Questions du sujet
1. 1) On pose $j = \exp(2i\pi/3)$. Que vaut $j^4 + j^2 +1$ ? 2. 2) Proposer une matrice inversible $U$ et une matrice diagonale $D$ de $M_{4,4}(\mathbb{C})$ telles que $U^{-1}AU = D$. La méthode choisie pour les obtenir doit être expliquée. 3. 3) En déduire les solutions $X : I \to M_{4,1}(\mathbb{C})$ de l’équation différentielle $X’ = AX$. 4. 4) Déterminer l’ensemble des solutions $y : I \to \mathbb{C}$ de l’équation différentielle $y^{(4)} + y” + y = 0$ et préciser parmi ces solutions celles qui sont à valeurs dans $\mathbb{R}$. On pourra considérer le vecteur $Y = \begin{pmatrix} y \\ y’ \\ y” \\ y^{(3)} \end{pmatrix}$. 5. 5) On considère la fonction $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $h(t) = (1-t^2)^3$ si $|t| \leq 1$ et $h(t) = 0$ sinon. Montrer que $h \in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et représenter son graphe. La fonction $h$ est-elle de classe $C^3$ sur $\mathbb{R}$?} 6. 6) Soit $x_0, x_1$ des nombres réels tels que $x_0 < x_1$. Construire à partir de $h$ une fonction $g \in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$ vérifiant $g(x) > 0$ pour tout $x \in ]x_0, x_1[$ et $g(x) = 0$ ailleurs. 7. 7) Soit $F \in C^0([0,1],\mathbb{R})$ telle que $\int_0^1 F(x)u(x)\ \mathrm{d}x = 0$ pour tout $u \in E^2_{0,0}$. Démontrer qu’alors $F$ est nulle. 8. 8) Montrer que l’application $q$ définie sur $\mathbb{R}$ par la formule $q(t) = J(f_0 + tu)$ est polynomiale, c’est-à-dire qu’il existe une famille finie $(a_0, a_1,\dots, a_r)$ de nombres réels telle que $q(t) = \sum_{k=0}^r a_k t^k$ pour tout $t\in\mathbb{R}$. Expliciter le coefficient $a_1$ sous la forme d’une intégrale faisant intervenir les polynômes dérivés $P’$ et $Q’$. 9. 9) On suppose que pour tout $f \in E$, $J(f_0) \leq J(f)$. Montrer qu’alors $a_1 = 0$ et en déduire l’équation différentielle :\\ $\forall x \in [0, 1],\:\: P’\big(f_0(x)\big) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ Q’\big(f_0′(x)\big) \right]$. 10. 10) Former l’équation différentielle correspondante dans le premier exemple ($E = E^2_{0,1}$ et $J_1(f) = \int_0^1 (f'(x))^2\, \mathrm{d}x$). Parmi ses solutions, préciser celles qui appartiennent à $E^2_{0,1}$.} 11. 11) Montrer que $J_1$ admet un minimum sur $E^2_{0,1}$, préciser sa valeur ainsi que les points de $E^2_{0,1}$ où ce minimum est réalisé. (On pourra s’aider de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.) 12. 12) Former l’équation différentielle correspondante dans le second exemple ($E = E^2_{0,0}$ et $J_2(f) = \int_0^1 (f'(x))^2 + (f'(x))^3\, \mathrm{d}x$). Parmi ses solutions, montrer que seule la fonction nulle appartient à $E^2_{0,0}$. 13. 13) Montrer que $J_2$ n’admet pas de minimum sur $E^2_{0,0}$. (On pourra se servir de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0, 1]$ par la formule $f(x) = x^2(1-x)$. 14. 14) Montrer que le produit $f f”$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+$ et que $f(x)f'(x)$ ne tend pas vers $+\infty$ quand $x \rightarrow +\infty$. 15. 15) En déduire que $f’ \in L^2$, puis que $f(x)f'(x) \to 0$ quand $x \rightarrow +\infty$.} 16. 16) Déterminer les solutions de $(2)$ qui appartiennent à $E$. (On pourra d’abord étudier leur appartenance à $L^2$.) 17. 17) On suppose, dans cette question, que la fonction $J$ présente un minimum en un élément $f$ de $E$. Montrer que $f$ est solution sur $\mathbb{R}_+$ de l’équation $y” + y’ + y = 0$. Montrer par ailleurs qu’il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $f = \lambda\psi$. 18. 18) Montrer que pour tout $f \in E$ et tout réel $A > 0$, $$ \int_0^A \left[ \left(f(x)\right)^2 – \left(f'(x)\right)^2 + \left(f”(x)\right)^2 \right]\, \mathrm{d}x = \int_0^A \left[ f(x)+f'(x)+f”(x)\right]^2\,\mathrm{d}x + \big(f(0)+f'(0)\big)^2 – \big(f(A)+f'(A)\big)^2. $$ Quel est le comportement de $\left( f(A)+f'(A)\right)^2$ lorsque $A \to +\infty$? En déduire que la fonction $J$ admet effectivement un minimum au point $\lambda\psi$ pour chaque $\lambda \in \mathbb{R}$. 19. 19) Indiquer comment le point de vue de la question précédente permet de retrouver directement toutes les fonctions $f_0 \in E$ telles que $J(f_0) = \min_{f \in E} J(f)$, sans passer par l’équation différentielle $(2)$. 20. 20) Montrer que pour tout $f \in E$, $$ \|f’\|^2 \leq 2\|f\|\cdot\|f”\|. $$ On pourra poser $f_\mu(x) = f(\mu x)$ et utiliser le fait que $J(f_\mu) \geq 0$, pour tout réel $\mu > 0$.} 21. 21) Déterminer tous les cas d’égalité dans l’inégalité précédente.}FAQ
Le sujet touche à différents domaines fondamentaux de la filière MP : nombres complexes et racines de l’unité, diagonalisation de matrices, équations différentielles linéaires et systèmes, analyse de la régularité de fonctions (continuité, dérivabilité, classes C^k), ainsi que le calcul intégral, la théorie des espaces fonctionnels (comme les espaces de Sobolev) et les méthodes variationnelles. Il faut aussi être à l’aise avec les techniques d’inégalités, d’intégration par parties et d’optimisation sous contraintes.
Pour la diagonalisation, travaille bien la recherche des valeurs propres, la construction de bases de vecteurs propres ou de Jordan si besoin, et la réduction de matrices pour simplifier les systèmes. Pour les systèmes différentiels linéaires, révise la méthode d’exponentiation de matrices, l’utilisation des solutions fondamentales, et la transformation de systèmes d’équations scalaires en systèmes matriciels. Tu trouveras des applications en passant d’équations scalaires d’ordre élevé à des systèmes du premier ordre.
La régularité C^k d’une fonction, c’est-à-dire le fait qu’elle soit k-fois continûment dérivable, intervient souvent dans les conditions d’existence des solutions aux problèmes d’analyse, surtout pour garantir le bon passage aux limites, l’intégration par parties, ou les méthodes variationnelles. C’est aussi crucial pour assurer que certaines transformations mathématiques restent licites, et pour travailler sur des espaces fonctionnels bien adaptés aux méthodes d’optimisation ou de minimisation. Sur des sujets de concours comme Mines-Ponts, c’est classique de devoir vérifier jusqu’à quelle classe de régularité une fonction donnée appartient.
L’espace \(E^2_{0,0}\) regroupe les fonctions deux fois continûment dérivables s’annulant en 0 et en 1. Ces espaces apparaissent lors d’études de minimisation sur des intégrales d’énergies, incontournables en analyse variationnelle. Ici, la démarche consiste à chercher des fonctions minimisant des fonctionnelles, ce qui conduit naturellement à des équations d’Euler-Lagrange. C’est typiquement le genre de raisonnement attendu en CPGE et souvent valorisé dans les sujets Mines-Ponts.
Savoir démontrer qu’une fonction (ou son produit avec une dérivée) est bien intégrable, ou bien qu’elle tend vers zéro à l’infini, c’est fondamental pour s’assurer que certaines formules ou manipulations (comme l’application d’intégrations par parties sur des intervalles non bornés) restent valides. Ces propriétés sont aussi essentielles pour prouver que des fonctions appartiennent à des espaces comme L², qui servent de cadre pour les solutions recherchées dans les équations différentielles impliquées dans le sujet.
Les grandes classiques comme Cauchy-Schwarz, l’inégalité de Minkowski, ou parfois l’inégalité de Wirtinger, sont incontournables ! Elles servent à prouver l’existence de minima, l’unicité des solutions de problèmes variationnels, et à encadrer des normes pour les fonctions. Savoir les appliquer (et justifier chaque étape) t’aidera non seulement à avancer dans le sujet mais aussi à montrer ta maîtrise méthodologique aux examinateurs.
Les polynômes et leurs racines complexes, comme les racines de l’unité, interviennent très souvent pour fabriquer des matrices diagonalisables ou pour résoudre des équations différentielles à coefficients constants. Maîtriser leurs propriétés te permet d’identifier rapidement les structures utiles (valeurs propres, multiplicité), de factoriser des opérateurs différentiels et de construire ensuite les bases de solutions ou de fonctions particulières.
Chaque sujet des Mines-Ponts est construit pour te forcer à relier plusieurs domaines des mathématiques, à valoriser la rigueur des raisonnements et à gérer la complexité des enchaînements logiques ! Travailler sur le sujet 2011 t’entraîne à enchaîner diagonalisation, analyse, EDL et minimisation. C’est aussi le meilleur moyen de repérer les astuces classiques de rédaction et de consolidation des résultats nécessaires. Pour progresser de façon ciblée, n’hésite pas à débloquer les corrigés de Prépa Booster pour avoir accès aux solutions détaillées, aux exercices similaires corrigés, et à ton dashboard personnalisé d’entraînement !