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Mines Maths 2 MP 2018

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Énoncé de l’épreuve

💡 Si un sujet identique a été utilisé par le concours pour différentes filières, le sujet affiché ci-dessous peut-être celui d'une autre filière. Le contenu reste identique.

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Questions du sujet

1. Montrer que la matrice $A = I_2$ admet une infinité de racines carrées (on pourra utiliser la notion de symétrie). Lesquelles sont des polynômes en $A$ ? 2. Montrer que $A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ admet une infinité de racines carrées et qu’aucune d’entre elles n’est un polynôme en $A$. 3. Montrer que $A$ admet une unique racine carrée symétrique réelle définie positive.\\ (On pourra montrer que deux racines carrées de ce type possèdent les mêmes valeurs et sous-espaces propres.) 4. Soit $T = (t_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ et $U = (u_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ deux matrices complexes triangulaires supérieures. On suppose que $T$ est inversible. Montrer que l’équation $U^2 = T$ est équivalente au système d’équations suivant :\\ \[ \left\{ \begin{array}{l} u_{i,i}^2 = t_{i,i} \quad (1 \leq i \leq n)\\ (u_{i,i} + u_{j,j})u_{i,j} = t_{i,j} – \sum_{k=i+1}^{j-1} u_{i,k}u_{k,j} \quad (1 \leq i < j \leq n) \end{array} \right. \] Montrer que $T$ étant donnée, on peut résoudre ce système en choisissant une solution $U$ telle que $u_{i,i} + u_{j,j} \neq 0$ pour tous $i, j \in \{1,2,...,n\}$. (On pourra considérer les parties réelles et imaginaires des $u_{i,i}$.) 5. En déduire que $A$ admet une racine carrée. Si en outre, les valeurs propres de $A$ appartiennent à $C_e$, montrer que $A$ admet une racine carrée dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement positive.\\ On admet qu’une telle racine carrée est unique et on la notera $\sqrt{A}$ dans toute la suite du problème.} 6. Montrer que $\| AB \| \leq \|A\| \|B\|$. 7. On note $m_A$ le polynôme minimal de $A$. Montrer que la matrice $m_A(B)$ est inversible si et seulement si $A$ et $B$ n’ont aucune valeur propre commune.\\ En déduire que s’il existe une matrice $M \in M_n(\mathbb{C})$ non nulle telle que $AM = MB$, alors $A$ et $B$ ont au moins une valeur propre commune. 8. Réciproquement, si $A$ et $B$ ont au moins une valeur propre commune, montrer qu’il existe une matrice $M \in M_n(\mathbb{C})$ non nulle telle que $AM = MB$.\\ (On pourra considérer une matrice de la forme $X Y^T$ où $X$ et $Y$ sont deux matrices colonnes bien choisies). 9. Soit $F : M_n(\mathbb{C}) \rightarrow M_n(\mathbb{C})$ l’application définie par la formule $F(X) = X^2 - A$.\\ Montrer que la différentielle $dF_X$ de $F$ en $X \in M_n(\mathbb{C})$ est donnée par\\ \[ \forall H \in M_n(\mathbb{C}),\quad dF_X(H) = XH + HX. \] Déduire des deux questions précédentes une condition nécessaire et suffisante pour que $dF_X$ soit inversible. Montrer que cette condition implique que $X$ est inversible. 10. Montrer que $dF_{\sqrt{A}}$ est inversible et qu’il existe $r > 0$ tel que $dF_X$ soit inversible pour tout $X \in B(\sqrt{A}, r)$.\\ Pour tout $Y \in B(\sqrt{A}, r)$ on pose $G(Y) = Y – (dF_Y)^{-1}(F(Y))$.} 11. Calculer $G(\sqrt{A})$ et montrer que pour tout $H \in B(0, r)$, \[ G(\sqrt{A} + H) – G(\sqrt{A}) = \left(dF_{\sqrt{A} + H}\right)^{-1}(H^2) \] où \[ dF_{\sqrt{A} + H}^{-1} = \left(I + (dF_{\sqrt{A}})^{-1} \circ dF_H\right)^{-1} \circ (dF_{\sqrt{A}})^{-1}. \] 12. En déduire qu’il existe une constante $C > 0$ telle que pour tout $X$ de $B(\sqrt{A}, r)$, $\| G(X) – \sqrt{A} \| \leq C \| X – \sqrt{A} \|^2$. (On pourra utiliser le résultat de la question 6.) 13. Montrer qu’il existe $\Omega > 0$ tel que pour tout $X_0 \in B(\sqrt{A}, \Omega)$ la suite $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$ soit bien définie et vérifie, pour tout $k \in \mathbb{N}$, \[ \| X_k – \sqrt{A} \| \leq \left(\frac{\Omega \sqrt{C}}{2^k C}\right) \] Que peut-on en conclure ? 14. Dans cette partie, on étudie deux algorithmes équivalents à celui de Newton.\\ On rappelle que $A$ désigne une matrice inversible de $M_n(\mathbb{C})$ dont les valeurs propres appartiennent à $C_e$. Soit $U_0$ et $V_0$ deux matrices de $M_n(\mathbb{C})$. Sous réserve d’existence, on note $(U_k)_{k \in \mathbb{N}}$ la suite de matrices de $M_n(\mathbb{C})$ définie par\\ \[ (I)\left\{ \begin{array}{l} U_0 \in M_n(\mathbb{C})\\ U_{k+1} = U_k + H_k~\text{où}~ H_k \in M_n(\mathbb{C})~\text{vérifie}\\ U_k H_k + H_k U_k = A – U_k^2~\text{pour tout}~k \geq 0 \end{array} \right. \] et $(V_k)_{k \in \mathbb{N}}$ la suite de matrices de $M_n(\mathbb{C})$ définie par \[ (II)\left\{ \begin{array}{l} V_0 \in M_n(\mathbb{C})\\ V_{k+1} = \frac{1}{2}(V_k + V_k^{-1} A)~\text{pour tout}~k \geq 0 \end{array} \right. \] Si la suite $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bien définie par (N) et $U_0 = X_0$, montrer que la suite $(U_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bien définie par (I) et égale à $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$. Réciproquement si la suite $(U_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bien définie par (I) et $X_0 = U_0$, montrer que la suite $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bien définie par (N) et égale à $(U_k)_{k \in \mathbb{N}}$. 15. On suppose que $U_0 = V_0$ commute avec $A$. Montrer que la suite $(V_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bien définie par (II) et que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $U_k = V_k$ commute avec $A$.\\ (On pourra d’abord montrer que $U_k$ est inversible pour tout $k \in \mathbb{N}$ et considérer la matrice $G_k = \frac{1}{2}\left(U_k^{-1}A – U_k\right)$.)} 16. Montrer que $V_k$ est symétrique réelle définie positive de mêmes vecteurs propres $e_1,…,e_n$ que $A$ dont on notera $\lambda_{k,1}, … , \lambda_{k,n}$ les valeurs propres correspondantes. Trouver une relation entre $\lambda_{k+1,\ell}$ et $\lambda_{k,\ell}$. 17. Montrer que \[ \frac{\lambda_{k+1,\ell} – \sqrt{\lambda_\ell}}{\lambda_{k+1,\ell} + \sqrt{\lambda_\ell}}= \left( \frac{\mu – \sqrt{\lambda_\ell}}{\mu+\sqrt{\lambda_\ell}} \right)^{2^{k+1}}. \] 18. Déterminer la limite de la suite $(V_k)_{k \in \mathbb{N}}$. 19. On considère la suite $(V_k)_{k \in \mathbb{N}}$ définie par la relation (II) avec $V_0 = \sqrt{A}$. Soit $\epsilon >0$ et $i, j$ deux indices distincts de $\{1,…,n\}$. On note $C_1,…,C_n$ les colonnes de la matrice orthogonale $P$ définie dans la partie précédente et on pose $\Delta = \epsilon C_i C_j^T$.\\ Soit $\tilde{V}_0 = V_0 + \Delta$. La matrice $\tilde{V}_1$ est calculée par la relation (II) à partir de $\tilde{V}_0$ et on pose $\Delta_1 = \tilde{V}_1 – V_1$. Ensuite $\tilde{V}_2$ est calculé à partir de $\tilde{V}_1$ par la relation (II), puis $\tilde{V}_3, \tilde{V}_4…$ de la même manière.\\ Montrer les relations suivantes :\\ \[ \left\{ \begin{array}{l} (V_0+\Delta)^{-1} = V_0^{-1} – V_0^{-1} \Delta V_0^{-1}\\ \Delta_1 = \frac{1}{2}\left(\Delta – V_0^{-1} \Delta V_0^{-1}A\right) \end{array} \right. \] 20. Déterminer la valeur de $\gamma\in\mathbb{R}$ telle que pour tout $k \in \mathbb{N}$, \[ \tilde{V}_k = \sqrt{A} + \gamma_k \Delta. \]} 21. On appelle conditionnement de $A$ le rapport entre sa plus grande valeur propre et sa plus petite. Que doit vérifier le conditionnement de $A$ pour que la suite $(\tilde{V}_k)_{k\geq 0}$ converge ?}

FAQ

Pourquoi les racines carrées de matrices sont-elles un sujet central dans le concours Mines-Ponts MP 2018 ?

Les racines carrées de matrices sont un incontournable des concours car elles relient algèbre linéaire, diagonalisabilité, réduction de matrices, polynômes minimaux et applications différentielles. Ce sujet permet de revisiter en profondeur la recherche d’un outil fondamental : la racine carrée d’un opérateur ou d’une matrice, avec des applications concrètes en calcul matriciel et résolution d’équations dans M_n(C).

À quoi sert la notion de polynôme minimal dans ce type d’épreuve ?

Le polynôme minimal d’une matrice ou d’un endomorphisme joue un rôle clé dans la structure spectrale et la recherche de racines carrées d’une matrice. Sa connaissance permet de manipuler efficacement les équations du type f(A)=0, de caractériser l’existence d’inverses ou de solutions particulières, et d’anticiper l’existence (ou non) de matrices intermédiaires telles que des commutants ou des racines. Tout ça, c’est au cœur de l’épreuve Mines-Ponts MP 2018.

Qu’est-ce que l’algorithme de Newton sur les matrices et pourquoi est-il présent dans ce sujet ?

L’algorithme de Newton pour les matrices permet d’approximer la racine carrée d’une matrice à l’aide d’une suite récurrente, et c’est un superbe pont entre analyse et algèbre ! En concours, maîtriser cet algorithme prouve ta capacité à manipuler des suites de matrices, à exploiter la convergence quadratique, et à comprendre la stabilité numérique ou le conditionnement. C’est aussi un pas vers la pratique professionnelle, notamment en calcul scientifique et ingénierie.

Pourquoi la norme matricielle subordonnée et l’inégalité \(\|AB\| \leq \|A\|\|B\|\) sont-elles aussi importantes ?

Cette inégalité fait partie des bases incontournables en analyse matricielle. Elle permet de maîtriser la stabilité des calculs, d’étudier la convergence d’algorithmes et d’estimer les erreurs lors de calculs matriciels successifs. Les sujets Mines-Ponts MP explorent fréquemment ces normes, car elles te préparent aux raisonnements rigoureux attendus plus tard en école ou en mathématiques appliquées.

Quels liens font les sujets MP entre triangulaire, commutativité, et existence de solutions matricielles ?

Le sujet met l’accent sur les propriétés des matrices triangulaires supérieures et sur la résolution de systèmes matriciels, car tout découle souvent de la commutativité et de la structure spectrale. Comprendre comment cette structure conditionne l’existence (ou la multiplicité) des solutions, c’est passer maître dans l’art de la réduction et de l’analyse fine des matrices, une compétence haute couture pour ces concours !

Quels sont les avantages d’apprendre à manipuler des matrices définies positives et des spectres propres en MP ?

Manipuler des matrices symétriques définies positives et comprendre la distribution de leurs valeurs propres est incontournable : cela te rend à l’aise avec la simplification des calculs, te donne accès aux outils puissants de diagonalisation, d’optimisation et de stabilité, et t’ouvre la porte à toutes les applications du calcul scientifique, statistiques et modélisation physique.

Que signifie le conditionnement d’une matrice et pourquoi est-ce surveillé de près en concours ?

Le conditionnement, c’est le rapport entre la plus grande et la plus petite valeur propre d’une matrice définie positive. Plus ce rapport est élevé, plus les calculs deviennent sensibles aux perturbations. Ça peut rendre la convergence d’algorithmes difficile, voire impossible dans le contexte numérique. Les sujets Mines-Ponts insistent là-dessus pour te sensibiliser à l’analyse de stabilité, essentielle pour l’ingénierie et le calcul scientifique ! Tu veux voir concrètement comment ça s’applique dans ce contexte ? Débloque le corrigé sur Prépa Booster pour en profiter à fond.

Pourquoi travailler sur les propriétés différentielles des applications matricielles en CPGE ?

En CPGE, tu es amené à étudier les applications entre espaces vectoriels, notamment matricielles, pour développer ta capacité à calculer leurs différentielles (jacobiens, opérateurs linéaires associés). Maîtriser cela permet de te préparer à la résolution de problèmes d’optimisation, d’étudier la stabilité ou l’unicité locale des solutions, et d’élargir ta boîte à outils pour des sujets avancés.

Comment s’entraîner efficacement sur les questions mêlant algèbre linéaire et analyse matricielle pour réussir Mines-Ponts MP ?

Il faut varier les approches : manipule les matrices (triangulaires, diagonalisables, nilpotentes…), refais des exercices sur les commutants, entraîne-toi aux suites récurrentes matricielles et teste différentes normes. Les sujets de Mines-Ponts sont connus pour croiser plusieurs thèmes, alors entraîne-toi à relier raisonnement formel, calculs pratiques et justifications analytiques. Pour progresser vite, tu peux débloquer les corrigés, travailler sur les exercices proposés sur Prépa Booster et suivre tes progrès depuis ton dashboard. Ça fait vraiment la différence !