Questions du sujet
1. A Soit $E = \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $F = \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 2. Donner une base de $F$. 3. Montrer que l’application linéaire \[ A : F \rightarrow \mathbb{R}^2,\, f \mapsto \begin{pmatrix} f(0) \\ f'(0) \end{pmatrix} \] est un isomorphisme. 4. Déterminer \[ G = \big\{ g \in E \,|\, g(0) = g'(0) = 0 \big\}. \] Montrer que $E = F \oplus G$. 5. Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$ définie par $f(t) = (3t-4t^2+8t^3,\ 5t-6t^2+10t^3,\ t-t^2+t^3)$. } 6. Soit $P$ le plan d’équation $x-y+z=0$ de $\mathbb{R}^3$. \\ A. Préciser une famille de fonctions de $E$ dont l’image est incluse dans $P$. \\ B. Quelle condition doit vérifier $f$ pour que son image soit incluse dans $P$ ? \\ C. Montrer que l’ensemble des fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ telles que l’image de $f$ est incluse dans $P$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 7. Soit $E = \mathbb{R}^{\mathbb{N}^*}$. Montrer que la famille $(e_i, i \in I)$ est libre. 8. Soit \[ f_{i,j}(x, y) = x^i y^j \] pour $(i, j) \in \mathbb{N}^2$. Montrer que la famille $\big(f_{i,j}, (i, j) \in \mathbb{N}^2 \big)$ est libre dans $E$. 9. Soit $\Delta : E \to E$, $f \mapsto \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} – \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, et $\Phi : E \to E$, $f \mapsto \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$. Soit $F$ l’ensemble des $g$ dans $E$ tels qu’il existe $f \in F$ avec $g = \Phi(f)$. Montrer que $F$ est engendré par la famille $\left( f_{i,j}, (i,j)\in\mathbb{N}^2 \right)$. 10. Décrire le noyau de $\widetilde{\Phi}$. } 11. Montrer que $F = x y F \oplus \ker \widetilde{\Phi}$. 12. Soit $w : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, (u, v) \mapsto \left(\frac{u+v}{2}, \frac{u-v}{2}\right)$. On définit $L : F \to E$, $f \mapsto f \circ w$. Montrer que $L(\ker \Delta) = \ker \widetilde{\Phi}$. 13. Montrer que $L[(x^2 – y^2)F] = uvF$. 14. Donner le noyau de $\Delta$. 15. Montrer que si $h \circ g = f$ avec $h \in L(G, F)$, $g \in L(E, G)$, alors $\ker g \subset \ker f$. } 16. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, $f_1,\ldots, f_{k+1} : E \to \mathbb{R}$ linéaires. On pose $H_i = \ker f_i$. Montrer que si $\bigcap_{i=1}^k H_i \subset H_{k+1}$, alors $f_{k+1}$ est combinaison linéaire de $f_1, \ldots, f_k$. 17. Poser $\varphi : E \to \mathbb{R}^k$, $x \mapsto (f_1(x), \ldots, f_k(x))$. 18. Décrire (ensemblistement) le sous-espace vectoriel $D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = 0, y = x\}$. 19. Décrire (ensemblistement) la sphère $S = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3\ |\ x^2+y^2+z^2-2x-6y-4z+10=0\right\}$. }FAQ
Le sujet aborde des notions fondamentales d’algèbre linéaire, comme la construction et les propriétés de sous-espaces vectoriels, la liberté et la génération de familles de fonctions, la dualité, la linéarité, ou encore les isomorphismes. Côté analyse, tu retrouves le travail sur les fonctions de classe C∞, les applications différentielles (dérivées partielles), et la structure de l’espace des fonctions polynomiales ou différentiables. Ces points sont classiques dans les sujets du concours Mines-Ponts en filière PC.
Pour être à l’aise sur ces notions, je te conseille de bien maîtriser les définitions et propriétés : qu’est-ce qu’un sous-espace ? Quand une famille est-elle libre/génératrice ? Travaille aussi des exercices où il faut exhiber une base, calculer des dimensions, ou démontrer la liberté d’une famille de fonctions ou de vecteurs. Pour t’entraîner efficacement, tu peux débloquer les corrigés Prépa Booster et accéder à de nombreux exercices corrigés sur ces notions – ça te permet de progresser bien plus vite !
Les applications linéaires et les questions de noyau/image sont au cœur de l’algèbre linéaire en prépa car elles permettent de structurer l’étude des espaces vectoriels et des transformations. Maîtriser ces notions, c’est être capable d’analyser la structure d’un problème mathématique, d’en déduire des propriétés essentielles et de traiter efficacement les questions de base/changement de base, d’isomorphismes, ou d’équations linéaires. C’est un incontournable des concours d’entrée aux grandes écoles !
L’étude des fonctions à plusieurs variables et des dérivées partielles t’équipe pour aborder non seulement des problèmes d’analyse avancée, mais aussi des sujets multidisciplinaires : géométrie, physique (mécanique des fluides, électromagnétisme…), équations aux dérivées partielles. Savoir manipuler les opérateurs $\Delta$ ou $\Phi$, travailler sur les noyaux et images de telles applications, c’est incontournable pour bien réussir les épreuves écrites du concours Mines-Ponts.
Pour une copie efficace, pose bien les définitions et propriétés exploitées, structure ta démonstration étape par étape, utilise des notations précises et explique tes raisonnements – le correcteur évalue ta rigueur et ta clarté ! N’oublie pas d’annoncer ce que tu démontres, d’appuyer tes transitions, et de conclure explicitement. Les corrigés détaillés Prépa Booster sont conçus pour te montrer ce niveau d’exigence attendu en concours : tu peux les consulter en débloquant les corrigés.
L’analyse de plans et de sphères dans l’espace est un classique : cela permet de s’exercer à la géométrie analytique, manipuler des équations cartésiennes, repérer des sous-espaces vectoriels ou affines, et calculer des intersections. Cette gammes de savoir-faire est très recherchée aussi bien à l’écrit qu’à l’oral en maths spé PC, car elle allie intuition géométrique et technique de calcul !
Ce genre de questions est central dans ta préparation. Les espaces vectoriels de fonctions ($\mathcal{C}^\infty$, espaces polynomiaux, etc.) relient l’algèbre, l’analyse et la physique. C’est souvent autour de ces cadres que s’articulent les exercices complexes des concours. Pour progresser, n’hésite pas à consulter les corrigés des années précédentes via Prépa Booster et t’autoévaluer avec le dashboard personnalisé.