Questions du sujet
1. I-1. Exemples :\\ Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle E vérifiant les conditions C dans les deux cas suivants :\\ a. La fonction $p$ est nulle et la fonction $f$ constante et égale à 1 :\\ $p(x) = 0$, $f(x) = 1$.\\ b. La fonction $p$ est constante et égale à 1 ; la fonction $f$ est la fonction $x \mapsto e^{\alpha x}$ où $\alpha$ est un réel donné :\\ $p(x) = 1$, $f(x) = e^{\alpha x}$. 2. I-2. Unicité des solutions :\\ a. Soit $u$ une fonction solution de l’équation $E_0$ vérifiant les conditions $C$ ; démontrer que cette solution $u$ vérifie la relation :\\ \[ \int_0^1 u'(x)^2 + p(x) u(x)^2 \, dx = 0. \] En déduire que la seule solution du problème $P_0$ est la solution nulle.\\ b. Démontrer que, pour des fonctions $p$ et $f$ données, il existe, au plus, une solution du problème $P$. 3. I-3. Existence d’une solution :\\ a. Étant données deux fonctions $u_1$ et $u_2$ solutions de l’équation différentielle $E_0$, soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $I$ par la relation suivante :\\ $g(x) = u_1(0) u_2(x) – u_2(0) u_1(x)$.\\ Démontrer que, si la fonction $g$ s’annulle au point 1 ($g(1) = 0$), la fonction $g$ est nulle sur l’intervalle $I$.\\ En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les deux solutions $u_1$ et $u_2$ pour que la fonction $g$ ne s’annulle pas en 1 ($g(1) \ne 0$).\\ Soient $u_1$ et $u_2$ deux solutions de l’équation différentielle $E_0$, $v$ une solution de l’équation $E$ et $\alpha$ et $\beta$ deux scalaires. Soit $u$ et $X$ la fonction et le vecteur définis par les relations suivantes :\\ $u(x) = \alpha u_1(x) + \beta u_2(x) + v(x)$ ; $X = (\alpha,\,\beta)^T$. 4. I-3.b. Démontrer que, pour que la fonction $u$ soit solution du problème $P$, il faut et il suffit que le vecteur $X$ vérifie la relation matricielle suivante :\\ $U.X = B,$\\ où $U$ est une matrice carrée d’ordre $2$ et $B$ un vecteur qui seront précisés. 5. I-3.c. Démontrer que le problème $P$ admet une solution unique.} 6. II-1. Quelques propriétés matricielles :\\ Soit $A = (a_{ij})_{1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq n}$ une matrice carrée de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ :\\ a. Démontrer que, pour que cette matrice $A$ soit positive, il faut et il suffit que le vecteur image de tout vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^n$ soit positif.\\ b. Établir la propriété : pour tout vecteur $X$ de $\mathbb{R}^n$,\\ \[ |A.X| \leq N(A)\,|X|. \] 7. II-1.c. Démontrer, pour une matrice $A$ positive, la relation :\\ \[ N(A) = \max_{1 \leq i \leq n}\, \sum_{j=1}^n a_{ij}. \] Comparer les deux expressions $N(A)$ et $A \cdot E$ ; en déduire la norme de la matrice $A$. 8. II-1.d. Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ possédant la propriété suivante : chaque fois qu’un vecteur $X$ de $\mathbb{R}^n$ a une image positive ($A.X \geq 0$), le vecteur $X$ est positif ($X \geq 0$). Démontrer que la matrice $A$ est injective puis qu’elle est inversible et que son inverse $A^{-1}$ est une matrice positive. 9. II-2. Un exemple :\\ Soient $A$ et $H$ les deux matrices carrées d’ordre $n$ suivantes :\\ Les termes de la matrice $A$ situés sur la diagonale principale sont égaux à $2$, ceux situés juste au-dessus et juste au-dessous à $1$, les autres sont nuls.\\ La matrice $H$ est diagonale et positive ; les termes $h_i$, $1 \leq i \leq n$, de la diagonale principale sont positifs ou nuls $h_i \geq 0$ : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \\ \end{pmatrix} \quad H = \begin{pmatrix} h_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & h_2 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & h_n \\ \end{pmatrix} \] a. Soit $X$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$ de coordonnées $x_i$, $i=1,2,\ldots,n$, tel que le vecteur $(A + H).X$ soit positif.\\ Démontrer que le vecteur $X$ est positif à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, par exemple, en complétant la suite $x_i\, (1 \leq i \leq n)$ par des termes $x_0$ et $x_{n+1}$ nuls ($x_0 = x_{n+1} = 0)$, et en considérant l’entier $k$ pour lequel le réel $x_k$ est égal au plus petit des réels $x_i$, $0 \leq i \leq n + 1$ :\\ $x_k = \min_{0 \leq i \leq n+1} x_i$. 10. II-2.b. Déduire du résultat précédent que les deux matrices $A + H$ et $A$ sont inversibles.} 11. II-3. Norme de la matrice $(A + H)^{-1}$ :\\ Soient $V$ et $W$ les deux vecteurs définis par les relations suivantes :\\ $V = (A + H)^{-1} E$, $W = A^{-1} E$.\\ a. Démontrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteur $AW – V$.\\ b. Comparer les normes des deux vecteurs $V$ et $W$ ; en déduire : pour tout vecteur $X$ de $\mathbb{R}^n$,\\ \[ |(A + H)^{-1} X| \leq ||W||\, |X|. \] 12. II-4. Une majoration de la norme du vecteur $W$ :\\ Soit $\mathcal{S}$ l’ensemble des suites réelles infinies $(x_k)_{k \geq 0}$ vérifiant, pour $k \geq 0$, la relation de récurrence suivante : \[ x_{k+1} – 2\,x_k + x_{k-1} = 1. \] Soit $\mathcal{S}_0$ l’ensemble des suites réelles $(x_k)_{k \geq 0}$ vérifiant, pour $k \geq 0$, la relation de récurrence suivante : \[ x_{k+1} – 2\,x_k + x_{k-1} = 0. \] a. Déterminer les suites qui appartiennent à l’espace $\mathcal{S}_0$.\\ b. Déterminer une suite $y_k$ appartenant à l’espace $\mathcal{S}$ qui soit un monome du deuxième degré : $y_k = a k^2$.\\ c. Déterminer les suites qui appartiennent à l’espace $\mathcal{S}$ ; en particulier celles qui vérifient les deux conditions suivantes : $x_0 = 0,\, x_{n+1} = 0$.\\ d. Déterminer les coordonnées du vecteur $W = A^{-1}E$ ; en déduire que la norme de ce vecteur vérifie l’inégalité suivante : \[ ||W|| \leq \frac{1}{8} (n+1)^2. \]} 13. III-1. Une approximation de la dérivée seconde :\\ Soit $u$ une fonction quatre fois continûment dérivable sur le segment $I$. Soit $M$ le maximum de la valeur absolue de la dérivée quatrième : \[ M = \sup_{x \in I} |u^{(4)}(x)|. \] Soient $t$ et $h$ des réels tels que les réels $t+h$ et $t-h$ appartiennent au segment $I$. Démontrer l’existence d’une fonction $R$ des réels $t$ et $h$ qui vérifie les relations suivantes : \[ u(t+h) + u(t-h) – 2u(t) = h^2 u”(t) + R(t,h), \quad |R(t,h)| \leq \frac{h^4}{12} M. \] 14. III-2. Problème $P$ discrétisé :\\ a. Démontrer que, si les deux fonctions $p$ et $f$ sont deux fois continûment dérivables, la solution $u$ du problème $P$ est quatre fois continûment dérivable.\\ Soient $X$ et $Y$ les vecteurs de $\mathbb{R}^n$ et $H$ la matrice diagonale de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définis par les relations suivantes : \[ X = \begin{pmatrix} u(t_1) \\ u(t_2) \\ \vdots \\ u(t_n) \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} f(t_1) h^2 \\ f(t_2) h^2 \\ \vdots \\ f(t_n) h^2 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} p(t_1) h^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p(t_2) h^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & p(t_n) h^2 \end{pmatrix} \] 15. III-2.b. Déterminer, en désignant toujours par $A$ la matrice définie à la question II-2, un majorant de la norme du vecteur $Z = (A + H) X – Y$, au moyen des réels $M$ et $h$.\\ Soit $X$ le vecteur défini par la relation suivante :\\ $X = (A+H)^{-1} Y$. 16. III-2.c. Démontrer la majoration :\\ \[ |X – \tilde{X}| \leq K h^2, \] où $K$ est une constante ; en donner une valeur à l’aide de $M$.\\ Donner une signification du vecteur $X$. Préciser comment ce vecteur se calcule.}FAQ
Les équations différentielles interviennent dans de nombreux modèles physiques, chimiques ou d’ingénierie, notamment dans l’étude des phénomènes dynamiques. Dans le sujet Maths Mines-Ponts PC 2002, elles permettent d’aborder des problèmes de conditions aux limites typiques de la physique (diffusion, vibration). Les maîtriser, c’est décoder le langage de la modélisation scientifique !
La positivité d’une matrice, souvent rencontrée dans la discrétisation des équations différentielles, assure que certaines propriétés (comme la stabilité et l’existence d’une solution unique) sont garanties. Quant à l’inversibilité, elle est indispensable pour résoudre les systèmes linéaires issus des schémas numériques, tout comme pour passer du discret au continu. Si tu sais démontrer qu’une matrice est inversible et positive, tu maîtrises des outils clés en analyse numérique.
Résoudre les récurrences, c’est comme comprendre le squelette des schémas numériques ! Dans ce sujet, les suites modélisent l’évolution discrète d’une solution et se retrouvent naturellement lors de la discrétisation d’opérateurs différentiels. Maîtriser ce point, c’est être capable de passer de l’algèbre linéaire à l’analyse et inversement, compétence très recherchée lors des épreuves du concours Mines-Ponts.
On te demande de justifier par un développement de Taylor comment évaluer numériquement la dérivée seconde grâce à des points proches (méthode des différences finies). Cet outil est indispensable pour passer des modèles continus aux algorithmes numériques, pierre angulaire des simulations physiques et des calculs sur ordinateur. Comprendre cette démarche, c’est saisir le lien entre théorie et applications concrètes, un vrai atout pour briller lors des épreuves écrites. Débloque le corrigé pour avoir tous les détails précis sur cette approximation !
Bien sûr ! Les raisonnements sur l’unicité, l’existence des solutions pour les équations différentielles ou la manipulation de matrices se retrouvent dans plein de sujets de concours (Centrale, ENS, CCP…). Ils servent aussi en physique, sciences de l’ingénieur et même en informatique pour l’analyse numérique. Toujours se demander comment transposer ces méthodes ailleurs : c’est la clé pour faire le lien et gagner en polyvalence ! Tu veux approfondir avec des exercices corrigés ? Teste le dashboard sur Prépa Booster.