Questions du sujet
1. Montrer que, pour tout $x \in ]-1, 1[$, $$ \frac{1}{\sqrt{1 – x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \frac{1}{4^k} x^k. $$ 2. Pour tout $p \in \mathbb{N}$, déterminer : $$ \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 – x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{(p+1)k}. $$ 3. Pour tout $p \in \mathbb{N}$, justifier la convergence de l’intégrale $$ \int_0^{+\infty} e^{-(p+1) t} \frac{dt}{\sqrt{t}} $$ et calculer sa valeur. En déduire l’égalité : $$ \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 – x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{(p+1)k} = \int_0^{+\infty} e^{-(p+1) t} \frac{dt}{\sqrt{t}}. $$ On admettra que $\int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \sqrt{\pi}$. 4. Montrer que, pour toute application polynomiale réelle $Q$, on a : $$ \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 – x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k Q(x^k) = \int_0^{+\infty} e^{-t} Q(e^{-t}) \frac{dt}{\sqrt{t}}. $$ 5. Justifier la convergence de l’intégrale $$ \int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{1}{\sqrt{t}} h(e^{-t}) dt $$ et donner sa valeur.} 6. Soit $x \in [0, 1[$. Justifier la convergence de la série de terme général $a_k x^k h(x^k)$. 7. On admet l’égalité (dite de Karamata) : $$ \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 – x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k h(x^k) = \int_0^{+\infty} e^{-t} h(e^{-t}) \frac{dt}{\sqrt{t}}. $$ En utilisant ce résultat pour $x = e^{-\frac{1}{n}}$, en déduire que $$ \sum_{k=0}^n a_k \sim_{n \to \infty} 2\sqrt{n}. $$ 8. Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ décroissante de réels positifs et, pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n = \sum_{k=0}^n a_k$. On fait l’hypothèse que $S_n \sim_{n\to\infty} 2 \sqrt{n}$. On va montrer qu’alors $a_n \sim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$. On notera $[x]$ la partie entière d’un réel $x$. 9. Soit $\alpha, \beta$ un couple de nombres réels vérifiant : $0 < \alpha < 1 < \beta$. Pour tout entier naturel $n$ tel que $n - [\alpha n]$ et $n - [\beta n]$ soient non nuls, justifier l’encadrement : $$ \frac{S_{[\beta n]} - S_n}{[\beta n] - n} \leq a_n \leq \frac{S_n - S_{[\alpha n]}}{n - [\alpha n]}. $$ 10. Soit $\gamma$ un réel strictement positif. Déterminer les limites des suites de termes généraux $$ \frac{n}{[\gamma n]} \quad\text{et}\quad \frac{S_{[\gamma n]}}{\sqrt{n}}. $$} 11. Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ assez grand, on a : $$ 2(\sqrt{\beta} - 1)/(\beta - 1) - \varepsilon \leq \sqrt{n} a_n \leq 2(1 - \sqrt{\alpha})/(1 - \alpha) + \varepsilon. $$ 12. En déduire que $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} a_n = 1$. 13. On considère $\Omega = \mathbb{Z}^{\mathbb{N}^*}$ l’ensemble des suites indexées par $\mathbb{N}^*$ à valeurs dans $\mathbb{Z}$. On admet que l’on peut construire une tribu $\mathcal{B}$ et une mesure de probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega$, de sorte que les $X_i$ soient des variables aléatoires indépendantes et de même loi donnée par $$ \mathbb{P}(X_1 = 1) = \mathbb{P}(X_1 = -1) = \frac{1}{2}. $$ On définit la suite de variables aléatoires $(S_n, n \geq 0)$ par $S_0 = 0$, $S_n(\omega) = \sum_{i=1}^n X_i(\omega)$. On définit enfin la variable aléatoire $T$ par : $$ T : \Omega \rightarrow \mathbb{N}^* = \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\},\quad \omega \mapsto \begin{cases} +\infty &\text{si}\ S_n(\omega) \neq 0,\ \forall n \geq 1,\\ \inf\{ n \geq 1\mid S_n(\omega) = 0 \} &\text{ s’il existe $n \geq 1$ tel que $S_n(\omega) = 0$}. \end{cases} $$ Pour tout entier naturel $n$, on note $E_n = \{T > n\}$, pour $n \geq 1$, $A^n_n = \{S_n = 0\}$ et pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$, $$ A^n_k = \{ S_k = 0 \} \cap \bigcap_{i = k + 1}^n \{ S_i \neq 0 \}. $$ Montrer pour tout $1 \leq k < n$, pour tout $(i_1, \dots, i_{n-k}) \in \{-1, 1\}^{n-k}$, $$ \mathbb{P}\left( X_{k+1} = i_1, \dots, X_n = i_{n-k} \right) = \mathbb{P}\left( X_1 = i_1, \dots, X_{n-k} = i_{n-k} \right). $$ 14. Montrer pour tout $1 \leq k < n$, pour tout $(j_1, \dots, j_{n-k}) \in \mathbb{Z}^{n-k}$ que $$ \mathbb{P}\left( S_{k+1} - S_k = j_1, \dots, S_n - S_k = j_{n-k} \right) = \mathbb{P}\left( S_1 = j_1, \dots, S_{n-k} = j_{n-k} \right). $$ Indication : on pourra considérer l’application $$ \theta : \mathbb{Z}^{n-k} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-k},\quad (z_1, \dots, z_{n-k}) \mapsto (z_1, z_1 + z_2, \dots, \sum_{j=1}^{n-k} z_j). $$ 15. En déduire que pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ $$ \mathbb{P}(A^n_k) = \mathbb{P}(S_k = 0) \mathbb{P}(E_{n-k}). $$} 16. Montrer l’égalité : $$ 1 = \sum_{k=0}^n \mathbb{P}(S_k = 0)\mathbb{P}(E_{n-k}). $$ 17. Pour tout réel $x$ de $]0,1[$, établir l’égalité : $$ \frac{1}{1-x} = \left[\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(S_n = 0)x^n\right] \left[\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(E_n)x^n\right]. $$ 18. Pour tout entier naturel $n$, calculer $\mathbb{P}(S_n = 0)$.\\ Indication : on discutera suivant la parité de $n$. 19. En déduire que, pour tout $x \in ]0, 1[$, on a : $$ \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(E_n)x^n = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}. $$ 20. À l’aide des résultats obtenus dans les parties précédentes déterminer, quand l’entier naturel $n$ tend vers l’infini, un équivalent de $\mathbb{P}(E_n)$.} 21. Montrer que l’on a : $\mathbb{P}(T = +\infty) = 0$. 22. Pour tout réel $x \in [0,1]$, prouver l’égalité : $$ \frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(T = n)x^n. $$ 23. En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$ \mathbb{P}(T = 2n) = \frac{1}{2n - 1} \binom{2n}{n} \frac{1}{4^n}. $$ }FAQ
Pour démontrer ce développement, on utilise la formule du binôme généralisé. On écrit \( \frac{1}{\sqrt{1 – x}} = (1 – x)^{-1/2} \), puis on applique la série binomiale pour \( \alpha = -1/2 \). Les coefficients \( \binom{-1/2}{k} \) se simplifient en \( \binom{2k}{k} \frac{1}{4^k} \), ce qui donne la série demandée. Tu peux retrouver cette démonstration détaillée dans le corrigé de l’épreuve, accessible en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !
Cette limite est liée à l’intégrale \( \int_0^{+\infty} e^{-(p+1) t} \frac{dt}{\sqrt{t}} \). Pour la calculer, on utilise un changement de variable et le fait que \( \int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \sqrt{\pi} \). Le résultat final est \( \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{p+1}} \). Pour une explication complète, consulte le corrigé détaillé sur Prépa Booster !
Cette intégrale converge car l’intégrande \( e^{-(p+1) t} \frac{1}{\sqrt{t}} \) est intégrable en \( 0^+ \) (comportement en \( t^{-1/2} \)) et en \( +\infty \) (décroissance exponentielle). On peut la calculer en effectuant le changement de variable \( u = (p+1)t \), ce qui ramène l’intégrale à une forme connue. Pour plus de détails, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
On utilise la linéarité de la limite et le fait que \( Q \) est une combinaison linéaire de monômes. Chaque terme \( x^k Q(x^k) \) peut être traité séparément en utilisant les résultats précédents. La limite se ramène alors à une intégrale faisant intervenir \( Q(e^{-t}) \). Pour une démonstration complète, consulte le corrigé sur Prépa Booster !
On utilise l’égalité de Karamata avec \( x = e^{-1/n} \) et on fait tendre \( n \) vers l’infini. Le terme \( \sqrt{1 – x} \) se comporte comme \( \frac{1}{\sqrt{n}} \), et la somme \( \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k h(x^k) \) est approchée par une intégrale. En combinant ces éléments, on obtient l’équivalent \( 2\sqrt{n} \). Pour une explication détaillée, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
On utilise la décroissance de la suite \( (a_n) \) et on encadre \( a_n \) en fonction des sommes partielles \( S_n \). En choisissant \( \alpha \) et \( \beta \) convenablement, on obtient un encadrement qui permet de montrer que \( a_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \). Pour une démonstration complète, consulte le corrigé sur Prépa Booster !
Pour une marche aléatoire symétrique, \( \mathbb{P}(S_n = 0) \) est non nul seulement si \( n \) est pair. Dans ce cas, on utilise la formule \( \mathbb{P}(S_{2n} = 0) = \binom{2n}{n} \frac{1}{2^{2n}} \). Ce résultat est crucial pour la suite du problème. Pour une explication détaillée, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
On utilise la relation \( \frac{1}{1 – x} = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(S_n = 0)x^n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(E_n)x^n \right) \) et le fait que \( \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(S_n = 0)x^n = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \). En combinant ces résultats, on obtient l’expression demandée. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé sur Prépa Booster !
On utilise le développement asymptotique de \( \sqrt{\frac{1 + x}{1 – x}} \) au voisinage de \( x = 1 \). En utilisant un équivalent de \( \mathbb{P}(E_n) \) lié à \( \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \), on obtient le comportement asymptotique recherché. Pour une explication détaillée, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
On utilise le fait que \( \mathbb{P}(E_n) \) décroît comme \( \frac{1}{\sqrt{n}} \), ce qui implique que la série \( \sum \mathbb{P}(E_n) \) diverge. Par le lemme de Borel-Cantelli, cela montre que l’événement \( \{T = +\infty\} \) a une probabilité nulle. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé sur Prépa Booster !