Mines Maths 2 MP 2026

Questions du sujet

1. $\triangleright$ Pour tout $\theta \in \mathbf{R}$, on note :
   \[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}. \]
   Examiner sa diagonalisabilité sur $\mathbf{R}$, puis sur $\mathbf{C}$.

2. $\triangleright$ Prouver que $\mathrm{SO}_2(\mathbf{R}) = \{R_\theta, \theta \in \mathbf{R}\}$, autrement que par une simple référence au cours.

3. $\triangleright$ Montrer que $\mathrm{O}_n(\mathbf{R})$ est un ensemble compact et non connexe par arcs.

4. $\triangleright$ Prouver que $\mathrm{SO}_n(\mathbf{R})$ est connexe par arcs (on pourra commencer par le cas $n = 2$).

5. 5 $\triangleright$ Prouver que, si $H$ est un sous-groupe multiplicatif de $\mathrm{O}_n(\mathbf{R})$ contenant $\mathrm{SO}_n(\mathbf{R})$, alors $H = \mathrm{SO}_n(\mathbf{R})$ ou $H = \mathrm{O}_n(\mathbf{R})$.}

6. 6 $\triangleright$ Soient $p \in ]0, 1[$, $Y = (Y_{i,j})_{(i,j)\in(\mathbf{N}^*)^2}$ une famille de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{T}, P)$, indépendantes et de même loi donnée par $Y_{1,1} \sim \mathcal{B}(p)$. On définit alors la matrice à coefficients aléatoires :
\[ \forall \omega \in \Omega, \; Z_n(\omega) = (Y_{i,j}(\omega))_{1 \le i,j \le n} \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}). \]
Calculer les probabilités : $P(Z_2 \in \mathrm{GL}_2(\mathbf{R}))$, $P(Z_n \in \mathrm{O}_n(\mathbf{R}))$, puis $P(Z_n \in \mathrm{SO}_n(\mathbf{R}))$.

7. 7 $\triangleright$ Soient $x, y$ dans $E$ tels que $\|x\| = \|y\|$. Montrer qu’il existe une matrice de réflexion $A$ telle que $Ax = y$.

8. 8 $\triangleright$ Soit $G$ un sous-groupe compact de $(\mathrm{GL}_n(\mathbf{R}), \times)$, tel que $\mathrm{O}_n(\mathbf{R}) \subset G$. Soient $G \in G$ et $x \in E$ tel que $\|x\| = 1$. Prouver que, pour tout $p \in \mathbf{Z}$, il existe $G_p \in G$ tel que :
\[ G_p x = \|Gx\|^p \cdot x \]
(on pourra tout d’abord traiter le cas $p = 1$).

9. 9 $\triangleright$ Conclure que $G = \mathrm{O}_n(\mathbf{R})$.

10. 10 $\triangleright$ On note $f : M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \mapsto M^\top M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. Prouver que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et exprimer sa différentielle $\mathrm{d}f(M)$ en tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.}

11. 11 $\triangleright$ On note $T$ l’espace tangent à $\mathrm{O}_n(\mathbf{R})$ en $I_n$, c’est-à-dire l’ensemble des matrices $H \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ telles qu’il existe $\varepsilon > 0$ et $\gamma : {]{-\varepsilon}; \varepsilon[} \to \mathrm{O}_n(\mathbf{R})$ dérivable en $0$ vérifiant $\gamma(0) = I_n$ et $\gamma'(0) = H$. Montrer que $T$ est inclus dans l’ensemble des matrices antisymétriques.

12. 12 $\triangleright$ Prouver que $T$ est stable par somme, puis qu’il possède une structure d’espace vectoriel.

13. 13 $\triangleright$ Déterminer l’ensemble $T$.

14. 14 $\triangleright$ On introduit $g$ (carré de la norme euclidienne usuelle sur $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$) :
\[ g : M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \mapsto \mathrm{tr}(M^\top M) \in \mathbf{R}. \]
Prouver que la restriction de $g$ à $\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$ ne possède pas de maximum global.

15. 15 $\triangleright$ Prouver que $g$ et l’application $\det : M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \mapsto \det(M) \in \mathbf{R}$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ et déterminer leur gradient en tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ (en particulier, on justifiera que $\nabla \det(M) = \mathrm{Com}(M)$ : comatrice de $M$).}

16. 16 $\triangleright$ On suppose que la restriction de $g$ à $\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$ admet un extremum local en $M$. Prouver qu’il existe $\lambda \in \mathbf{R}$ tel que $M = \lambda \cdot \mathrm{Com}(M)$, puis que $M \in \mathrm{SO}_n(\mathbf{R})$.

17. 17 $\triangleright$ Prouver que la restriction de $g$ à $\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$ possède un minimum global, puis calculer ce minimum ainsi que les points où il est atteint.

18. 18 $\triangleright$ Déterminer les sous-groupes bornés du groupe multiplicatif $\mathbf{R}^*$. En déduire que $\varphi(U) \subset \mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$.

19. 19 $\triangleright$ Soit $z \in U$. Prouver que $\mathrm{Sp}_{\mathbf{C}}(\varphi(z)) \subset U$.

20. 20 $\triangleright$ On note $\Psi : x \in \mathbf{R} \mapsto \varphi(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})$. Prouver que :
\[ \forall(x, y) \in \mathbf{R}^2, \; \Psi(x+y) = \Psi(x)\Psi(y). \]}

21. 21 $\triangleright$ On introduit :
\[ F : x \in \mathbf{R} \mapsto \int_0^x \Psi(t)\,\mathrm{d}t \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}). \]
Prouver que $F$ est une application $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbf{R}$ et qu’il existe $\alpha > 0$ tel que $F(x)$ est inversible si $x \in [-\alpha; \alpha]\setminus\{0\}$ — on pourra, en justifiant, utiliser le fait que $\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.

22. 22 $\triangleright$ Prouver que, pour tout $x \in \mathbf{R}$,
\[ \Psi(x) = \left(\int_x^{x+\alpha} \Psi(t)\,\mathrm{d}t\right)(F(\alpha))^{-1}, \]
en déduire que $\Psi$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbf{R}$.

23. 23 $\triangleright$ On pose $M = \Psi'(0)$. Montrer que :
\[ \forall x \in \mathbf{R}, \; \Psi(x) = \varphi(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}) = \exp(xM). \]

24. 24 $\triangleright$ Soient $A, B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{C})$. Prouver que $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.

25. 25 $\triangleright$ Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C})$ une matrice nilpotente et non nulle. Montrer que $\ker(N) \neq \ker(N^2)$.}

26. 26 $\triangleright$ Calculer $\exp(2\pi M)$, en déduire que $\mathrm{Sp}_{\mathbf{C}}(M) \subset \{\mathrm{i}k, k \in \mathbf{Z}\}$.

27. 27 $\triangleright$ Justifier que $M$ est semblable dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{C})$ à une matrice de la forme $D + N$ avec :
$D$ diagonale, $N$ nilpotente, $DN = ND$ et $\mathrm{Sp}_{\mathbf{C}}(D) = \mathrm{Sp}_{\mathbf{C}}(M)$.

28. 28 $\triangleright$ Calculer $\exp(2\pi D)$ et $\exp(2\pi N)$, puis montrer que $N$ est nulle.

29. 29 $\triangleright$ Prouver qu’il existe $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$, $p \in \mathbf{N}$, $k_1, \dots, k_p$ dans $\mathbf{Z}\setminus\{0\}$, tels que :
\[ \forall x \in \mathbf{R}, \; \Psi(x) = Q \begin{pmatrix} R_{x k_1} & & & & (\mathbf{0}) \\ & \ddots & & & \\ & & R_{x k_p} & & \\ & & & 1 & & \\ & & & & \ddots & \\ (\mathbf{0}) & & & & & 1 \end{pmatrix} Q^{-1}, \]
la matrice du milieu étant diagonale par blocs et la notation $R_\theta$ ayant été définie à la question 1.

30. 30 $\triangleright$ Réciproquement, prouver que la définition précédente fait de $\Psi$ un morphisme de groupes de $(\mathbf{R}, +)$ dans $(\mathrm{GL}_n(\mathbf{R}), \times)$.}