Questions du sujet
1. Établir l’existence d’une forme linéaire $\lambda$ sur $V$, à valeurs dans $\mathbb{C}$, telle que pour tout $M \in V$, $MX = \lambda(M)X$. 2. Montrer que pour tout $M \in V$, $[M, A]$ appartient à $V$. 3. Démontrer, pour tout entier $i \geq 0$ et pour tout $M \in V$, les identités suivantes : \begin{align*} MX_i &= \sum_{j=0}^{i} C^i_j \lambda_{i-j}(M) X_j \tag{1}\\ [M, A] X_i &= \sum_{j=0}^{i} C^i_j \lambda_{i-j+1}(M) X_j \tag{2} \end{align*} 4. On identifie dorénavant matrices colonnes et vecteurs de $\mathbb{C}^n$. Démontrer qu’il existe un plus grand entier $q$ tel que la famille de vecteurs $\{X_0, X_1, X_2, \cdots, X_q\}$ soit libre. 5. Montrer que $M_G$, $A_G$ et $[M, A]_G$ sont des endomorphismes de $G$.} 6. Calculer la trace de $[M, A]_G$. 7. Quelle est la matrice de $[M, A]_G$ dans la base $\{X_0, X_1, X_2, \cdots, X_q\}$ ? 8. Pour $M \in V$, que vaut $\lambda([M, A])$ ? 9. Établir le théorème 1. 10. Traduire la propriété « il existe une matrice $P$ inversible telle que pour tout $M \in U$, $P^{-1}MP$ est triangulaire supérieure » en une propriété sur les endomorphismes canoniquement associés aux éléments de $U$.} 11. Montrer que $T_P$ est une algèbre de Lie résoluble de longueur $n$. \\ On pourra considérer les sous-espaces $N_k$ $(0 \leq k \leq n)$ tels que $N_0 = T_P$ et pour tout entier $k$ $(1 \leq k \leq n)$, $N_k$ est l’ensemble des matrices $M \in T_P$ telles que les $k$ diagonales supérieures $D_0(P^{-1}MP)$, $D_1(P^{-1}MP), \ldots,$ et $D_{k-1}(P^{-1}MP)$ sont nulles. 12. Montrer que pour tout $M, M_0 \in U$, on a $MM_0 = M_0M$. 13. Soit $r$ un entier non nul et une famille $M_1, M_2, \cdots, M_r$ d’éléments de $U$. Montrer qu’il existe un vecteur propre commun aux endomorphismes $M_1, M_2, \cdots, M_r$. 14. Montrer qu’il existe au moins un vecteur propre commun à tous les endomorphismes $\{M, M \in U\}$. 15. Soit $F$ et $H$ deux espaces supplémentaires de $\mathbb{C}^n$ et $u$ et $v$ deux endomorphismes de $\mathbb{C}^n$. De plus, on suppose, d’une part, que $F$ est stable par $u$ et $v$ et, d’autre part, que $u$ et $v$ commutent. Montrer les relations suivantes : \[ p_H u = p_H u p_H \quad \text{et} \quad p_H v = p_H v p_H. \]} 16. Montrer que $p_H u p_H$ et $p_H v p_H$ commutent puis que $p_H u_H$ et $p_H v_H$ commutent. 17. En procédant par récurrence sur $n$, établir le théorème 2 dans le cas $p = 1$. 18. Montrer qu’il existe au moins un vecteur propre commun à tous les endomorphismes $M, M \in U_1$. 19. Soit $X$ l’un de ces vecteurs propres. On note $E$ l’espace vectoriel engendré par $X$ et les éléments de la forme $A_1 \cdots A_k X$ où $k$ est un entier non nul, $A_j \in U$ pour tout $j$. Montrer que $E$ est un espace vectoriel stable par tous les éléments de $U$ et que tous les éléments de $E$ sont des vecteurs propres communs à tous les endomorphismes de $U_1$. 20. Soit $M, M_0 \in U$. Montrer que $[M, M_0]_E$ est une homothétie de trace nulle.} 21. Que peut-on en déduire?}FAQ
Le sujet de mathématiques Mines-Ponts MP 2007 tourne autour de l’étude des formes linéaires, des espaces vectoriels, du calcul de commutateurs, des endomorphismes, de la trace, de la diagonalisation et de la résolution d’algèbres de Lie. On y travaille aussi la notion de stabilité, de famille libre et la recherche de vecteurs propres communs, ce qui est incontournable pour maîtriser l’algèbre avancée en prépa MP.
Les familles libres permettent d’analyser la structure des espaces vectoriels et d’en déterminer la dimension, des outils clés pour tout problème d’algèbre linéaire ou de diagonalisation. Quant aux vecteurs propres communs, ils sont essentiels dès qu’on examine un ensemble d’endomorphismes qui commutent, car ils ouvrent la porte à des bases simultanément propres. Savoir manipuler ces notions t’offre souvent un levier pour casser la difficulté du sujet.
Les commutateurs et les algèbres de Lie permettent de comprendre finement la structure des familles d’endomorphismes, en particulier les propriétés de commutativité et de résolubilité. Ce sont des outils puissants pour démontrer l’existence de bases adaptées, de vecteurs propres ou encore pour prouver la simultanéité de la triangulation. Se familiariser avec ces objets est un excellent investissement pour tout sujet d’algèbre linéaire d’un concours comme Mines-Ponts.
Dans ce sujet, les endomorphismes canoniquement associés permettent de relier les structures matricielles du problème à des propriétés algébriques plus générales. Ils facilitent la traduction entre les opérations matricielles (comme la conjugaison ou la triangulation) et les propriétés des espaces vectoriels et des familles d’endomorphismes. Cela t’aide à appliquer les gros résultats d’algèbre linéaire à ton problème concret.
Montrer qu’un espace est stable par un certain endomorphisme, c’est garantir qu’on peut travailler dans ce sous-espace sans en sortir, ce qui rend les calculs et les raisonnements beaucoup plus simples. En algèbre linéaire et dans les sujets de concours, cette idée revient sans cesse puisque, dès qu’une famille est stable, on peut construire des bases adaptées, comprendre le comportement spectral et aboutir à des généralisations puissantes, comme dans ce sujet Mines-Ponts 2007.
Il faut maîtriser sur le bout des doigts l’algèbre linéaire (espaces vectoriels, endomorphismes, matrices, formes linéaires, commutateurs, structures de Lie…) et savoir manipuler efficacement la notion de stabilité, la construction de bases adaptées et la diagonalisation. Entraîne-toi sur les annales, analyse les corrigés – tu peux d’ailleurs les débloquer sur Prépa Booster, avec l’accès à des exercices corrigés et un dashboard personnalisé pour bien consolider ta progression.
Oui, la stratégie consiste souvent à utiliser la simultanéité de la triangulation pour des familles d’endomorphismes commutants. En d’autres termes, si plusieurs endomorphismes commutent, il est possible de trouver une base dans laquelle ils sont tous triangulaires supérieurs, et donc, par récurrence ou application judicieuse de théorèmes, de trouver des vecteurs propres communs. C’est une méthode très classique dans ce type de sujet.