Questions du sujet
1. Montrer que si $f$ admet un point fixe $x$, celui-ci est unique. 2. Soit $x_0 \in A$ et $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite d’éléments de $A$ définie par la relation de récurrence $x_{n+1} = f(x_n)$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est de Cauchy. 3. Conclure. 4. Vérifier que $T$ n’est pas vide. 5. Soit $(t_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d’éléments de $T$ qui converge vers un réel $t \in [0,1]$. On choisit une suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d’éléments de $A$ tels que pour tout entier naturel $n$, on a la relation $x_n = h(x_n,t_n)$. Vérifier qu’une telle suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ existe et que pour tous entiers naturels $n$ et $m$, on a \[ \|x_n – x_m\| \leq \frac{k_0}{1-k}|t_n – t_m|. \]} 6. Montrer alors que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est de Cauchy et en déduire que $T$ est fermée. 7. Soit encore $t \in T$ et $x \in A$ tels que $x = h(x,t)$. Vérifier que $d(x,\partial A) > 0$. 8. Soit $r$ et $\varepsilon$ deux nombres réels strictement positifs tels que $\varepsilon \leq \frac{(1-k)r}{k_0}$ et $r < d(x,\partial A)$, et soit $u \in [0, 1]$ tel que $|t - u| < \varepsilon$. Montrer que pour tout $y \in B(x, r )\cap A$, on a $\|x - h(y,u))\| \leq r$. 9. En déduire, en utilisant le théorème de Picard ci-dessus, que l’application $y \mapsto h(y,u)$ possède un point fixe intérieur à $A$. 10. En déduire que $T$ est un ouvert relatif à $[0,1]$. Conclure alors que $g$ possède un unique point fixe intérieur à $A$ (on pourra considérer une borne supérieure de $T$).} 11. On ne suppose plus que l’application contractante $f: A \to E$ admet un point fixe, mais on fait les trois hypothèses suivantes : \textbf{(d)} le vecteur nul $0$ est intérieur à $A$~; \textbf{(e)} l’image $f(A)$ de $A$ par $f$ est bornée~; \textbf{(f)} pour tout $x \in \partial A$ et tout $t \in [0, 1]$, on a $x \neq t f(x)$. Montrer que $f$ possède un unique point fixe intérieur à $A$. 12. Pour toutes fonctions $y, z \in C([a,b])$ telles que pour tout $t \in [a,b]$, on a $y(t) \in D$ et $z(t) \in D$, démontrer l’inégalité \[ \|F(y) - F(z)\| \leq \alpha K_0 \|y - z\|. \] 13. Soit $A$ une partie fermée et bornée de $C([a,b])$ contenant la fonction nulle dans son intérieur et telle que pour tous $\varphi \in A$ et $t \in [a,b]$, on a $\varphi(t) \in D$. On suppose en outre que $\alpha K_0 < 1$ et que pour tous $\varphi \in \partial A$ et $\lambda \in [0, 1]$, on a $\varphi \neq \lambda F(\varphi)$. Montrer que $F$ admet un unique point fixe intérieur à $A$. 14. Soit $C$ une partie convexe fermée de $E$ contenant $A$. On considère une application continue $f : A \to C$, pas nécessairement contractante, telle que \textbf{(g)} le vecteur nul $0$ est intérieur à $A$~; \textbf{(h)} l’ensemble $f(A)$ est compact~; \textbf{(i)} pour tout $x \in \partial A$ et tout $t \in [0, 1]$, on a $x \neq t f(x)$. On pose \[ X = \left\{ x \in A ; \exists t \in [0, 1] ; x = t f(x) \right\}. \] Montrer que $X$ est non vide et fermé. En déduire que la fonction $\mu : A \to [0, 1]$ définie par la formule \[ \mu(x) = \frac{ d(x, \partial A) }{ d(x, \partial A) + d(x, X) } \] est bien définie et continue. Déterminer $\mu(x)$ lorsque $x \in X$ et lorsque $x \in \partial A$. 15. On définit une fonction $g : C \to C$ par : \[ g(x) = \begin{cases} \mu(x) f(x) &\text{si } x \in A \\ 0 &\text{si } x \in C\setminus A \end{cases} \] Montrer que $g$ est continue sur $C$ et que $g(C)$ est compact.} 16. On admet le Théorème (Schauder). Si $C$ est une partie convexe fermée de $E$, toute application $f : C \to C$ continue telle que $f(C)$ est compact possède au moins un point fixe. Conclure, à l’aide du théorème de Schauder, que $f$ admet un point fixe intérieur à $A$. 17. Soit $g : [0,1] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h : [0,1] \to \mathbb{R}$ et $K : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R}$ des fonctions continues. On pose, pour tout $\varphi \in E$ et $t \in [0, 1]$ : \[ F(\varphi)(t) = h(t) + \int_0^1 K(t,x)g(x,\varphi(x)) dx. \] On fait les hypothèses suivantes: (j) pour tout réel $r \geq 0$, il existe $\mu_r \in L^2$ tel que $|y| \leq r$ implique $|g(x, y)| \leq \mu_r(x)$ pour tout $x \in [0, 1]$; (k) la fonction $K_t$ définie pour tout $t \in [0,1]$ par la formule $K_t(x) = K(t,x)$ est dans $L^2$, et l’application $t \mapsto K_t$ est continue de $[0, 1]$ dans $L^2$. On suppose en outre qu’il existe un réel $M > 0$ tel que pour tout $\lambda \in [0,1]$ et toute solution $\varphi$ de l’équation $\varphi(t) = \lambda F(\varphi)(t)$, on a $\|\varphi\|_0 \neq M$. Déterminer pour chaque $\varphi \in E$, une constante $c_\varphi$ telle que pour tous $t, u \in [0, 1]$, \[ |F(\varphi)(t)| \leq \|h\|_0 + c_\varphi \cdot \sup_{s \in [0,1]} \|K_s\|_2 \] \[ |F(\varphi)(t) – F(\varphi)(u)| \leq |h(t) – h(u)| + c_\varphi \cdot \|K_t – K_u\|_2. \] 18. En déduire que $F$ est une application de $E$ dans $E$. 19. On note $A = B(0,M)$ et on considère une suite $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d’éléments de $A$. Montrer que si $\varphi_n \to \varphi$ dans $E$ quand $n \to +\infty$, on a la convergence simple $F(\varphi_n) \to F(\varphi)$ sur $[0, 1]$. 20. Montrer que pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un réel $\delta > 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tous $t,u \in [0, 1]$, $|t-u| < \delta$ implique $|F(\varphi_n)(t)-F(\varphi_n)(u)| < \varepsilon$.} 21. On rappelle que pour tout $\delta > 0$, il existe une famille finie $t_1, t_2, \ldots, t_N \in [0,1]$ telle que le segment $[0,1]$ soit inclus dans la réunion des intervalles $]t_i – \delta, t_i + \delta[$ pour $i \in \{1, 2, \ldots, N\}$. Montrer que si la suite $(F(\varphi_n))_{n\in\mathbb{N}}$ converge simplement sur $[0,1]$, alors elle converge dans $E$. En déduire que $F$ est continue sur $A$. 22. Soit $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de $A$. Montrer que la suite $(F(\varphi_n))_{n\in\mathbb{N}}$ admet une sous-suite qui converge simplement sur $[0,1]$ (on pourra commencer par établir la convergence simple sur une partie dense de $[0, 1]$). 23. Conclure : $F$ admet un point fixe de norme strictement inférieure à $M$.}FAQ
L’unicité du point fixe est essentielle car elle garantit qu’il n’y a qu’une seule solution à l’équation \(x = f(x)\). Dans le cadre des espaces métriques complets, comme ceux étudiés en CPGE, cela permet d’appliquer le théorème du point fixe de Picard, qui est un outil puissant pour démontrer l’existence et l’unicité des solutions.
Pour montrer qu’une suite \((x_n)\) est de Cauchy, tu dois prouver que pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tous \(n, m \geq N\), on a \(\|x_n – x_m\| \leq \varepsilon\). Dans ce sujet, cela repose souvent sur l’utilisation de la contraction de \(f\) et des inégalités de récurrence.
Le théorème de Picard, ou théorème du point fixe de Banach, stipule que toute application contractante sur un espace métrique complet admet un unique point fixe. Dans ce sujet, il est utilisé pour garantir l’existence et l’unicité d’une solution à l’équation \(x = f(x)\).
Vérifier que \(T\) n’est pas vide est crucial car cela assure qu’il existe au moins un \(t \in [0,1]\) pour lequel l’équation \(x = h(x,t)\) a une solution.
Dans ce sujet, on utilise souvent des inégalités du type \(\|x_n – x_m\| \leq \frac{k_0}{1-k}|t_n – t_m|\) pour montrer qu’une suite est de Cauchy.
\(T\) est fermé car il contient toutes ses valeurs d’adhérence. En d’autres termes, si une suite \((t_n)\) de \(T\) converge vers \(t\), alors \(t \in T\).
Pour montrer que \(d(x, \partial A) > 0\), il faut prouver que \(x\) n’est pas sur la frontière de \(A\) et qu’il existe une boule ouverte centrée en \(x\) entièrement contenue dans \(A\).
Le théorème de Schauder est une généralisation du théorème de Brouwer aux espaces de Banach. Il stipule que toute application continue d’un convexe compact dans lui-même admet un point fixe.
Montrer que \(g\) est continue et que \(g(C)\) est compact permet d’appliquer le théorème de Schauder.
Les hypothèses (j) et (k) permettent de contrôler la croissance et la régularité de \(F\). L’hypothèse (j) assure que \(g\) ne croît pas trop vite, tandis que (k) garantit que \(K\) est suffisamment régulier pour que l’intégrale définissant \(F\) soit bien définie et continue.