Questions du sujet
1. Montrer que la fonction $\psi : u \mapsto \frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}$ est int\’egrable sur $I$. 2. D\’eterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)$ est d\’efinie. 3. Montrer que la fonction $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et exprimer $F'(x)$ sous forme int\’egrale. 4. En d\’eduire que pour tout $x \in I$, $xF'(x) – (x – \frac{1}{2})F(x) = -K$. 5. Pour tout $x \in I$, on pose $G(x) = \sqrt{x} e^{-x} F(x)$. Montrer qu’il existe une constante r\’eelle $C$ telle que pour tout $x \in I$, $G(x) = C – K \int_{0}^{x} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt$.} 6. D\’eterminer les limites de $G$ en $0$ et $+\infty$, et en d\’eduire la valeur de $K$. 7. Montrer que $f$ et $g$ sont d\’efinies et continues sur $I$. 8. Montrer que pour tout $x \in I$, $\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-ux}}{\sqrt{u}} du \leq f(x) \leq \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ux}}{\sqrt{u}} du$. En d\’eduire un \’equivalent de $f(x)$ lorsque $x \to 0$. 9. Montrer que la suite $\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} – 2\sqrt{n}\right)_{n>1}$ converge. 10. D\’emontrer que pour tout $x > 0$, la s\’erie $\sum_{n>1} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\right)e^{-nx}$ converge et exprimer sa somme $h(x)$ en fonction de $f(x)$ pour tout $x \in I$.} 11. En d\’eduire un \’equivalent de $h(x)$ lorsque $x \to 0$. Montrer alors que $g(x)$ est \’equivalent \`a $\sqrt{\frac{\pi}{2 x^{3/2}}}$ lorsque $x \to 0$. 12. Quel est l’ensemble $I_A$ si $A$ est fini ? Si $A$ est infini, montrer que l’on peut extraire une suite $(b_n)$ de la suite $(a_n)$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $b_n = 1$. D\’eterminer $I_A$ dans ce cas. 13. Soit $A \in S$ et $(a_n)$ la suite associ\’ee. Pour tout entier naturel $n$, on note $A(n)$ l’ensemble des \’el\’ements de $A$ qui sont $\leq n$. V\’erifier que pour tout $x > 0$ la s\’erie $\sum_{n>0} \operatorname{Card}(A(n))e^{-nx}$ converge et que $\sum_{n=0}^{+\infty} \operatorname{Card}(A(n))e^{-nx} = \frac{f_A(x)}{1-e^{-x}}$. 14. Montrer que si $x > 0$, $\frac{f_{A_1}(x)}{1 – e^{-x}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \lfloor \sqrt{n} \rfloor e^{-nx}$ o\`u $\lfloor \cdot \rfloor$ d\’esigne la partie enti\`ere. En d\’eduire un encadrement de $\sum_{n=0}^{+\infty} \sqrt{n} e^{-nx} – \frac{f_{A_1}(x)}{1-e^{-x}}$, puis un \’equivalent de $f_{A_1}$ en $0$. Prouver alors que $A_1 \in S$ et donner $\Phi(A_1)$. 15. Montrer que pour tout r\’eel $x > 0$, la s\’erie $\sum_{n>0} v(n) e^{-nx}$ converge et \’etablir que $\sum_{n=0}^{+\infty} v(n) e^{-nx} = [f_{A_1}(x)]^2$. Montrer alors que pour tout $x > 0$, $f_{A_2}(x) \leq [f_{A_1}(x)]^2$. En d\’eduire un majorant de $\Phi(A_2)$.} 16. Montrer que $L(\psi)$ est bien d\’efinie pour tout $\psi \in E$ et que l’application $L$ est une application lin\’eaire de $E$ dans $F$. V\’erifier que, pour tous $\psi_1, \psi_2$ dans $E$, $\psi_1 \leq \psi_2$ entra\^ine $L(\psi_1) \leq L(\psi_2)$. 17. V\’erifier que $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et que l’application $\Delta$ est une forme lin\’eaire continue de $(E_1, \|\cdot\|_\infty)$. 18. Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$, $e_p : t \in [0,1] \mapsto t^p$ appartient \`a $E_1$ et calculer $\Delta(e_p)$. En d\’eduire que $E_0 \subset E_1$ et calculer $\Delta(\psi)$ pour tout $\psi \in E_0$. 19. V\’erifier que $g_-$ et $g_+$ appartiennent \`a $E_0$ et calculer $\Delta(g_-)$ et $\Delta(g_+)$. Montrer alors que $\mathbf{1}_{[0,a]} \in E_1$ et calculer $\Delta(\mathbf{1}_{[0,a]})$. En d\’eduire que $E_1 = E$ et donner $\Delta(\psi)$ pour tout $\psi \in E$. 20. Calculer $(L(\psi))(\frac{1}{N})$ pour tout entier $N > 0$ et en d\’eduire la limite $\lim_{N \to +\infty} \frac{1}{N} \sum_{k=0}^N \alpha_k$ (th\’eor\`eme taub\’erien).} 21. Si $A \in S$, que vaut $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \operatorname{Card}(A(n))$ ? D\’eterminer alors $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n v(k)$.}FAQ
Pour montrer que la fonction ψ : u ↦ e⁻ᵘ/√u est intégrable sur I, tu peux utiliser des critères d’intégrabilité comme la comparaison avec une fonction de référence ou l’étude du comportement aux bornes. Ici, une étude en 0 et en +∞ avec des équivalents ou des majorations te permettra de conclure. N’hésite pas à consulter le corrigé pour voir la méthode détaillée !
Pour déterminer les valeurs de x pour lesquelles F(x) est définie, il faut analyser l’intégrale qui la définit. En particulier, il faut vérifier que l’intégrande est bien défini et intégrable pour chaque x. Dans ce sujet, l’étude de la convergence de l’intégrale en fonction de x est cruciale. Le corrigé te montre comment procéder pas à pas.
Pour montrer que F est de classe C¹ sur I, tu peux utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Il faut vérifier les hypothèses du théorème, notamment la continuité et la domination de la dérivée partielle. Une fois cela fait, tu peux exprimer F'(x) sous forme intégrale. Le corrigé détaille cette démarche essentielle en analyse.
L’équation xF'(x) – (x – 1/2)F(x) = -K est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Pour la résoudre, tu peux utiliser la méthode de variation de la constante ou chercher un facteur intégrant. Le corrigé te guide à travers les étapes pour trouver la solution générale et adapter les constantes.
Pour trouver un équivalent de f(x) lorsque x → 0, tu peux utiliser des encadrements et des comparaisons avec des intégrales connues. Dans ce sujet, on encadre f(x) entre deux intégrales pour en déduire son comportement asymptotique. Le corrigé montre comment manipuler ces inégalités pour obtenir l’équivalent souhaité.
Pour étudier la convergence de la suite (∑_{k=1}^n 1/√k – 2√n), tu peux utiliser des techniques de comparaison série-intégrale ou des développements limités. L’idée est de transformer la somme discrète en une intégrale pour faciliter l’analyse. Le corrigé détaille cette approche classique en analyse.
Pour exprimer h(x) en fonction de f(x), tu peux utiliser des techniques de sommation comme l’interversion série-intégrale ou des transformations de séries. Dans ce sujet, on utilise la définition de f(x) pour réécrire la série et faire apparaître f(x). Le corrigé montre comment procéder rigoureusement.
Pour encadrer une série et en déduire un équivalent, tu peux utiliser des comparaisons terme à terme ou des majorations/minorations. Dans ce sujet, on utilise des inégalités pour encadrer la série entre deux intégrales, ce qui permet d’obtenir un équivalent lorsque x → 0. Le corrigé détaille cette méthode puissante.
Pour montrer que A₁ ∈ S, tu dois vérifier que la fonction associée f_A₁ satisfait les conditions de la classe S. En particulier, il faut étudier le comportement de f_A₁ en 0 et montrer qu’elle admet un équivalent compatible avec les hypothèses. Le corrigé te guide à travers cette démonstration technique.
Pour étudier la convergence de la série ∑ v(n)e⁻ⁿˣ et exprimer sa somme, tu peux utiliser des critères de convergence pour les séries de fonctions, comme le critère de domination. Une fois la convergence établie, tu peux manipuler la série pour faire apparaître des fonctions connues. Le corrigé détaille cette approche.
Pour appliquer un théorème taubérien et trouver la limite lim (1/N) ∑ αₖ, tu dois d’abord établir une relation entre la série et une intégrale ou une fonction génératrice. Ensuite, tu peux utiliser les hypothèses du théorème pour déduire la limite. Le corrigé montre comment appliquer ce théorème subtil mais puissant.
Pour montrer que L est une application linéaire de E dans F, tu dois vérifier les deux propriétés de linéarité : L(ψ₁ + ψ₂) = L(ψ₁) + L(ψ₂) et L(λψ) = λL(ψ). Ensuite, pour la continuité, tu peux utiliser la définition avec les normes ou des critères comme la continuité en 0. Le corrigé détaille ces vérifications.
Pour calculer Δ(1_{[0,a]}), tu peux utiliser la définition de Δ et la décomposition de la fonction indicatrice en fonctions plus simples. En particulier, tu peux exprimer 1_{[0,a]} comme combinaison linéaire de fonctions de E₀ dont tu connais déjà les images par Δ. Le corrigé montre cette technique d’approximation.
Les épreuves de mathématiques aux concours Mines-Ponts sont généralement composées de plusieurs problèmes indépendants couvrant différents domaines des mathématiques : analyse, algèbre, probabilités, etc. Chaque problème est découpé en questions progressives qui guident le candidat vers la solution. Les sujets mettent souvent l’accent sur la rigueur, la créativité et la maîtrise des techniques fondamentales. Pour te préparer efficacement, entraîne-toi sur des sujets similaires et consulte les corrigés détaillés pour comprendre les attentes des correcteurs.
Pour bien aborder un problème d’analyse, commence par lire attentivement l’énoncé pour comprendre le contexte et les notations. Identifie les questions clés et les résultats intermédiaires à établir. N’hésite pas à faire des schémas ou des exemples pour t’aider à visualiser le problème. Travaille dans l’ordre des questions, car elles sont souvent progressives. Si tu bloques sur une question, passe à la suivante et reviens-y plus tard. Enfin, soigne la rédaction et justifie chaque étape de ton raisonnement. Les corrigés détaillés peuvent t’aider à comprendre comment structurer tes réponses.