Questions du sujet
1. Montrer que $S_{n−1}$ est un compact de $\R^n$ et en déduire l’existence de :\\ $\|M\|_{op} = \max \{ \|Mx\| ; x \in S_{n−1} \}$. 2. Montrer que l’application qui à $M \in M_n(\R)$ associe $\|M\|_{op}$ est une norme sur $M_n(\R)$. Montrer en outre que pour tous $x$ et $y$ dans $\R^n$, on a l’inégalité $\|M x − M y\| \leq \|M\|_{op} \|x − y\|$. 3. Si $M$ est symétrique, établir l’égalité $\|M\|_{op} = \max\{|\lambda| ; \lambda \in \sigma(M)\}$. On pourra commencer par le cas où $M$ est diagonale. 4. On note $J_n$ la matrice de $M_n(\R)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$.\\ Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $J_n$ en précisant la dimension des espaces propres. En déduire la valeur de $\|J_n\|_{op}$. 5. Soit $M = (M_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in M_n(\R)$.\\ Démontrer l’inégalité $\|M\|_{op} \geq \max\{ |M_{i,j}| ; 1 \leq i, j \leq n \}$.} 6. Établir que :\\ $\|M\|_{op} \leq \sqrt{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (M_{i,j})^2 }$\\ et donner une condition nécessaire et suffisante sur le rang de $M$ pour que cette inégalité soit une égalité. 7. On note $\Sigma_n$ l’ensemble des matrices $M = (M_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ de $M_n(\R)$ telles que $|M_{i,j}| \leq 1$ pour tous $i, j$ dans $\{1,…,n\}$.\\ Montrer que pour tout $M \in \Sigma_n$, $\|M\|_{op} \leq n$. Caractériser et dénombrer les matrices $M$ de $\Sigma_n$ pour lesquelles $\|M\|_{op} = n$. 8. Montrer que pour tout $t \in \R$, on a $\cosh(t) \leq \exp\left( \frac{t^2}{2} \right)$. On pourra au préalable établir le développement de la fonction cosh en série entière sur $\R$. 9. Soit $t \in \R$. Démontrer que si $x \in [-1, 1]$, on a l’inégalité de convexité :\\ $\exp(tx) \leq \frac{1+ x}{2}\exp(t)+\frac{1- x}{2}\exp(−t)$. 10. Soit $X$ une variable aléatoire réelle bornée par $1$ et centrée. Montrer que $X$ est $1$-sous-gaussienne. En déduire que, si $X$ est une variable aléatoire bornée par $\alpha > 0$ et centrée, alors elle est $\alpha$-sous-gaussienne.} 11. Soit $X_1,…,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes et $\alpha$-sous-gaussiennes, et $\mu_1,…,\mu_n$ des nombres réels tels que $\sum_{i=1}^n (\mu_i)^2 = 1$.\\ Montrer que la variable aléatoire $\sum_{i=1}^n \mu_i X_i$ est $\alpha$-sous-gaussienne. 12. Soit $X$ une variable aléatoire $\alpha$-sous-gaussienne et $\lambda > 0$. Montrer que pour tout $t > 0 :$\\ $\mathbb{P}(X \geq \lambda) \leq \exp\left(\frac{\alpha^2 t^2}{2} – t\lambda\right)$\\ En déduire que : $\mathbb{P}(|X| \geq \lambda) \leq 2 \exp\left(-\frac{\lambda^2}{2\alpha^2}\right)$. 13. Dans la suite du problème, on admet qu’une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ est d’espérance finie si et seulement si la série $\sum \mathbb{P}(X \geq k)$ converge et que, dans ce cas :\\ $\mathbb{E}(X) = \sum_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(X \geq k)$. 14. Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}_+$, montrer que $X$ est d’espérance finie si et seulement si la série de terme général $\mathbb{P}(X \geq k)$ converge et que, dans ce cas :\\ $\sum_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(X \geq k) \leq \mathbb{E}(X) \leq 1+\sum_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(X \geq k)$.\\ On pourra pour cela considérer la partie entière $\lfloor X \rfloor$. 15. Pour tout $s \in ]1,+\infty[$, on note $\zeta(s) = \sum_{k=1}^{+\infty} k^{-s}$.\\ Soit $X$ une variable aléatoire $\alpha$-sous-gaussienne et $\beta > 0$. Montrer que pour tout entier $k > 0$ :\\ $\mathbb{P}\left(\exp\left(\frac{\beta^2 X^2}{2}\right) \geq k\right) \leq 2k^{-\eta}$\\ où on a posé $\eta = \frac{1}{\alpha^2 \beta^2}$. En déduire que si $\alpha\beta < 1$, la variable aléatoire $\exp\left(\frac{\beta^2 X^2}{2}\right)$ est d’espérance finie majorée par $1+2\zeta(\eta)$.\\ En particulier, en prenant $\alpha\beta = 1/\sqrt{2}$ et en utilisant l’inégalité $1+2\zeta(2) \leq 5$ (que l’on ne demande pas de justifier), on obtient immédiatement, et on l’admet, que si $X$ est une variable aléatoire $\alpha$-sous-gaussienne, on a l’inégalité d’Orlicz :\\ $\mathbb{E} \left( \exp\left(\frac{X^2}{4\alpha^2}\right)\right) \leq 5$.} 16. Si $a \in \R^n$, on note $B_{a,r} = \{ x \in \R^n; \|x-a\| \leq r \}$ la boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$. Soit $K$ une partie compacte non vide de $\R^n$, et $\varepsilon > 0$.\\ Montrer que l’on peut trouver un sous-ensemble fini $A$ de $K$ tel que :\\ $K \subset \bigcup_{a\in A} B_{a,\frac{\varepsilon}{2}}$\\ On pourra raisonner par l’absurde en utilisant le théorème de Bolzano-Weierstrass. 17. Soit $\Lambda$ un sous-ensemble de $K$ tel que pour tous $x, y$ distincts dans $\Lambda$, $\|x-y\|>\varepsilon$. Montrer que $\Lambda$ est fini et que son cardinal est majoré par celui d’un ensemble $A$ du type considéré à la question précédente. Si de plus $\Lambda$ est de cardinal maximal, montrer que :\\ $K \subset \bigcup_{a\in \Lambda} B_{a,\varepsilon}$. 18. On admet l’existence d’une fonction $\mu$, appelée volume, définie sur l’ensemble des parties compactes de $\R^n$ et vérifiant certaines propriétés.\\ Soit $\Lambda$ une partie finie de $S^{n−1}$ telle que pour tous $x,y$ distincts dans $\Lambda$, $\|x – y\| > \varepsilon$.\\ Vérifier que les boules $B_{a, \varepsilon/2}$ pour $a \in \Lambda$ sont toutes contenues dans $B_{0,1+\varepsilon/2}$. Montrer alors que le cardinal de $\Lambda$ est majoré par $\left(\frac{2+\varepsilon}{\varepsilon}\right)^n$. 19. Justifier l’existence d’une partie finie $\Lambda_n$ de $S^{n−1}$, de cardinal majoré par $5^n$, et telle que :\\ $S^{n-1} \subset \bigcup_{a \in \Lambda_n} B_{a, \frac{1}{2}}$ 20. On fixe un nombre réel $\alpha > 0$ et on pose $\gamma = \frac{1}{4\alpha^2}$.\\ Soit $n$ un entier strictement positif. On définit une famille de variables aléatoires réelles $M_{i,j}^{(n)}$, indexées par $i, j \in \{1,2,…,n\}$, mutuellement indépendantes et $\alpha$-sous-gaussiennes. On note $M^{(n)}$ la matrice aléatoire $(M_{i,j}^{(n)})_{1\leq i,j \leq n}$.\\ Si $x \in S_{n−1}$, on note $y = M^{(n)} x$ qui est ainsi un vecteur aléatoire dont les composantes $y_1,…, y_n$ sont des variables aléatoires réelles.\\ Montrer que pour tout $i \in \{1,…,n\}$, la variable aléatoire $y_i$ est $\alpha$-sous-gaussienne. En déduire que $\mathbb{E} \left( \exp(\gamma\|y\|^2) \right) \leq 5^n$ et que pour tout réel $r>0$ :\\ $\mathbb{P}(\|y\| \geq r\sqrt{n}) \leq (5e^{-\gamma r^2})^n$.} 21. Soit $\Lambda_n$ une partie de $S_{n-1}$ vérifiant les conditions de la question 18).\\ Pour tout réel $r > 0$, montrer que $\|M^{(n)}\|_{op} \geq 2r\sqrt{n}$ implique l’existence d’un $a \in \Lambda_n$ tel que $\|M^{(n)}a\| \geq r\sqrt{n}$. En déduire que :\\ $\mathbb{P}(\|M^{(n)}\|_{op} \geq 2r\sqrt{n}) \leq (25 e^{-\gamma r^2})^n$.}FAQ
La sphère unité \( S_{n-1} \) est compacte car elle est fermée (comme image réciproque du singleton \(\{1\}\) par l’application continue \( x \mapsto \|x\| \)) et bornée (car incluse dans la boule unité fermée). Dans \( \mathbb{R}^n \), les parties fermées et bornées sont compactes d’après le théorème de Borel-Lebesgue.
Pour montrer que \( \|M\|_{op} \) est une norme, tu dois vérifier les trois propriétés : séparation (\( \|M\|_{op} = 0 \) si et seulement si \( M = 0 \)), homogénéité (\( \|\lambda M\|_{op} = |\lambda| \|M\|_{op} \)), et l’inégalité triangulaire (\( \|M + N\|_{op} \leq \|M\|_{op} + \|N\|_{op} \)). L’inégalité \( \|Mx – My\| \leq \|M\|_{op} \|x – y\| \) découle directement de la définition de la norme d’opérateur.
Pour une matrice symétrique \( M \), la norme d’opérateur \( \|M\|_{op} \) coïncide avec le rayon spectral \( \max\{|\lambda| ; \lambda \in \sigma(M)\} \). Cela vient du fait que les matrices symétriques sont diagonalisables en base orthonormée, et que la norme d’opérateur est alors la plus grande valeur absolue des valeurs propres. Commence par le cas diagonal pour t’en convaincre !
La matrice \( J_n \) a deux valeurs propres distinctes : \( n \) (associée à l’espace propre engendré par le vecteur \( (1,1,…,1) \)) et \( 0 \) (associée à l’espace propre des vecteurs de somme nulle, de dimension \( n-1 \)). La norme d’opérateur \( \|J_n\|_{op} \) est donc égale à \( n \), car c’est le rayon spectral.
Pour tout \( (i,j) \), considère le vecteur \( e_j \) de la base canonique. Alors \( \|M e_j\| \geq |M_{i,j}| \) car \( M e_j \) est le \( j \)-ème vecteur colonne de \( M \). Comme \( \|e_j\| = 1 \), on a bien \( \|M\|_{op} \geq |M_{i,j}| \) pour tout \( i,j \), d’où le résultat.
L’égalité \( \|M\|_{op} = \sqrt{\sum M_{i,j}^2} \) a lieu si et seulement si \( M \) est de rang 1. En effet, cette égalité signifie que la norme d’opérateur coïncide avec la norme de Frobenius, ce qui est caractéristique des matrices de rang 1 (à un facteur près).
Les matrices de \( \Sigma_n \) (à coefficients dans \([-1,1]\)) atteignant la norme d’opérateur \( n \) sont celles dont tous les coefficients valent \( 1 \) ou \( -1 \). En effet, seule une telle matrice peut envoyer un vecteur \( x \) de norme 1 sur un vecteur de norme \( n \), ce qui est nécessaire pour atteindre la borne supérieure.
En utilisant le développement en série entière de \( \cosh(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^{2k}}{(2k)!} \), tu peux comparer terme à terme avec celui de \( \exp(t^2/2) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^{2k}}{2^k k!} \). Comme \( (2k)! \geq 2^k k! \) pour tout \( k \), on a bien \( \cosh(t) \leq \exp(t^2/2) \).
Cette inégalité découle directement de la convexité de la fonction exponentielle. En effet, pour \( x \in [-1,1] \), \( x \) s’écrit comme combinaison convexe de \( 1 \) et \( -1 \) : \( x = \frac{1+x}{2} \cdot 1 + \frac{1-x}{2} \cdot (-1) \). Par convexité, on a donc \( \exp(tx) \leq \frac{1+x}{2} \exp(t) + \frac{1-x}{2} \exp(-t) \).
Une variable aléatoire \( X \) bornée par \( \alpha \) et centrée est \( \alpha \)-sous-gaussienne car sa fonction génératrice des moments est dominée par celle d’une gaussienne. Plus précisément, on montre que \( \mathbb{E}[\exp(tX)] \leq \exp(\alpha^2 t^2 / 2) \) en utilisant l’inégalité de convexité de l’exponentielle et le fait que \( |X| \leq \alpha \).
Si les \( X_i \) sont \( \alpha \)-sous-gaussiennes et indépendantes, alors \( \sum \mu_i X_i \) est \( \alpha \)-sous-gaussienne car sa fonction génératrice des moments est majorée par \( \exp(\alpha^2 t^2 / 2) \) sous la condition \( \sum \mu_i^2 = 1 \). Cela découle de l’indépendance et de la propriété de sous-gaussianité de chaque \( X_i \).
En utilisant l’inégalité de Markov exponentielle et l’hypothèse de sous-gaussianité, tu peux écrire \( \mathbb{P}(X \geq \lambda) \leq \exp(\alpha^2 t^2 / 2 – t \lambda) \) pour tout \( t > 0 \). En optimisant en \( t = \lambda / \alpha^2 \), tu obtiens \( \mathbb{P}(X \geq \lambda) \leq \exp(-\lambda^2 / (2\alpha^2)) \). Par symétrie, tu as la même inégalité pour \( \mathbb{P}(-X \geq \lambda) \), d’où le résultat.
Pour une variable aléatoire \( X \) à valeurs dans \( \mathbb{N} \), on a \( \mathbb{E}(X) = \sum_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(X \geq k) \). Cela vient de l’écriture \( X = \sum_{k=1}^{+\infty} \mathbf{1}_{X \geq k} \) et de la linéarité de l’espérance. Pour une variable à valeurs dans \( \mathbb{R}_+ \), on utilise la partie entière pour obtenir des encadrements similaires.
En utilisant un argument de recouvrement, tu peux montrer que le cardinal de \( \Lambda \) est majoré par \( (1 + 2/\varepsilon)^n \). En effet, les boules \( B(a, \varepsilon/2) \) pour \( a \in \Lambda \) sont disjointes et incluses dans \( B(0, 1 + \varepsilon/2) \). Un calcul de volumes donne alors la majoration souhaitée.
L’inégalité d’Orlicz \( \mathbb{E}[\exp(X^2 / (4\alpha^2))] \leq 5 \) s’obtient en utilisant les questions précédentes. En particulier, on montre d’abord que \( \mathbb{E}[\exp(\beta^2 X^2 / 2)] \) est finie pour \( \alpha \beta < 1 \), puis on utilise une majoration de la fonction zêta pour conclure.
C’est une conséquence du théorème de Borel-Lebesgue. Si \( K \) est compact, pour tout \( \varepsilon > 0 \), l’ensemble des boules \( B(x, \varepsilon/2) \) pour \( x \in K \) forme un recouvrement ouvert de \( K \). Par compacité, on peut en extraire un sous-recouvrement fini, ce qui donne le résultat.
En utilisant un recouvrement de la sphère unité par un nombre fini de boules et l’inégalité de concentration pour les variables sous-gaussiennes, tu peux montrer que \( \mathbb{P}(\|M\|_{op} \geq 2r\sqrt{n}) \leq (25 \exp(-\gamma r^2))^n \). Cela repose sur une union bound et les propriétés des variables \( y_i = Mx \) pour \( x \) dans le recouvrement.