Questions du sujet
1. Montrer que $(\varphi_\lambda)_{\lambda\geq0}$ est une famille libre de $C([0, 1])$. 2. Montrer que si $R(X)$ est de la forme $R(X) = \sum_{k=1}^n \frac{A_k}{X+b_k}$, alors $A_n D_n = R(a_n) D_{n-1}$.\\ On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir de $D_n$ en remplaçant la dernière colonne par \[ \begin{pmatrix} R(a_1) \\ R(a_2) \\ \vdots \\ R(a_n) \end{pmatrix} . \] 3. En déduire que \[ D_n = \frac{\prod_{1\leq iFAQ
Pour t’en sortir sur ce sujet, il faut être à l’aise avec l’analyse fonctionnelle (espaces vectoriels normés, densité, adhérence), les propriétés des espaces de fonctions continues (C([0,1]), normes N₂ et N_∞), les déterminants (Vandermonde et généralisés), la compacité, la projection orthogonale, et le calcul explicit des distances à un sous-espace. Il y a aussi une utilisation fine des polynômes et fractions rationnelles. Te plonger dans ce corrigé te permettra de voir exactement quelle maîtrise méthologique et rédactionnelle est attendue le jour J.
N₂ correspond à la norme euclidienne (celle du carré intégral de la fonction sur [0,1]), tandis que N_∞ est la norme uniforme (le maximum pris sur l’ensemble du segment). Ce sujet te fait travailler sur la comparaison de ces deux normes, leurs conséquences sur la compacité, la densité des sous-espaces, et l’adhérence des familles de fonctions. Les subtilités entre densité pour N₂ ou N_∞ sont centrales pour réussir ce sujet !
La densité te permet de savoir si tu peux approcher n’importe quelle fonction (ou vecteur) avec des éléments de ton sous-espace, ce qui est fondamental pour des questions d’approximation, de convergence et pour la résolution de beaucoup de problèmes pratiques et théoriques (que ce soit en intégration, en séries, ou en équations fonctionnelles). Ici, tu verras à quel point un sous-espace dense change tout, notamment pour N₂ ou N_∞. Comprendre la discussion sur la densité dans ce corrigé t’apportera vraiment beaucoup pour les concours.
En topologie, l’adhérence (ou fermeture) d’un ensemble est l’ensemble des points qui peuvent être approchés arbitrairement par des points de cet ensemble. Dans le contexte des espaces normés, cela signifie qu’une fonction est dans l’adhérence d’un sous-espace si on peut la rapprocher autant qu’on veut (pour la norme donnée) par des éléments du sous-espace. Appréhender cette propriété est crucial pour comprendre les résultats de densité ou pour caractériser les sous-espaces denses en jeu dans ce sujet.
Les déterminants, en particulier de type Vandermonde ou généralisés, servent souvent à montrer l’indépendance linéaire, à calculer explicitement des expressions de base, ou à manipuler des familles libres dans les espaces vectoriels de fonctions. Dans ce sujet, tu es amené à exprimer certains déterminants avec factorisation astucieuse, une compétence très utile aussi pour d’autres concours. N’hésite pas à débloquer le corrigé pour voir les techniques rédactionnelles attendues sur ce type de question !
La projection orthogonale apparaît dès que tu souhaites calculer la distance d’une fonction à un sous-espace, et c’est une manière efficace de trouver la meilleure approximation (au sens de la norme) d’une fonction par des éléments d’un sous-espace. Même dans C([0,1]), certains sous-espaces sont de dimension finie et tout un pan de l’analyse repose sur cette notion. C’est aussi le socle de la méthode des moindres carrés !
La compacité est essentielle ici : dans l’espace des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme N_∞ (et selon les sous-espaces spécifiques), elle permet de garantir l’existence de minimas pour l’écart à un sous-espace, d’obtenir des propriétés de distance atteinte, ou encore de travailler sur les projections. Savoir mobiliser la compacité de certains ensembles (bol fermé, intersection, sous-espaces fermés) fait toute la différence pour bien rédiger !
Le lien entre la divergence de la série \(\sum 1/\lambda_k\) et la densité d’une famille de fonctions, c’est tout l’art de passer d’une propriété d’approximation à une condition sur la suite des paramètres ! Si la série diverge, cela garantit que la famille engendre un sous-espace suffisamment “riche”, autrement dit dense soit pour la norme N₂ soit pour N_∞. On croise énormément ce genre de critère dans les questions sur les bases de Hilbert ou lors de la construction d’orthogonalités. C’est technique mais passionnant quand tu vois pourquoi ça marche dans le corrigé sur Prépa Booster.
L’indépendance linéaire permet d’affirmer que la famille de fonctions considérée forme une base, ou du moins un système générateur sans redondance, ce qui est essentiel pour étudier la densité, la projection ou la représentation unique des éléments. Bien souvent, les démonstrations de liberté font appel à des propriétés analytiques ou à des calculs de déterminants (encore eux !). Sur ce sujet Mines-Ponts, l’indépendance des \(\varphi_\lambda\) est une clé pour progresser sur l’ensemble du problème.
Entraîne-toi régulièrement sur la manipulation des espaces vectoriels de fonctions, sur les manipulations de normes et sur l’écriture soignée de tes démonstrations (inégalités, calculs d’adhérence, preuves de densité, comparaisons de normes). N’hésite pas à refaire intégralement les preuves, à travailler sur les propriétés de compacité et à dominer la notion de projection orthogonale. Pour booster vraiment ta préparation, débloque les corrigés sur Prépa Booster : tu auras accès à des corrections rédigées, des exercices complémentaires et des astuces de rédaction incontournables.