Questions du sujet
1. Trouver le réel $c$ tel que la suite $\frac{c}{\lambda^n n!}, n \geq 0$, appartienne à $P$. 2. Soit $p$ et $q$ deux réels de $[0, 1]$. Calculer $$\mathrm{dist}((1-p, p, 0, \cdots), (1-q, q, 0, \cdots)).$$ 3. Soit $f \in F$ et $P \in P$, montrer que la série de terme général $(f(n) p_n, n \geq 0)$ est convergente. 4. Soit $f \in F$, montrer que la série de terme général $(n f(n) p^{(\lambda)}_n, n \geq 0)$ est convergente. 5. Pour tout $f \in F$, établir l’identité suivante : $$ \lambda \sum_{n=0}^{\infty} f(n+1) p^{(\lambda)}_n = \sum_{n=0}^{\infty} n f(n) p^{(\lambda)}_n. $$} 6. En choisissant convenablement des éléments de $F$, montrer que $Q = P^{(\lambda)}$. 7. Montrer que $\mathcal{S}_h$ possède une infinité d’éléments et que pour tout $f \in \mathcal{S}_h$, pour tout entier $n \geq 1$, $$ f(n) = \frac{(n-1)!}{\lambda^n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\widetilde{h}(k)}{\frac{k!}{\lambda^k}}. $$ 8. Pour $f \in \mathcal{S}_h$, pour tout entier $n \geq 1$, établir l’identité suivante : $$ f(n) = – \frac{(n-1)!}{\lambda^n} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{\widetilde{h}(k)}{\frac{k!}{\lambda^k}}. $$ 9. En déduire que toute fonction $f \in \mathcal{S}_h$ est bornée. 10. Établir pour $1 \leq n \leq m$, l’identité suivante : $$ f_m(n) = – \frac{(n-1)!}{\lambda^n} p^{(\lambda)}_m \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\lambda^k}{k!}. $$ } 11. Établir une identité analogue pour $n > m \geq 0$ et en déduire le signe de $f_m(n)$ pour tout $n \geq 1$. 12. Montrer que la fonction $f_m$ est négative sur $\mathbb{N} \setminus \{0, m\}$. 13. Établir les identités suivantes : $$ f_0(0) = \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda}, \quad f_m(m) = e^{-\lambda} \left[\sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} + \sum_{k=1}^m \frac{k}{m} \frac{\lambda^k}{k!} \right] \text{ pour } m > 0. $$ 14. En déduire que $$ \sup_{n \geq 1} f_m(n) \leq \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda}. $$ 15. Montrer que $\mathcal{S}_h = \mathcal{S}_{h^+}$ où $h^+(n) = h(n) – \inf_{k \in \mathbb{N}} h(k)$.} 16. Montrer que la série $$ \sum_{m=0}^{\infty} h^+(m) f_m(n) $$ est convergente pour tout entier $n \geq 1$. 17. Montrer que la fonction $f$ définie, pour tout $n \geq 1$, par $$ f(n) = \sum_{m=0}^{\infty} h^+(m) f_m(n) $$ appartient à $\mathcal{S}_h$. 18. En déduire que pour tout entier $n \geq 1$, $$ f(n+1) – f(n) \leq \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda} \left( \sup_{k \in \mathbb{N}} h(k) – \inf_{k \in \mathbb{N}} h(k) \right). $$ 19. Pour tout $k \in \{1, \cdots, n\}$, pour tout $f \in F$, montrer que $$ X_k f(S) = X_k f(W_k + 1) \text{ et que } \mathbb{E}(f(W_k) X_k) = r_k \mathbb{E}(f(W_k)). $$ 20. Soit $h \in F$ et $f \in \mathcal{S}_h$, établir l’identité suivante. $$ \mathbb{E}\left( \lambda f(S+1) – S f(S) \right) = \sum_{k=1}^n r_k \mathbb{E}\left[ X_k (f(W_k+2) – f(W_k+1)) \right]. $$ } 21. Établir que $$\mathrm{dist}(\mathrm{loi}(S), P^{(\lambda)}) = \sup_{A \subset \mathbb{N}} \left| \mathbb{E} \left(\lambda f_A(S+1) – S f_A(S)\right) \right| ,$$ où $f_A$ est un élément de $\mathcal{S}_{\mathbbm{1}_{A}}$. 22. En déduire que $$\mathrm{dist}(\mathrm{loi}(S), P^{(\lambda)}) \leq \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda} \sum_{k=1}^n r_k^2.$$}FAQ
“`htmlL’épreuve de mathématiques du concours Mines-Ponts en filière PSI est composée de problèmes variés, souvent axés sur l’analyse, l’algèbre et les probabilités. Les sujets mettent l’accent sur la rigueur, la créativité et la maîtrise des concepts fondamentaux. Pour te préparer efficacement, entraîne-toi sur des annales comme celle de 2015, et n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à des exercices corrigés et à un dashboard personnalisé.
Pour cette question, il faut déterminer le réel $c$ tel que la suite $\frac{c}{\lambda^n n!}$ appartienne à un ensemble $P$ donné. Cela implique généralement de vérifier des conditions de convergence ou d’appartenance à un espace fonctionnel. Si tu bloques, débloque les corrigés sur Prépa Booster pour voir la solution détaillée et comprendre la démarche.
La distance entre deux lois de probabilité, comme celle calculée dans la question 2, mesure l’écart entre deux distributions. Dans ce cas, il s’agit de la distance entre les vecteurs $(1-p, p, 0, \cdots)$ et $(1-q, q, 0, \cdots)$. Cela peut être lié à la distance en variation totale ou à d’autres métriques probabilistes. Pour approfondir, consulte les corrigés et les ressources sur Prépa Booster.
Pour montrer la convergence d’une série comme dans les questions 3 et 4, tu dois utiliser des critères de convergence adaptés (comparaison, d’Alembert, Cauchy, etc.). Par exemple, pour la série de terme général $(f(n) p_n)$, il faut analyser le comportement asymptotique de $f(n)$ et $p_n$. Si tu as des difficultés, les corrigés détaillés sur Prépa Booster t’aideront à maîtriser ces techniques.
Les identités comme celle de la question 5 sont cruciales car elles établissent des relations entre des sommes infinies et des fonctions. Elles sont souvent utilisées pour simplifier des expressions ou pour résoudre des équations fonctionnelles. Dans ce cas, l’identité relie $\lambda \sum_{n=0}^{\infty} f(n+1) p^{(\lambda)}_n$ et $\sum_{n=0}^{\infty} n f(n) p^{(\lambda)}_n$. Pour comprendre leur utilité, explore les corrigés et les exercices sur Prépa Booster.
La question 6 demande de montrer que $Q = P^{(\lambda)}$ en choisissant convenablement des éléments de $F$. Cela signifie que tu dois trouver des fonctions spécifiques dans $F$ qui permettent de prouver cette égalité. Cela peut impliquer des manipulations algébriques ou des propriétés des fonctions génératrices. Pour voir comment procéder, débloque les corrigés sur Prépa Booster.
L’ensemble $\mathcal{S}_h$ est un espace de fonctions qui vérifient certaines propriétés, comme celles décrites dans la question 7. Il est souvent lié à des solutions d’équations fonctionnelles ou à des conditions de régularité. La question montre que $\mathcal{S}_h$ a une infinité d’éléments et donne une formule explicite pour $f(n)$. Pour approfondir, consulte les ressources et les corrigés sur Prépa Booster.
Pour les questions sur les séries et les sommes infinies, comme dans les questions 8 et 9, il faut souvent utiliser des techniques de sommation, des changements d’indice ou des propriétés de convergence. Par exemple, la question 8 établit une identité pour $f(n)$ en utilisant une somme infinie. Si tu veux maîtriser ces techniques, entraîne-toi avec les corrigés et les exercices sur Prépa Booster.
Les questions 10 à 14 explorent les propriétés des fonctions $f_m$, comme leur expression, leur signe et leur borne supérieure. Ces questions sont importantes pour comprendre le comportement des solutions d’équations fonctionnelles et pour établir des inégalités. Par exemple, la question 14 montre que $\sup_{n \geq 1} f_m(n) \leq \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda}$. Pour voir comment ces résultats sont obtenus, consulte les corrigés sur Prépa Booster.
Les questions 15 à 18 traitent des fonctions $h^+$ et des séries associées, comme $\sum_{m=0}^{\infty} h^+(m) f_m(n)$. Elles montrent comment construire des solutions à partir de fonctions positives et établissent des inégalités importantes. Par exemple, la question 18 donne une borne pour $f(n+1) – f(n)$. Pour comprendre ces constructions, débloque les corrigés et les exercices sur Prépa Booster.
Les questions 19 à 22 introduisent des concepts probabilistes comme les espérances conditionnelles et les variables aléatoires. Par exemple, la question 20 établit une identité pour $\mathbb{E}(\lambda f(S+1) – S f(S))$. Ces questions sont cruciales pour comprendre les liens entre les fonctions et les lois de probabilité. Pour approfondir, consulte les corrigés et les ressources sur Prépa Booster.
Pour te préparer efficacement, travaille régulièrement sur des annales comme celle de 2015, et entraîne-toi sur des exercices variés. Utilise des ressources comme Prépa Booster pour accéder à des corrigés détaillés, des exercices corrigés et un dashboard personnalisé. Cela te permettra de maîtriser les concepts clés et d’aborder l’épreuve avec confiance.