Questions du sujet
1. Montrer que la matrice $H_n$ est symétrique réelle et définie positive. On pourra s’aider du calcul de l’intégrale $\int_0^1 \left(X_e(t)\right)^2 dt$. 2. On note $V$ le sous-espace propre de $H_n$ associé à la plus grande valeur propre $\Omega_n$ de $H_n$. Montrer que $X \in V$ si et seulement si $^tX H_n X = \Omega_n \|X\|^2$. 3. Soit $X_0 = \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{pmatrix}$ un vecteur non nul de $V$. On note $|X_0| = \begin{pmatrix} |x_0| \\ |x_1| \\ \vdots \\ |x_{n-1}|\end{pmatrix}$. Établir l’inégalité $^tX_0 H_n X_0 \leq ^t|X_0|H_n |X_0|$ et en déduire que $|X_0| \in V$. 4. Montrer que $H_n|X_0|$, puis que $X_0$, n’a aucune coordonnée nulle. 5. En déduire la dimension du sous-espace propre $V$.} 6. Soit $X = \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{pmatrix}$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$ et $P$ un polynôme à coefficients réels. En s’aidant du calcul de l’intégrale $\int_0^{2\pi} P(e^{i\mu})e^{i\mu} d\mu$, montrer l’inégalité $\left| \int_{-1}^1 P(t)dt \right| \leq \int_0^{2\pi} |P(e^{i\mu})| d\mu$, puis l’inégalité $^tX H_nX \leq \int_0^{2\pi} |X_e(e^{i\mu})|^2 d\mu$. 7. En déduire que $^tX H_nX \leq \pi \|X\|^2$. 8. Montrer que la suite $(\Omega_n)_{n\geq 1}$ est croissante et convergente. 9. Dans la suite du problème, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$, on pose $K_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} x^k$. Soit $E$ l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et intégrables sur $[0, 1[$ et $T_n : E \rightarrow E$ l’application définie par $T_n(f)(x) = \int_0^1 K_n(t x)f(t)dt$. Montrer que $T_n$ est un endomorphisme de $E$, dont $0$ est valeur propre. (On rappelle que $\lambda \in \mathbb{C}$ est valeur propre de $T_n$ s’il existe $f \in E$ non nulle telle que $T_n(f) = \lambda f$.) 10. Pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, calculer $T_n(X_e)$. En déduire que $T_n$ et $H_n$ ont les mêmes valeurs propres non nulles.} 11. On note $A$ l’ensemble des fonctions $\varphi \in E$ à valeurs strictement positives sur $]0,1[$ telles que $\frac{1}{\varphi}$ admette un prolongement continu sur $[0,1]$. On rappelle que $\Omega_n$ est la plus grande valeur propre de $H_n$. En utilisant un vecteur propre associé à $\Omega_n$, montrer que \[ \Omega_n \leq \inf_{\varphi \in A} \sup_{x \in ]0,1[} \frac{1}{\varphi(x)} \int_0^1 K_n(tx)\varphi(t)dt \] En utilisant la partie A, montrer que l’on a égalité dans l’inégalité précédente. 12. Soit $\varphi \in A$ et $n \in \mathbb{N}$. Dans la suite du problème, on pose, pour tout $x \in ]0,1[$ : \[ r_n(x) = \frac{1}{\varphi(x)}\int_0^1 K_n(tx)\varphi(t)dt, \qquad J_n(x) = \int_0^1 t^n \varphi(t)\frac{1}{1-tx}dt, \qquad \mathcal{C}_n(x) = x^n \frac{J_n(x)}{\varphi(x)}. \] La fonction Gamma d’Euler est définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par la formule \[ \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt. \] On admet, et on pourra utiliser sans démonstration, les formules suivantes : \[ \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\ \text{pour tout } x > 0. \] \[ \Gamma(n) = (n -1)! \text{ pour tout entier } n > 0. \] \[ \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} = \int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} dt \text{ pour tous réels } \alpha > 0, \beta > 0. \] Montrer que $J_n$ est dérivable sur $]0, 1[$ et que l’on a l’égalité \[ x J_n'(x) = \int_0^1 t^n \varphi(t) \frac{1}{(1-tx)^2}dt – J_n(x). \] On suppose dorénavant que $\varphi \in A$ est de classe $C^1$ sur $[0,1[$ et que $(1-t)\varphi(t) \rightarrow 0$ lorsque $t \rightarrow 1^-$. 13. Montrer que \[ n J_n(x) = c + n J_{n-1}(x) + (x-1)\int_0^1 t^n \varphi(t)\frac{1}{(1-tx)^2}dt + \int_0^1 t^n (1-t)\varphi'(t) \frac{1}{1-tx}dt \] où $c$ est un coefficient à déterminer et où $\varphi’$ désigne la dérivée de $\varphi$. (On pourra traiter à part le cas $n=0$, où l’on considère que $n J_{n-1}(x) = 0$ et où l’on montrera que $c = \varphi(0)$.) 14. Déduire des deux questions précédentes que \[ x(1-x) J_n'(x) = c + (n+1)(x-1)J_n(x) + n \int_0^1 t^{n-1} \varphi(t)dt + \int_0^1 t^n (1-t)\varphi'(t)\frac{1}{1-tx}dt. \] 15. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Résoudre l’équation différentielle $(1-t)y’ = -\alpha y$ sur l’intervalle $[0,1[$. À quelles conditions une solution $y(t)$ de cette équation différentielle vérifie-t-elle les hypothèses faites sur $\varphi$? \\ On suppose désormais ces conditions réalisées et que la fonction $\varphi$ est la solution de cette équation différentielle telle que $\varphi(0) = 1$.} 16. Montrer que la fonction $\mathcal{C}_n$ est dérivable sur $]0, 1[$ et que l’on a : \[ \mathcal{C}_n'(x) = -(\alpha+1)\frac{\mathcal{C}_n(x)}{x} + c_n \frac{x^{n-1}}{(1-x)^{1+\alpha}} \] où l’on donnera l’expression de la constante $c_n$ en fonction de $n$ et de $\alpha$. 17. En déduire que pour tout $x \in ]0, 1[$, \[ \mathcal{C}_n(x) = c_n x^{1+\alpha} \int_0^x \frac{t^{n+\alpha}}{(1-t)^{1+\alpha}} dt. \] 18. En déduire que pour $n \geq 1$, \[ \Omega_n \leq \inf_{\beta \in ]0, 1[} \sup_{x \in ]0,1[} \frac{1}{x^{1-\beta}}\int_0^x \frac{(1-\mu_n t^n)}{t^{\beta}(1-t)^{1-\beta}} dt \] où l’on a posé $\mu_n = \frac{n!}{(1-\beta)(2-\beta)\dots(n-\beta)}$. \\ Un calcul montre, et on l’admet, que l’inégalité précédente implique l’inégalité : \[ \Omega_n \leq \inf_{\beta \in ]0, 1[} \mu_n^{(1-\beta)/n} n \int_0^{\mu_n^{-1/n}} \frac{dt}{t^{\beta}(1-t)^{1-\beta}}. \] 19. En déduire que $\Omega_n \leq 2!_n \arcsin\left(\frac{1}{!_n}\right)$, où l’on a posé $!_n = 2\left(\frac{(n!)^2}{(2n)!}\right)^{1/2n}$. 20. Donner un équivalent de $!_n – 1$, puis un équivalent de $\pi^{-2} !_n \arcsin \frac{1}{!_n}$ lorsque $n \to +\infty$.}FAQ
Pour montrer qu’une matrice \( H_n \) est symétrique réelle, tu vérifies que \( H_n = {}^t H_n \). Pour la partie définie positive, tu peux utiliser le calcul d’une intégrale comme \( \int_0^1 (X_e(t))^2 dt \) et montrer que \( {}^t X H_n X > 0 \) pour tout vecteur \( X \) non nul. C’est une technique classique en algèbre linéaire, surtout en CPGE MP.
Un vecteur \( X \) appartient au sous-espace propre \( V \) associé à la plus grande valeur propre \( \Omega_n \) de \( H_n \) si et seulement si \( {}^t X H_n X = \Omega_n \|X\|^2 \). C’est une propriété fondamentale des valeurs propres extrémales, souvent utilisée en optimisation et en analyse spectrale.
Pour établir l’inégalité \( {}^t X_0 H_n X_0 \leq {}^t |X_0| H_n |X_0| \), tu peux utiliser le fait que \( H_n \) est définie positive et que les coefficients de \( X_0 \) sont majorés par leurs valeurs absolues. Cela permet de déduire que \( |X_0| \) est aussi un vecteur propre de \( V \).
Si \( X_0 \) est un vecteur propre associé à \( \Omega_n \), alors \( H_n |X_0| \) est aussi un vecteur propre. Comme \( H_n \) est définie positive, ses vecteurs propres n’ont pas de coordonnées nulles, sinon cela contredirait la définition de la positivité.
La dimension du sous-espace propre \( V \) peut être déduite en analysant les propriétés des vecteurs propres. Par exemple, si tous les vecteurs propres associés à \( \Omega_n \) sont non nuls et sans coordonnées nulles, alors \( V \) est de dimension 1. C’est une conséquence directe de l’analyse spectrale des matrices symétriques.
En utilisant l’intégrale \( \int_0^{2\pi} P(e^{i\mu}) e^{i\mu} d\mu \), tu peux établir des inégalités comme \( \left| \int_{-1}^1 P(t) dt \right| \leq \int_0^{2\pi} |P(e^{i\mu})| d\mu \). Cela permet de majorer \( {}^t X H_n X \) par \( \pi \|X\|^2 \), une technique puissante en analyse harmonique.
Pour montrer que \( (\Omega_n) \) est croissante, tu peux comparer \( H_n \) et \( H_{n+1} \) et utiliser le théorème de Cauchy sur l’interlacement des valeurs propres. La convergence découle souvent de la borne supérieure établie précédemment, comme \( \Omega_n \leq \pi \).
L’endomorphisme \( T_n \) est défini par \( T_n(f)(x) = \int_0^1 K_n(tx) f(t) dt \). En calculant \( T_n(X_e) \), tu peux montrer que \( T_n \) et \( H_n \) partagent les mêmes valeurs propres non nulles, car \( H_n \) représente la matrice de \( T_n \) dans une base appropriée.
En utilisant un vecteur propre associé à \( \Omega_n \), tu peux établir une majoration comme \( \Omega_n \leq \inf_{\varphi \in A} \sup_{x \in ]0,1[} \frac{1}{\varphi(x)} \int_0^1 K_n(tx) \varphi(t) dt \). C’est une technique courante en analyse fonctionnelle pour encadrer les valeurs propres.
L’équation différentielle \( (1-t) y’ = -\alpha y \) se résout en séparant les variables. La solution générale est \( y(t) = C (1-t)^\alpha \), où \( C \) est une constante. Pour que \( y \) soit dans \( A \), il faut que \( \alpha > 0 \) et que \( y \) soit strictement positive sur \( ]0,1[ \).
Pour trouver un équivalent de \( !_n – 1 \), tu peux utiliser la formule de Stirling pour approcher \( n! \) et \( (2n)! \). Cela donne \( !_n – 1 \sim \frac{c}{n} \) pour une certaine constante \( c \), un résultat classique en analyse asymptotique.
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