Questions du sujet
1. Soit $\varphi(\lambda) = \lambda^{2t}(1 – \lambda)^2$ pour $\lambda \in [0, 1]$. Calculer $\max_{\lambda \in [0, 1]} \varphi(\lambda)$. 2. Soit $\psi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\psi(x) = |x|^{2t}$. Montrer que $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $\psi’$ et $\psi”$. 3. Soit $h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. Prouver que $l = |h|^{2t}$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $l’$ et $l”$. 4. Montrer que pour tout $\beta \in \mathbb{R}^n$, la fonction $(\varepsilon \mapsto L_\alpha(\varepsilon, \beta))$ est dérivable et exprimer sa dérivée sous forme d’intégrale. 5. Montrer que pour tout $\beta \in \mathbb{R}^n$, la fonction $(\varepsilon \mapsto L_\alpha(\varepsilon, \beta))$ est deux fois dérivable et exprimer sa dérivée seconde sous forme d’intégrale.} 6. Établir que $$ I_t(\alpha + \beta) – I_t(\alpha) = \int_0^1 \frac{\partial L_\alpha}{\partial \varepsilon} (\varepsilon, \beta) d\varepsilon, $$ puis montrer que $I_t$ est continue sur $\mathbb{R}^n$. 7. En utilisant les propriétés de $L_\alpha$, montrer que les dérivées partielles $\frac{\partial^2 I_t}{\partial \alpha_k^2}$ pour $k = 1, \ldots, n$, existent et les exprimer sous forme d’intégrales. 8. Montrer que $I_t$ est une fonction bornée sur $\mathbb{R}^n$, qui atteint son minimum. On note $\widetilde{\alpha}$ l’un des points où le minimum est atteint. 9. Montrer que pour tout $\beta \in \mathbb{R}^n$, $\frac{\partial^2 L_{\widetilde{\alpha}}}{\partial \varepsilon^2}(0, \beta) \ge 0$ puis que $\sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 I_t}{\partial \alpha_k^2}(\widetilde{\alpha}) \ge 0$. 10. Établir alors l’inégalité suivante : $$ I_t(\widetilde{\alpha}) \leq (2t – 1) \|r\|^2 I_{t-1} (\widetilde{\alpha}). $$ } 11. Établir la majoration suivante : $$ I_t(\widetilde{\alpha}) \leq 2\pi \left( (2t-1)\|r\|^2 \right)^t. $$ 12. Établir les deux identités $$ \int_0^{2\pi} P_r(x, \alpha)\, dx = 0 \quad \text{et} \quad \int_0^{2\pi} |P_r(x, \alpha)|^2 dx = \pi \| r\|^2. $$ 13. Montrer que la borne supérieure $S = \sup_{x\in \mathbb{R}} |P_r(x, \alpha)|$ est finie et qu’il existe $x_\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $|P_r(x_\alpha, \alpha)| = \sup_{x\in \mathbb{R}} |P_r(x, \alpha)|$. 14. Montrer que $\| r\|^2 \leq 2S^2$. 15. Montrer que la fonction $x \mapsto P_r(x,\alpha)$ est non identiquement nulle et n’est pas de signe constant.} 16. Soit $\lambda \in\,]0,1[$. Soit $V^+_\lambda = \lbrace \xi \in [x_\alpha, x_\alpha + 2\pi],\ |P_r(\xi,\alpha)| = \lambda S\rbrace$. Montrer que $V^+_\lambda$ est un ensemble compact non vide.\\ Soit $b = \min\lbrace \xi,\ \xi \in V^+_\lambda\rbrace$. 17. Montrer qu’il existe $a$ tel que : \\ $a < x_\alpha < b$ et $b-a < 2\pi$, \\ $|P_r(a,\alpha)| = |P_r(b,\alpha)| = \lambda S$,\\ $|P_r(x,\alpha)| > \lambda S$ pour tout $x \in\, ]a, b[ $. 18. Établir les relations $$ 2(1-\lambda)S = \left| \int_a^b \frac{\partial P_r}{\partial x}(x,\alpha)\ dx \right| \quad \text{et} \quad \left(2(1-\lambda)S\right)^2 \le (b-a) \int_a^b \left| \frac{\partial P_r}{\partial x}(x,\alpha)\right|^2 dx, $$ 19. Établir l’inégalité suivante : $$ \int_a^b \left| \frac{\partial P_r}{\partial x}(x,\alpha) \right|^2 dx \leq \pi \sum_{k=1}^n k^2 r_k^2 . $$ 20. Établir les inégalités suivantes : $$ \frac{2}{\pi} \frac{\|r\|^2}{\sum_{k=1}^n k^2 r_k^2} (1-\lambda)^2 \le (b-a) \leq I_t( \widetilde{\alpha} ) (\lambda S)^{-2t}. $$ } 21. Montrer qu’il existe une constante $A$, indépendante de $n$, $r$, $t$ et $\widetilde{\alpha}$, telle que l’inégalité suivante soit satisfaite : $$ S^2 \leq A_t \left( \sum_{k=1}^n k^2 r_k^2 \right)^{1/t} \left( \sum_{k=1}^n r_k^2 \right)^{1 – 1/t}. $$ }FAQ
Ce sujet traite principalement de l’analyse réelle (dérivation, continuité, optimisation), des propriétés des fonctions de classe \( \mathcal{C}^2 \), de l’intégration, du calcul de majorations/minorations et de la manipulation des normes et inégalités sur \( \mathbb{R}^n \). Tu trouveras aussi des liens étroits avec la théorie des polynômes trigonométriques, l’étude des bornes et extrema, et l’utilisation avancée des dérivées partielles. Ces notions sont fondamentales pour réussir les concours d’entrée aux grandes écoles d’ingénieurs.
En CPGE, tu dois apprendre à manipuler aisément les fonctions de plusieurs variables, à calculer leurs dérivées partielles, et à raisonner sur leur continuité et leur croissance. Le sujet aborde les fonctions du type \( L_\alpha(\varepsilon, \beta) \) dont on te demande d’exprimer les dérivées sous forme d’intégrales. Il te faudra donc bien maîtriser l’interprétation des intégrales paramétrées, les règles de dérivation sous le signe intégral et les critères de régularité des fonctions.
Les inégalités jouent un rôle central dans ce sujet, que ce soit pour encadrer une fonction, prouver l’existence d’un minimum, ou estimer la borne supérieure d’une suite ou d’un polynôme trigonométrique. Savoir démontrer et interpréter ces inégalités fait partie des compétences-clés pour réussir une épreuve Mines-Ponts : elles montrent ta maîtrise des outils analytiques et ton esprit de synthèse face à des situations complexes. Si tu veux progresser, consulter un corrigé détaillé est vivement conseillé pour décortiquer chaque étape !
Les polynômes trigonométriques sont omniprésents en mathématiques appliquées et en physique. Dans ce sujet, ils servent à illustrer des concepts de maximum, de norme, et de répartition des racines et extremums. L’analyse de la borne supérieure, l’étude de la variation et les intégrales de ces polynômes sont des prérequis pour aborder sereinement toute la partie analyse harmonique que tu retrouveras plus tard. Le sujet t’invite ici à manipuler ces outils de façon rigoureuse, en vue de résoudre des questions d’optimisation.
L’étude fine de la continuité, de la dérivabilité, voire de la classe de régularité \( \mathcal{C}^2 \), permet de garantir l’existence des extrema (minimum, maximum), de valider le passage de la dérivée sous le signe intégral ou l’écriture des formules de Taylor. Ici, le sujet te pousse à exploiter à fond ces points pour obtenir des identités intégrales, démontrer des encadrements et pousser les calculs jusqu’à la dérivation seconde. Une compétence incontournable le jour du concours !
Entraîne-toi d’abord à relire les notions fondamentales (analyse réelle, polynômes trigonométriques, intégrales et dérivées, inégalités classiques), puis attaque ce sujet pas à pas. N’hésite pas à rédiger tes réponses comme au concours, et à te confronter à des corrigés détaillés pour comprendre les astuces des questions les plus subtiles. Sur Prépa Booster, tu peux débloquer l’accès aux corrigés complets, aux dossiers d’exercices supplémentaires et à un espace de révision personnalisé : de quoi progresser et gagner en confiance !
Les identités intégrales servent ici à réécrire des différences de valeurs de fonctions ou à lier extrema/bornes à des quantités intégrées. Les méthodes de preuve via intégration par parties, changements de variables et manipulation de paramètres dans l’intégrale sont fréquentes dans ce sujet. Elles sont aussi très appréciées au concours car elles montrent ta capacité à relier résultats généraux et cas concrets.