Questions du sujet
1. D\’emontrer que la suite des matrices $(U^n)_{n\in\mathbb{N}}$, o\`u $U^n$ est la matrice $U$ \’elev\’ee \`a la puissance $n$, (avec la convention habituelle $U^0 = I$), appartient \`a l’espace vectoriel $E$. 2. Etablir la relation qui, pour tout entier naturel $n$, lie les matrices $U_{n+2}$, $U_{n+1}$ et $U_n$. 3. Comparer, pour tout entier $p$ compris entre 0 et 2 ($0 \leq p \leq 2$) les matrices $U_p$ et $U^p$. D\’emontrer qu’il existe, pour tout entier naturel $n$, une relation simple entre les matrices $U_n$ et $U^n$. 4. D\’eduire des deux r\’esultats pr\’ec\’edents les relations suivantes : pour tout entier naturel $n$, $\det U_n = (-1)^n$, $(g_n)^2 – 5 (f_n)^2 = 4 (-1)^n$. 5. \’Etant donn\’es deux entiers naturels $p$ et $q$, exprimer les termes $f_{p+q}$ et $g_{p+q}$ des suites $F$ et $G$ en fonction des termes $f_p, g_p, f_q$ et $g_q$ de ces m\^emes suites.} 6. D\’eterminer l’inverse de la matrice $U_n$ en fonction des matrices $I$ et $J$. Exprimer les coefficients des matrices $I$ et $J$ \`a l’aide des r\’eels $f_n$ et $g_n$. 7. D\’emontrer que le polyn\^ome $P_n(X) = X^n – f_n X – f_{n-1}$, pour tout entier $n \geq 2$, est divisible par le polyn\^ome $X^2 – X – 1$. 8. Quel est le polyn\^ome caract\’eristique de la matrice $U$ ? 9. Calculer la valeur de la matrice $C_n = U^n – f_n U – f_{n-1} I$. 10. D\’eterminer le polyn\^ome caract\’eristique de la matrice $U_n$. En d\’eduire la relation suivante : $U^{2n} – g_n U^n + (-1)^n I = 0$.} 11. Soient $Q$ et $R$ les polyn\^omes obtenus en effectuant la division euclidienne du polyn\^ome $X^{2n} – g_n X^n + (-1)^n$ par le polyn\^ome $X^2 – X – 1$ : \[X^{2n} – g_n X^n + (-1)^n = Q(X)(X^2 – X – 1) + R(X).\] Pr\’eciser les degr\’es des polyn\^omes $Q$ et $R$. D\’emontrer, en utilisant par exemple les r\’esultats de la question pr\’ec\’edente, que le polyn\^ome $X^{2n} – g_n X^n + (-1)^n$ est divisible par $X^2 – X – 1$. 12. Le but de cette question est de calculer, pour tout entier $n$ sup\’erieur ou \’egal \`a $2$ ($n \geq 2$), des expressions plus simples des deux expressions suivantes : \[\alpha_n = f_0 + f_2 + \dots + f_{2n} = \sum_{k=0}^n f_{2k}, \qquad \beta_n = g_0 + g_2 + \dots + g_{2n} = \sum_{k=0}^n g_{2k}.\] D\’eterminer les expressions de $\alpha_n$ et de $\beta_n$ en fonction respectivement de $f_{2n+1}$ et de $g_{2n+1}$ en consid\’erant par exemple la matrice $S_n$ d\’efinie par la relation suivante : $S_n = U_0 + U_2 + \dots + U_{2n} = \sum_{k=0}^n U_{2k}$. 13. D\’emontrer que le polyn\^ome $X^6 – 4X^3 – 1$ est divisible par le polyn\^ome $X^2 – X – 1$. 14. En d\’eduire que la matrice $U$ v\’erifie, pour tout entier naturel $p$, la relation suivante : $U^{6+p} = 4U^{3+p} + U^p$. 15. D\’eduire de la relation pr\’ec\’edente que les termes des suites $F$ et $G$ v\’erifient, pour tout entier naturel $p$, les relations suivantes : $f_{6+p} = 4f_{3+p} + f_p, \qquad g_{6+p} = 4g_{3+p} + g_p$.} 16. D\’eduire des r\’esultats pr\’ec\’edents l’expression du terme g\’en\’eral $t_n$ de la suite $T$, d\’efinie par les relations suivantes : $t_0 = 1, t_1 = 4$, pour tout entier naturel $n,\ t_{n+2} = 4 t_{n+1} + t_n$, en fonction de termes des suites $F$ et $G$. 17. D\’eterminer pour quelles valeurs du r\’eel $x$ la matrice $I – xU$ est inversible et d\’eterminer son inverse sous la forme d’une combinaison lin\’eaire des matrices $I$ et $U$. 18. Il est admis qu’une suite de matrices $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de l’espace vectoriel $E$ tend vers $0$, lorsque l’entier $n$ cro\^it vers l’infini, si et seulement si tous les termes de la matrice $A_n$ tendent vers $0$. D\’eterminer une condition n\’ecessaire et suffisante sur le r\’eel $x$ pour que la suite de matrices $(x^n U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tende vers $0$ lorsque l’entier $n$ cro\^it vers l’infini. 19. En d\’eduire, lorsque la condition obtenue sur le r\’eel $x$ est r\’ealis\’ee, la limite de la suite de matrices $(\Sigma_n(x))_{n\in\mathbb{N}}$, o\`u $\Sigma_n(x) = \sum_{k=0}^n x^k U_k$. 20. A partir des r\’esultats pr\’ec\’edents, d\’eterminer un minorant $\rho$ des rayons de convergence des deux s\’eries enti\`eres de termes g\’en\’eraux $(f_n x^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(g_n x^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et les sommes $A(x)$ et $B(x)$ de ces deux s\’eries : \[A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n x^n; \qquad B(x) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n x^n.\]}FAQ
Le sujet aborde des notions centrales de l’algèbre linéaire et des suites récurrentes, comme le calcul matriciel (puissance, inverse, déterminant), les suites de matrices, l’étude des polynômes caractéristiques et d’annulation, ainsi que la diagonalisation. Il exploite aussi des suites numériques célèbres, comme la suite de Fibonacci, et les récurrences liées aux polynômes. Ces thèmes sont fondamentaux pour comprendre les méthodes algébriques avancées attendues au concours. Pour approfondir chaque notion avec des exercices corrigés et des explications détaillées, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
Les suites de matrices permettent de modéliser et de résoudre des systèmes d’équations différentielles ou de récurrence, ce qui ouvre la porte à l’analyse de comportements asymptotiques ou périodiques. Les organiser en récurrence, c’est faire un pont immédiat avec les suites numériques classiques (comme les suites de Fibonacci), tout en mobilisant des outils d’algèbre matricielle. Au concours, maîtriser ces méthodes te permet non seulement d’être à l’aise avec la manipulation des matrices, mais aussi de t’attaquer plus sereinement aux exercices de modélisation mathématique.
Les polynômes caractéristiques et d’annulation servent à simplifier drastiquement les calculs de puissances de matrices, notamment en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton. Par exemple, si tu sais que ta matrice satisfait une équation polynomiale, tu peux exprimer toute puissance supérieure à un certain seuil en fonction des puissances inférieures. C’est clé pour obtenir des relations de récurrence entre matrices, qui sont souvent au cœur de la démarche de résolution dans ce type de sujets.
Les suites de type Fibonacci interviennent très souvent en concours, car elles permettent d’introduire la notion de suite récurrente linéaire, de résoudre des équations fonctionnelles et de lier algèbre et analyse via leurs propriétés génératrices et asymptotiques. Elles servent surtout de laboratoire pour manipuler les matrices, les polynômes et les relations de récurrence, éléments indispensables pour briller au concours Mines-Ponts ou à d’autres épreuves exigeantes. N’hésite pas à t’exercer sur ces thèmes en débloquant les corrigés détaillés sur Prépa Booster.
Savoir manipuler les séries entières te permet d’aborder des questions de convergence, de sommation et d’approximation, qui sont fréquemment intégrées dans les dernières sous-parties des sujets, pour relier l’algèbre aux outils d’analyse. Comprendre comment déterminer un rayon de convergence ou exprimer la somme d’une série associée à une suite récurrente est un atout majeur pour la résolution d’exercices transversaux et pour te différencier pendant l’épreuve.
L’étude de l’inversibilité d’une matrice de la forme I – xU est typique des applications du calcul matriciel à des problèmes de séries ou de systèmes linéaires paramétrés. Cela permet d’introduire la notion de dépendance en un paramètre, de poser des problèmes de convergence de suites de matrices, ou de générer des formules fermées pour des sommes. Savoir manipuler ce type de question sera très utile, car on le retrouve à la fois dans les écrits et à l’oral des grandes écoles.