Questions du sujet
1. Montrer qu’une matrice symétrique $S \in S_n(\mathbb{R})$ est définie positive si et seulement si son spectre est contenu dans $\mathbb{R}_+^*$. 2. En déduire que pour tout $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$, il existe $R \in GL_n(\mathbb{R})$ tel que $S = R^T R$. Réciproquement montrer que pour tout $R \in GL_n(\mathbb{R})$, $R^T R \in S_n^{++}(\mathbb{R})$. 3. Montrer que l’ensemble $S_n^{++}(\mathbb{R})$ est convexe. 4. Soit $K$ un sous-ensemble compact de $E$ et $\mathrm{Conv}(K)$ son enveloppe convexe. On rappelle que $H$ est l’ensemble des $(\lambda_1, …, \lambda_{n+1}) \in (\mathbb{R}_+)^{n+1}$ tels que $\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i = 1$. Définir une application $\mu$ de $\mathbb{R}^{n+1} \times E^{n+1}$ dans $E$ telle que $\mathrm{Conv}(K) = \mu(H \times K^{n+1})$. En déduire que $\mathrm{Conv}(K)$ est un sous-ensemble compact de $E$. 5. On désigne par $g$ un endomorphisme de $E$ tel que pour tous $x, y$ dans $E$, $\langle x, y\rangle = 0$ implique $\langle g(x), g(y)\rangle = 0$. Montrer qu’il existe un nombre réel positif $k$ tel que pour tout $x \in E$, $\|g(x)\| = k\|x\|$. (On pourra utiliser une base orthonormée $(e_1, e_2, …, e_n)$ de $E$ et considérer les vecteurs $e_1 + e_i$ et $e_1 – e_i$ pour $i \in \{2, …, n\}$.) En déduire que $g$ est la composée d’une homothétie et d’un endomorphisme orthogonal.} 6. On se place dans l’espace vectoriel euclidien $M_n(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire défini par $\langle A, B\rangle = \mathrm{Tr}(A^T B)$. (On ne demande pas de vérifier que c’est bien un produit scalaire.) Montrer que le groupe orthogonal $O_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe compact du groupe linéaire $GL_n(\mathbb{R})$. 7. Soit $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d’éléments de $E$ pour laquelle il existe un réel $\alpha > 0$ tel que pour tous entiers naturels $n \neq p$, on ait $\|x_n – x_p\| > \alpha$. Montrer que cette suite n’admet aucune suite extraite convergente. 8. Soit $K$ un sous-ensemble compact de $E$. On note $B(x, r)$ la boule ouverte de centre $x \in E$ et de rayon $r$. Montrer que pour tout réel $\alpha > 0$, il existe un entier $p > 0$ et $x_1, …, x_p$ éléments de $E$ tels que $K \subseteq \bigcup_{i=1}^p B(x_i, \alpha)$. (On pourra raisonner par l’absurde.) 9. On considère une famille $(U_i)_{i \in I}$ de sous-ensembles ouverts de $E$, $I$ étant un ensemble quelconque, telle que $K \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i$. Montrer qu’il existe un réel $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in K$, il existe $i \in I$ tel que $B(x, \delta)$ soit contenue dans l’ouvert $U_i$. (On pourra raisonner par l’absurde pour construire une suite d’éléments de $K$ n’ayant aucune suite extraite convergente.) En déduire qu’il existe une sous-famille finie $(U_{i_1}, …, U_{i_p})$ de la famille $(U_i)_{i \in I}$ telle que $K \subseteq \bigcup_{k=1}^p U_{i_k}$. 10. Soit $(F_i)_{i \in I}$ une famille de fermés de $E$ contenus dans $K$ et d’intersection vide : $\bigcap_{i \in I} F_i = \emptyset$. Montrer qu’il existe une sous-famille finie $(F_{i_1}, …, F_{i_p})$ de la famille $(F_i)_{i \in I}$ telle que $\bigcap_{k=1}^p F_{i_k} = \emptyset$.} 11. Soit $G$ un sous-groupe compact de $GL(E)$ et $K$ un sous-ensemble non vide, compact et convexe de $E$. Pour tout $x \in E$, on pose $N_G(x) = \sup_{u \in G} \|u(x)\|$. Montrer que $N_G$ est bien définie, et que c’est une norme sur $E$. 12. Montrer en outre que $N_G$ vérifie les deux propriétés suivantes : \begin{itemize} \item pour tous $u \in G$ et $x \in E$, $N_G(u(x)) = N_G(x)$; \item pour tous $x, y$ dans $E$ avec $x$ non nul, $N_G(x + y) = N_G(x) + N_G(y)$ si et seulement si $y = \lambda x$ où $\lambda \in \mathbb{R}_+$. \end{itemize} Pour la deuxième propriété on pourra utiliser le fait que si $z \in E$, l’application qui à $u \in G$ associe $\|u(z)\|$ est continue. 13. On considère un élément $u$ de $L(E)$ et on suppose que $K$ est stable par $u$, c’est-à-dire que $u(K)$ est inclus dans $K$. Pour tout $x \in K$ et $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $x_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} u^i(x)$. Enfin, on appelle diamètre de $K$ le nombre réel $\delta(K) = \sup_{x,y \in K} \|x – y\|$ qui est bien défini car $K$ est borné. Montrer que la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est à valeurs dans $K$ et en déduire qu’il en existe une suite extraite convergente vers un élément $a$ de $K$. Montrer par ailleurs que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\|u(x_n) – x_n\| \leq \frac{\delta(K)}{n}$. En déduire que l’élément $a$ de $K$ est un point fixe de $u$. 14. On suppose maintenant que le compact non vide convexe $K$ est stable par tous les éléments de $G$. Soit $r$ un entier $> 1$, $u_1, u_2, …, u_r$ des éléments de $G$ et $u = \frac{1}{r} \sum_{i=1}^r u_i$. Montrer que $K$ est stable par $u$ et en déduire l’existence d’un élément $a \in K$ tel que $u(a) = a$. 15. Montrer que $N_G \left( \frac{1}{r} \sum_{i=1}^r u_i(a) \right) = \frac{1}{r} \sum_{i=1}^r N_G(u_i(a))$. En déduire que pour tout $j \in \{1, …, r\}$, on a $N_G \left( u_j(a) + \sum_{i=1, i \neq j}^r u_i(a) \right) = N_G(u_j(a)) + N_G \left( \sum_{i=1, i \neq j}^r u_i(a) \right)$.} 16. En déduire, pour tout $j \in \{1, …, r\}$, l’existence d’un nombre réel $\lambda_j > 0$ tel que $u(a) = \lambda_j + \frac{1}{r}u_j(a)$. 17. Déduire de la question précédente que $a$ est un point fixe de tous les endomorphismes $u_i$ où $i \in \{1, …, r\}$. 18. En utilisant le résultat de la question 10, montrer qu’il existe $a \in K$ tel que pour tout $u \in G$, $u(a) = a$. 19. On se place à nouveau dans l’espace vectoriel euclidien $M_n(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire défini par $\langle A, B\rangle = \mathrm{Tr}(A^T B)$. On rappelle que $GL_n(\mathbb{R})$ désigne le groupe linéaire et $O_n(\mathbb{R})$ le groupe orthogonal d’ordre $n$. Soit $G$ un sous-groupe compact de $GL_n(\mathbb{R})$. Si $A \in G$, on définit l’application $\varphi_A$ de $M_n(\mathbb{R})$ dans lui-même par la formule $\varphi_A(M) = A^T M A$. On vérifie facilement, et on l’admet, que pour tout $M \in M_n(\mathbb{R})$, l’application qui à $A \in G$ associe $\varphi_A(M)$ est continue. On note $\mathcal{H} = \{\varphi_A ~|~ A \in G\}$, $\mathcal{S} = \{A^T A ~|~ A \in G\}$ et $K = \mathrm{Conv}(\mathcal{S})$. Montrer que $\varphi_A \in GL(M_n(\mathbb{R}))$ et que $\mathcal{H}$ est un sous-groupe compact de $GL(M_n(\mathbb{R}))$. 20. Montrer que $\mathcal{S}$ est un compact contenu dans $S_n^{++}$ et que $K$ est un sous-ensemble compact de $S_n^{++}(\mathbb{R})$ qui est stable par tous les éléments de $\mathcal{H}$.} 21. Montrer qu’il existe $M \in K$ tel que pour tout $A \in G$, $\varphi_A(M) = M$. En déduire l’existence de $N \in GL_n(\mathbb{R})$ tel que pour tout $A \in G$, $NAN^{-1} \in O_n(\mathbb{R})$. En déduire enfin qu’il existe un sous-groupe $G_1$ de $O_n(\mathbb{R})$ tel que \[ G = N^{-1} G_1 N = \{N^{-1}BN~;~B \in G_1\}. \] 22. Soit $K$ un sous-groupe compact de $GL_n(\mathbb{R})$ qui contient $O_n(\mathbb{R})$, et $N \in GL_n(\mathbb{R})$ tel que $NKN^{-1} \subseteq O_n(\mathbb{R})$. On désigne par $g$ l’automorphisme de $\mathbb{R}^n$ de matrice $N$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^n$, par $P$ un hyperplan de $\mathbb{R}^n$ et par $\sigma_P$ la symétrie orthogonale par rapport à $P$. Montrer que $g \circ \sigma_P \circ g^{-1}$ est une symétrie, puis que c’est un endomorphisme orthogonal de $\mathbb{R}^n$. En déduire que $g\circ\sigma_P\circ g^{-1} = \sigma_{g(P)}$. Montrer que $g$ conserve l’orthogonalité et en déduire $K$.}FAQ
Une matrice symétrique \( S \) est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. En effet, une matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée, et son caractère défini positif est équivalent à la positivité de ses valeurs propres, qui constituent son spectre. C’est un résultat fondamental en algèbre linéaire pour les matrices symétriques.
Pour montrer que l’ensemble des matrices symétriques définies positives est convexe, tu peux prendre deux matrices \( S_1 \) et \( S_2 \) dans \( S_n^{++}(\mathbb{R}) \) et un réel \( \lambda \in [0,1] \). La combinaison convexe \( \lambda S_1 + (1-\lambda)S_2 \) est encore symétrique. De plus, pour tout vecteur \( x \neq 0 \), \( \langle (\lambda S_1 + (1-\lambda)S_2)x, x \rangle = \lambda \langle S_1x, x \rangle + (1-\lambda) \langle S_2x, x \rangle > 0 \), car \( S_1 \) et \( S_2 \) sont définies positives. Donc \( S_n^{++}(\mathbb{R}) \) est convexe.
L’enveloppe convexe d’un compact \( K \) est compacte car elle est l’image d’un compact par une application continue. En effet, tu peux définir \( \mathrm{Conv}(K) \) comme l’image de \( H \times K^{n+1} \) par l’application \( \mu \) qui associe à \( (\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}, x_1, \dots, x_{n+1}) \) la combinaison convexe \( \sum \lambda_i x_i \). Comme \( H \times K^{n+1} \) est compact (car \( H \) et \( K \) le sont) et \( \mu \) est continue, \( \mathrm{Conv}(K) \) est compact.
Si \( g \) est un endomorphisme tel que \( \langle x, y \rangle = 0 \) implique \( \langle g(x), g(y) \rangle = 0 \), alors \( g \) conserve l’orthogonalité. En utilisant une base orthonormée et en considérant les vecteurs \( e_1 \pm e_i \), tu peux montrer que \( \|g(e_1)\| = \|g(e_i)\| \) pour tout \( i \). Cela implique que \( g \) est une homothétie de rapport \( k \) composée avec un endomorphisme orthogonal, car \( g \) préserve les normes à un facteur multiplicatif près.
Le groupe orthogonal \( O_n(\mathbb{R}) \) est compact car il est fermé et borné dans \( M_n(\mathbb{R}) \). Il est fermé car c’est l’ensemble des matrices \( A \) telles que \( A^T A = I_n \), ce qui définit un ensemble fermé. Il est borné car pour toute matrice orthogonale \( A \), les coefficients de \( A \) sont bornés en valeur absolue par 1, car les colonnes de \( A \) sont des vecteurs unitaires.
Si une suite \( (x_n) \) vérifie \( \|x_n – x_p\| > \alpha \) pour tout \( n \neq p \), alors elle n’a pas de suite extraite convergente. En effet, si une suite extraite convergeait vers une limite \( l \), il existerait un rang à partir duquel tous les termes de la suite extraite seraient dans la boule \( B(l, \alpha/2) \). Mais comme les termes de la suite sont tous à distance au moins \( \alpha \) les uns des autres, cela est impossible. Donc aucune suite extraite ne peut converger.
Un compact \( K \) peut être recouvert par un nombre fini de boules de rayon \( \alpha \) car, par l’absurde, si ce n’était pas le cas, tu pourrais construire une suite infinie de points de \( K \) dont deux quelconques sont à distance au moins \( \alpha \). Une telle suite n’aurait pas de suite extraite convergente, ce qui contredit la compacité de \( K \). Donc \( K \) est recouvert par un nombre fini de boules de rayon \( \alpha \).
La norme \( N_G \) est définie par \( N_G(x) = \sup_{u \in G} \|u(x)\| \) et est invariante par \( G \). En utilisant la convexité et la compacité de \( K \), tu peux montrer que la suite \( x_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} u^i(x) \) admet une suite extraite convergente vers un point fixe \( a \) de \( u \). La norme \( N_G \) permet de contrôler la croissance des itérés et d’assurer la convergence vers un point fixe.
Pour montrer qu’un sous-groupe compact \( G \) de \( GL_n(\mathbb{R}) \) est conjugué à un sous-groupe de \( O_n(\mathbb{R}) \), tu peux utiliser le fait que \( G \) agit sur l’espace des matrices symétriques définies positives. En considérant l’enveloppe convexe \( K \) de \( \{A^T A \mid A \in G\} \), qui est compacte et stable par \( G \), tu peux appliquer le théorème du point fixe pour obtenir une matrice \( M \) telle que \( A^T M A = M \) pour tout \( A \in G \). Cela implique que \( N^{-1} G N \) est un sous-groupe de \( O_n(\mathbb{R}) \), où \( M = N^T N \).
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