Questions du sujet
1. D\’emontrer que les fonctions complexes $f$ et $g_n$, $n \in \mathbb{N}$, d\’efinies dans le plan $\mathbb{R}^2$ par les relations ci-dessous, sont harmoniques :\\ $f(x, y) = e^{x + iy}, \quad g_n(x, y) = (x + iy)^n$. 2. D\’eterminer les fonctions $u$ r\’eelles, de classe $C^2$, d\’efinies sur la demi-droite ouverte $]0, +\infty[$, telles que chaque fonction $h$, d\’efinie dans le plan $\mathbb{R}^2$ priv\’e du point $O$ ($\mathbb{R}^2\setminus \{O\}$) par la relation ci-dessous, soit harmonique :\\ $h(x, y) = u\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$.\\ Poser si n\’ecessaire : $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. 3. D\’eterminer les fonctions $v$ r\’eelles, de classe $C^2$, d\’efinies sur la droite r\’eelle $\mathbb{R}$, telles que chaque fonction $k$, d\’efinie dans le plan $\mathbb{R}^2$ priv\’e de l’axe $y’Oy$ ($\mathbb{R}^2\setminus y’Oy$) par la relation ci-dessous, soit harmonique :\\ $k(x, y) = v\left(\frac{y}{x}\right)$. 4. Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de fonctions d\’efinies dans tout le plan $\mathbb{R}^2$ par les relations suivantes :\\ $u_n(x, y) = (-1)^n \frac{(x + iy)^n}{(2n)!}$.\\ Soit $K$ un ensemble ferm\’e born\’e quelconque du plan $\mathbb{R}^2$ ; d\’emontrer que la restriction $u_n|_K$ de la fonction $u_n$ au ferm\’e $K$ est le terme g\’en\’eral d’une s\’erie de fonctions uniform\’ement convergente.\\ En d\’eduire que la s\’erie de fonctions de terme g\’en\’eral $u_n$ converge en tout point du plan et que sa somme, la fonction $\varphi$, d\’efinie par la relation suivante \[ \varphi(x, y) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x, y), \] est continue dans le plan. 5. D\’emontrer que cette fonction $\varphi$ est harmonique dans tout le plan $\mathbb{R}^2$.} 6. D\’emontrer l’existence d’un point $M_p$ de coordonn\’ees $a_p$ et $b_p$, appartenant au disque ferm\’e $D$ en lequel la fonction $f_p$ atteint son maximum : \[ f_p(a_p, b_p) = \max_{(x, y) \in D} f_p(x, y). \] 7. D\’emontrer que, si le point $M_p$ appartient \`a l’int\’erieur du disque $D$, les deux d\’eriv\’ees secondes de la fonction $f_p$, obtenues en d\’erivant deux fois par rapport \`a $x$ ou deux fois par rapport \`a $y$, sont, en ce point $M_p$, n\’egatives ou nulles : \[ \frac{\partial^2 f_p}{\partial x^2}(a_p, b_p) \leq 0 \ ; \quad \frac{\partial^2 f_p}{\partial y^2}(a_p, b_p) \leq 0. \] 8. En d\’eduire, en calculant par exemple le laplacien de la fonction $f_p$, que le point $M_p$ est situ\’e sur le cercle $C$. 9. D\’emontrer qu’il existe un point $P$ de coordonn\’ees $a$ et $b$ du cercle $C$ en lequel la fonction $f$ atteint son maximum sur $D$ : \[ f(a, b) = \max_{(x, y) \in D} f(x, y). \] 10. En d\’eduire que deux fonctions harmoniques dans le plan $\mathbb{R}^2$ \’egales le long d’un cercle $C$ du plan (de rayon strictement positif), sont \’egales dans tout le disque $D$ de fronti\`ere $C$.} 11. D\’emontrer que la fonction $F$ est d\’efinie et continue sur la demi-droite ferm\’ee $[0, +\infty[$. 12. D\’emontrer que la fonction $F$ est contin\^ument d\’erivable. Pr\’eciser sa d\’eriv\’ee $F'(\rho)$. 13. D\’emontrer que le produit $\rho F'(\rho)$ est \’egal \`a la valeur d’une int\’egrale curviligne d’une forme diff\’erentielle $\alpha = A(x, y) dx + B(x, y) dy$ le long d’un arc orient\’e $\Gamma$ :\\ $\rho F'(\rho) = \int_{\Gamma} (A(x, y) dx + B(x, y) dy)$.\\ Pr\’eciser la forme diff\’erentielle $\alpha$ et l’arc orient\’e $\Gamma$. 14. D\’emontrer que la fonction $F$ est une fonction constante ; pr\’eciser sa valeur. 15. Soit $D$ le disque ferm\’e de centre le point $M_0$ de coordonn\’ees $(x_0, y_0)$ et de rayon $r$ ($r>0$) ; d\’emontrer que l’int\’egrale double $I$ de la fonction $f$ \’etendue au disque $D$ se calcule simplement en fonction de $f(x_0, y_0)$ suivant la relation : \[ I = \iint_D f(x, y) dx dy = \pi r^2 f(x_0, y_0). \] } 16. Soient deux disques ferm\’es $D_1$ et $D_2$ de centres, distincts l’un de l’autre, $O$ et $M_0$, de coordonn\’ees respectives $(0,0)$ et $(x_0, y_0)$. Soit $r$ le rayon commun de ces disques. La distance $d$ des centres $O$ et $M_0$ ($d = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$) est suppos\’ee strictement inf\’erieure au rayon $r$ ($0 < d < r$). Soit $L_2$ l’ensemble des points du disque $D_2$ qui ne sont pas dans le disque $D_1$.\\ En consid\'erant par exemple un disque contenu dans l’intersection des disques $D_1$ et $D_2$, d\'emontrer que l’aire de $L_2$ est major\'ee par l’expression $\pi r d$. 17. A l’aide par exemple de la question 15, donner un majorant de la valeur absolue de la diff\'erence $|f(x_0, y_0) - f(0, 0)|$ au moyen de la constante $C$, du rayon $r$ et de $d$.\\ En d\'eduire que la fonction $f$ est constante. 18. D\'emontrer que la restriction $\varphi_I$ de la fonction $\varphi$ \`a l’intervalle ouvert $I = ]-1, 1[$ est ind\'efiniment d\'erivable et que, pour tout entier $n$, il existe un polyn\^ome $P_n$ tel que la d\'eriv\'ee $\varphi_I^{(n)}$ de $\varphi_I$ d’ordre $n$ s’\'ecrive sous la forme suivante : \[ \varphi_I^{(n)}(t) = \frac{P_n(t)}{(t^2 - 1)^{2n}} \exp\left(\frac{1}{t^2 - 1}\right). \] 19. En d\'eduire que la fonction $\varphi$ est ind\'efiniment d\'erivable sur la droite r\'eelle $\mathbb{R}$. Justifier, sans calcul, l’existence d’un majorant $M$ de la valeur absolue de la d\'eriv\'ee premi\`ere $\varphi'$ sur la droite r\'eelle : \[ M = \sup_{t \in \mathbb{R}} \left| \varphi'(t) \right|. \] 20. D\'emontrer que, si la valeur absolue du r\'eel $\lambda$ est strictement major\'ee par $1/M$, ($|\lambda| < 1/M$), la fonction $\psi_\lambda$ est une bijection de la droite r\'eelle $\mathbb{R}$ sur elle-m\^eme et un diff\'eomorphisme de classe $C^\infty$ de $\mathbb{R}$.\\ Quelle est, dans ces conditions ($|\lambda| < 1/M$), l’image du segment $I = [-1, 1]$ par l’application $x \mapsto \psi_\lambda(x)$ ? Que dire de la restriction de l’application $x \mapsto \psi_\lambda(x)$ aux demi-droites ferm\'ees $]-\infty, -1]$ et $[1, +\infty[$ ?} 21. Quelle est l’image par cette application $\theta^P_{\lambda, r}$ du point $P$ ? du cercle $C^P_r$ de centre le point $P$ et de rayon \'egal \`a $r$ ? de l’ouvert $\Omega^P_r$ des points du plan situ\'e \`a une distance du point $P$ strictement sup\'erieure \`a $r$ ? 22. D\'emontrer qu’il existe un r\'eel $m$ strictement positif tel que, si le r\'eel $\lambda$ a une valeur absolue strictement inf\'erieure \`a $m$ ($|\lambda| < m$), l’application $\theta^P_{\lambda, r}$ est une bijection du plan $\mathbb{R}^2$ sur lui-m\^eme et un diff\'eomorphisme de classe $C^\infty$ de $\mathbb{R}^2$. 23. D\'emontrer, dans ce cas, que, si les points $B$ et $B'$ sont suffisamment proches, il existe une application $\theta^P_{\lambda, r}$ transformant $B$ en $B'$ et laissant les $A_i$, $1 \leq i \leq n$ invariants. 24. D\'emontrer, toujours dans ce cas, que, quelle que soit la position des points $B$ et $B'$, il existe une suite finie de bijections $\theta^{P_i}_{\lambda, r}$, $0 \leq i \leq k$, telle que la compos\'ee $F$ de ces applications transforme $B$ en $B'$ et ait la propri\'et\'e $A$ : \[ F = \theta^{P_k}_{\lambda, r} \circ \theta^{P_{k-1}}_{\lambda, r} \circ \cdots \circ \theta^{P_0}_{\lambda, r}. \] 25. Indiquer comment modifier l’application $\theta^P_{\lambda, r}$ en $\eta^P_{\lambda, r}$ pour construire un endomorphisme $G$ transformant $B$ en $B'$ et ayant la propri\'et\'e $A$.} 26. Etablir l’existence d’un diff\'eomorphisme $H$ transformant $B$ en $B'$ et ayant la propri\'et\'e $A$. 27. Soient deux suites de points, deux à deux distincts, $A_1, A_2, \ldots, A_n$ et $A'_1, A'_2, \ldots, A'_n$ du plan $\mathbb{R}^2$. D\'emontrer qu’il existe un diff\'eomorphisme $K$ de classe $C^\infty$ du plan $\mathbb{R}^2$, tel que chaque point $A_i$ ait pour image le point $A'_i$.}FAQ
Une fonction harmonique, c’est une fonction deux fois continûment dérivable qui vérifie l’équation de Laplace, c’est-à-dire que la somme de ses dérivées secondes partielles par rapport à chaque variable est nulle. Autrement dit, Δf = 0, où Δ désigne le laplacien. Les fonctions harmoniques apparaissent dans de nombreux sujets de concours, notamment en potentiel, équations aux dérivées partielles, physique mathématique et sont essentielles en analyse complexe. Savoir identifier et manipuler ce type de fonction, c’est la base pour aborder efficacement les épreuves comme celle du concours Mines-Ponts.
La convergence uniforme d’une série de fonctions {u_n} sur un compact K du plan, c’est le fait qu’on puisse rendre la somme arbitrairement proche de la limite, uniformément pour tous les points du compact. Il existe plusieurs outils pour ça, dont le critère de Weierstrass (série majeure), ou encore la majoration directe des termes via le théorème d’estimation. C’est une notion clé en analyse, car la convergence uniforme assure la continuité et permet de dériver ou d’intégrer terme à terme. Ce genre de question revient systématiquement en sujet de concours et permet de montrer la maîtrise du passage à la limite entre suites de fonctions.
Lorsque tu travailles avec des fonctions qui ne dépendent que de la distance à l’origine, comme h(x, y) = u(r) avec r = √(x² + y²), il est souvent plus pertinent de passer en coordonnées polaires pour calculer le laplacien. Celui-ci s’exprime alors différemment et permet de simplifier les calculs et les équations différentielles. C’est particulièrement utile dans les problèmes de potentiel, en équations aux dérivées partielles ou encore en analyse classique. Cette technique est essentielle pour résoudre efficacement des questions sur les fonctions à symétrie circulaire ou radiale, fréquemment posées aux concours.
En analyse complexe, les puissances de (x + iy) correspondent à des fonctions analytiques. Or toute fonction analytique dans le plan admet ses parties réelle et imaginaire comme harmoniques. Cela provient des conditions de Cauchy-Riemann et de la structure même du laplacien en dimension 2. Cette propriété est très souvent mise en avant dans les sujets du concours Mines-Ponts, car elle relie les outils de l’analyse complexe (dérivabilité complexe) à ceux de l’analyse réelle et aux équations différentielles du second ordre.
En analyse, le principe du maximum pour les fonctions harmoniques stipule qu’une fonction harmonique sur un domaine borné atteint son maximum et son minimum sur la frontière, pas à l’intérieur (sauf si elle est constante). Ce principe découle de la propriété fondamentale des fonctions harmoniques et permet de déduire des propriétés d’unicité ou d’extension des solutions. Ce type de résultat, central lors des concours, t’aide à comprendre l’importance des conditions aux bords et du comportement global des solutions aux équations de Laplace.
L’intégrale double sur un disque fait apparaître la formule d’intégration moyenne des fonctions harmoniques, qui affirme que la valeur de la fonction au centre du disque est égale à la moyenne sur le disque, pondérée par l’aire. Cette propriété est puissante pour caractériser les fonctions harmoniques et résout de nombreux problèmes classiques d’analyse ou de physique. Elle permet souvent de majorer, de comparer ou de calculer simplement certaines valeurs, et c’est un outil essentiel pour aborder le potentiel ou les questions d’unicité.
Les difféomorphismes, ce sont des applications bijectives, continûment dérivables à dérivée continue réciproque. Ils jouent un rôle fondamental quand il s’agit de transformer le plan tout en préservant la structure géométrique et analytique. Dans les sujets de Mines-Ponts, ils sont souvent utilisés pour construire des transformations qui envoient des points particuliers sur d’autres ou qui préservent certaines propriétés (invariants). Savoir manier ces outils, c’est démontrer une compréhension fine de l’analyse, de la géométrie différentielle et des applications concrètes (changements de variables, modélisations).
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