Questions du sujet
1. Justifier que pour tout $f \in L$, $\hat{f}$ est bien définie et continue sur $\mathbb{R}$.} 2. Établir que $W$ et $W^*$ sont des espaces vectoriels sur $\mathbb{C}$, vérifiant l’inclusion $W^* \subset W$.} 3. Étant donné $f\in L$, $\alpha > 0$ et $y, \nu \in \mathbb{R}$, on pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f_\alpha(x) = f(\alpha x)$ et $f_{y, \nu}(x) = f(x+y) e^{-2i\pi \nu x}$.\\ Déterminer les transformées de Fourier de $f_\alpha$ et $f_{y, \nu}$ en fonction de $\hat{f}$. Que peut-on en déduire sur les espaces $W$ et $W^*$? } 4. Calculer les transformées de Fourier des fonctions $s$ et $t$ définies sur $\mathbb{R}$ par les formules \[ s(x) = \begin{cases} 1 & \text{pour } |x| \leq \frac{1}{2} \\ 0 & \text{ailleurs}, \end{cases} \] et \[ t(x) = \begin{cases} 1-|x| & \text{pour } |x| < 1 \\ 0 & \text{ailleurs}, \end{cases} \] pour tout $x\in\mathbb{R}$. } 5. Montrer que $W^*$ et $W$ sont distincts de $L$. On pourra pour cela s’aider de la fonction $s$ définie à la question précédente.} 6. Si $f_n$ est une suite de fonctions de $W$ convergeant en moyenne vers une fonction $f \in W$, montrer que la suite $\hat{f_n}$ converge vers $\hat{f}$, uniformément sur $\mathbb{R}$.} 7. Soit $f \in L^*$. Sa périodisée $\tilde{f}$ est définie par la formule $\tilde{f}(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n)$.\\ Montrer que $\tilde{f}$ est bien définie, $1$-périodique et continue sur $\mathbb{R}$. } 8. Déterminer, en fonction de $\hat{f}$, les coefficients de Fourier de $\tilde{f}$ définis pour tout $n \in \mathbb{Z}$ par la formule \[ c_n(\tilde{f}) = \int_0^1 \tilde{f}(x) e^{-2i\pi n x} dx. \] On rappelle que si deux fonctions continues périodiques ont les mêmes coefficients de Fourier, alors elles sont égales. } 9. Montrer que si $\hat{f} \in L^*$, alors $\tilde{f}$ est égale à la somme de sa série de Fourier. En déduire, pour tout $f \in W^*$, la formule de Poisson : \[ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n). \] } 10. Soit $f \in W^*$.\\ En appliquant la formule de Poisson à la fonction $f_{x,\xi}$ définie dans la partie A, établir la généralisation suivante, pour tous réels $x$ et $\xi$ : \[ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) e^{-2i\pi n\xi} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n+\xi) e^{2i\pi x (n+\xi)} \] Montrer que cette formule donne un développement en série de Fourier de la fonction périodisée $F_{f,x}$, où $F_x$ est la fonction définie par $F_x(\xi) = \hat{f}(\xi) e^{2i\pi x \xi}$. } 11. En déduire la formule d’inversion de Fourier : \[ f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi) e^{2i\pi x \xi} d\xi. \] On pourra pour cela interpréter le second membre comme un coefficient de Fourier particulier de $F_{f,x}$. } 12. On dit que $\lambda \in \mathbb{C}$ est valeur propre de la transformation de Fourier dans $W^*$ s’il existe $f \in W^*$ non nulle telle que $\hat{f} = \lambda f$.\\ Montrer qu’une telle valeur propre est une racine quatrième de l’unité, puis déterminer toutes les valeurs propres réelles de la transformation de Fourier dans $W^*$. On pourra s’aider de combinaisons linéaires des fonctions $t$ et $\hat{t}$ où $t$ est définie à la question 4). } 13. On considère, dans cette partie, une fonction $f \in W^*$ telle que $\hat{f}$ s’annule en dehors de l’intervalle $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.\\ Montrer qu’alors $f$ est déterminée de façon unique par la donnée de la suite des échantillons $(f(n))_{n \in \mathbb{Z}}$. (On pourra s’aider de la formule généralisée de Poisson établie à la question 10).) } 14. Ce résultat subsiste-t-il si l’on suppose seulement que $\hat{f}$ s’annule en dehors d’un intervalle $[-\frac{1}{2}-\varepsilon, \frac{1}{2}+\varepsilon]$ où $\varepsilon > 0$ ? (On pourra considérer la fonction $\xi \mapsto t\left( \frac{\xi – \frac{1}{2}}{\varepsilon}\right) – t\left( \frac{\xi + \frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)$, où $t$ est la fonction définie à la question 4).) } 15. Dans cette partie, on considère la fonction $t$ définie à la question 4) et l’on pose, pour tous $x \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{N}$ et $N$ entier $>0$ : \[ u_k(x) = t(2^k x) – t(2^{k+1} x) \] \[ u_{k,N}(x) = \frac{1}{N} \sum_{n \in \mathbb{Z}, |n|FAQ
La transformée de Fourier \( \hat{f} \) est bien définie car \( f \) est intégrable sur \( \mathbb{R} \), ce qui garantit l’existence de l’intégrale définissant \( \hat{f} \). De plus, comme \( f \in L^1(\mathbb{R}) \), on peut montrer que \( \hat{f} \) est continue en utilisant le théorème de continuité sous le signe intégrale, grâce à la domination par \( |f| \) qui est intégrable.
Pour établir \( W^* \subset W \), il suffit de remarquer que si \( f \in W^* \), alors \( \hat{f} \) est intégrable et \( f \) est continue bornée. Or, toute fonction continue bornée dont la transformée de Fourier est intégrable appartient à \( W \), d’où l’inclusion.
La transformée de Fourier de \( f_\alpha \) est donnée par \( \widehat{f_\alpha}(\xi) = \frac{1}{\alpha} \hat{f}\left(\frac{\xi}{\alpha}\right) \). Cela se démontre en effectuant un changement de variable dans l’intégrale définissant \( \hat{f} \).
La transformée de Fourier de la fonction porte \( s(x) \) est \( \hat{s}(\xi) = \frac{\sin(\pi \xi)}{\pi \xi} \). Ce résultat s’obtient en calculant directement l’intégrale de Fourier, qui se ramène à une intégrale classique grâce à la définition de \( s \).
Les espaces \( W^* \) et \( W \) sont distincts de \( L \) car ils imposent des conditions supplémentaires : \( W \) exige que \( f \) soit continue bornée et \( \hat{f} \) intégrable, tandis que \( W^* \) impose en plus que \( f \) soit intégrable. Par exemple, la fonction porte \( s \) appartient à \( L \) mais pas à \( W \) ni à \( W^* \) car sa transformée de Fourier n’est pas intégrable.
Si \( f_n \) converge en moyenne vers \( f \) dans \( W \), alors \( \hat{f_n} \) converge uniformément vers \( \hat{f} \) car la transformée de Fourier est une application linéaire continue de \( L^1 \) dans l’espace des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini. La convergence en moyenne implique la convergence uniforme des transformées de Fourier grâce à l’inégalité \( \|\hat{f_n} – \hat{f}\|_\infty \leq \|f_n – f\|_1 \).
La périodisée \( \tilde{f} \) est bien définie car \( f \) est intégrable et décroît suffisamment vite à l’infini pour que la série \( \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) \) converge. Elle est continue car chaque terme \( f(x+n) \) est continu et la convergence est uniforme sur tout compact, ce qui préserve la continuité.
Les coefficients de Fourier de \( \tilde{f} \) sont donnés par \( c_n(\tilde{f}) = \hat{f}(n) \). Cela découle de la définition de \( \tilde{f} \) comme somme de translatées de \( f \) et de la formule de Poisson, qui relie les coefficients de Fourier aux valeurs de la transformée de Fourier aux entiers.
La formule de Poisson s’écrit \( \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) \). Elle s’établit en utilisant le fait que \( \tilde{f} \) est égale à la somme de sa série de Fourier lorsque \( \hat{f} \in L^* \), puis en évaluant en \( x = 0 \). Cela relie les valeurs de \( f \) aux entiers aux valeurs de sa transformée de Fourier aux entiers.
La généralisation s’écrit \( \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) e^{-2i\pi n\xi} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n+\xi) e^{2i\pi x (n+\xi)} \). Elle s’obtient en appliquant la formule de Poisson à la fonction \( f_{x,\xi}(y) = f(y+x) e^{-2i\pi \xi y} \) et en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier sous translation et modulation.
La formule d’inversion \( f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi) e^{2i\pi x \xi} d\xi \) s’obtient en interprétant le second membre de la formule de Poisson généralisée comme un coefficient de Fourier particulier de \( F_{f,x} \), puis en utilisant l’unicité des coefficients de Fourier pour une fonction périodique continue.
Les valeurs propres réelles de la transformation de Fourier dans \( W^* \) sont \( 1 \) et \( -1 \). Cela découle du fait que les valeurs propres doivent être des racines quatrièmes de l’unité, et les seules racines réelles sont \( 1 \) et \( -1 \). On peut construire des fonctions propres associées en utilisant des combinaisons linéaires des fonctions \( t \) et \( \hat{t} \) définies dans le sujet.
Si \( \hat{f} \) est à support dans \([-1/2, 1/2]\), alors \( f \) est entièrement déterminée par ses échantillons \( (f(n))_{n \in \mathbb{Z}} \) grâce à la formule de Poisson généralisée. En effet, la série \( \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) \) permet de reconstruire \( f \) via sa transformée de Fourier, qui est nulle en dehors de \([-1/2, 1/2]\).
Si \( \hat{f} \) est à support dans \([-1/2 – \varepsilon, 1/2 + \varepsilon]\), la fonction \( f \) n’est plus nécessairement déterminée de façon unique par ses échantillons \( (f(n))_{n \in \mathbb{Z}} \). En effet, on peut construire des fonctions non nulles dont la transformée de Fourier est nulle aux entiers, ce qui rend la reconstruction impossible sans information supplémentaire.
La fonction \( f \) est bien définie car la série \( \sum_{k=0}^{+\infty} u_{k,N_k} \) converge normalement sur tout compact, grâce aux propriétés des noyaux de Fejér \( K_N \) qui assurent une décroissance suffisante des termes. Elle est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \) car chaque \( u_{k,N_k} \) est continue et la convergence est uniforme sur tout compact ne contenant pas d’entiers.
La série de terme général \( \hat{u}_{k,N_k} \) converge en moyenne vers \( \hat{f} \) car la convergence en moyenne de \( u_{k,N_k} \) vers \( f \) implique, par continuité de la transformée de Fourier, la convergence en moyenne des transformées de Fourier \( \hat{u}_{k,N_k} \) vers \( \hat{f} \). Cela découle du théorème de convergence dominée et des propriétés des noyaux de Fejér.
Pour la fonction \( f \) construite avec les noyaux de Fejér, la formule de Poisson n’est pas nécessairement valable car \( f \) peut ne pas être suffisamment régulière ou décroissante à l’infini. Cela montre que les hypothèses de la formule de Poisson (comme \( \hat{f} \in L^* \)) sont cruciales pour sa validité.
La somme \( S \) peut être approchée en utilisant la formule de Poisson appliquée à la fonction gaussienne \( g(x) = e^{-\pi x^2} \), dont on sait que \( \hat{g} = g \). En évaluant la formule de Poisson pour \( g \) et en utilisant le fait que \( g \) décroît très rapidement, on obtient une approximation précise de \( S \) en ne retenant que les premiers termes de la série.
La transformée de Fourier est un outil fondamental en analyse mathématique, avec des applications en physique, en traitement du signal et en théorie des équations aux dérivées partielles. Maîtriser ce concept est essentiel pour aborder sereinement les concours et les études supérieures en mathématiques ou en physique théorique. Pour t’entraîner, n’hésite pas à consulter les corrigés détaillés et les exercices supplémentaires sur Prépa Booster !
Les pièges classiques incluent la confusion entre convergence ponctuelle et uniforme, l’oubli des hypothèses de décroissance ou d’intégrabilité, et la mauvaise manipulation des formules de Poisson ou d’inversion. Pour éviter ces erreurs, il est crucial de bien comprendre les hypothèses sous-jacentes et de s’entraîner sur des exercices variés. Les corrigés détaillés de Prépa Booster peuvent t’aider à identifier et corriger ces erreurs courantes.