrigé sur Prépa Booster pour un accès à toutes les solutions détaillées et méthodiques !
Le sujet t’invite à établir des développements en série entière pour des fonctions comme fₓ(t) = exp(-(x-t)²), à déterminer leur rayon de convergence, et à manipuler des formules à base de dérivées successives. Tu as aussi l’occasion de relier ces notions à la théorie des espaces de Hilbert, notamment grâce à l’orthogonalité des fonctions et à certaines inégalités classiques comme celle de Cauchy-Schwarz. Ce sont des compétences fondamentales, utiles en physique et en mathématiques appliquées.
Tu retrouves ici des équations différentielles linéaires, pour lesquelles le sujet t’amène à discuter existence et unicité des solutions, former des équivalents asymptotiques et développer des solutions en série. Cette partie, typique des sujets de Mines-Ponts en PC, permet d’associer des méthodes analytiques (variation de la constante, intégrales, séries) et des techniques classiques pour aborder des problèmes en physique ou en probabilités.
Ce sujet illustre parfaitement l’importance des polynômes orthogonaux dans la résolution d’équations de la physique quantique (oscillateur harmonique, propagation de la chaleur…) ou dans l’étude des lois gaussiennes et des chaînes de Markov en probabilités. Les identités fonctionnelles, l’intégration sur R^k et les noyaux de projection trouvent de nombreuses applications en physique, statistiques et traitement du signal.
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