Questions du sujet
1. Soient $A$ et $B \in \mathcal{M}_n$, montrer que $\mathrm{tr} (AB) = \mathrm{tr} (BA)$.
2. Soit $T$ un endomorphisme de $X$, montrer que la trace de la matrice $T_B$ associée à $T$ est indépendante de la base $B$.
3. Soit $P$ un projecteur de $X$, démontrer que $X = N(P) \oplus R(P)$.
4. En déduire que $\operatorname{rg} P = \operatorname{tr} P$.
5. Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces $F$ et $G$ de $X$ est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions.}
6. Soit $S$ un endomorphisme de $X$. Montrer que si $S$ est une somme finie de projecteurs $P_i, \ i = 1, \ldots, m$, alors $\mathrm{tr} S \in \mathbb{N}$ et $\mathrm{tr} S \geq \operatorname{rg} S$.
7. Montrer que $T$, supposé symétrique, est positif si et seulement si $\sigma (T) \subset \mathbb{R}_+$.
8. Montrer qu’un projecteur $P$ est un projecteur orthogonal si et seulement s’il vérifie $\langle x – Px, y \rangle = 0, \ \forall x \in X, \ \forall y \in R(P)$.
9. Montrer qu’un projecteur est un projecteur orthogonal si et seulement s’il est symétrique ; montrer également qu’un projecteur orthogonal est positif.
10. Montrer que $Y = R(T)$, $Z = N(T)$, ainsi que $\operatorname{rg} T = r$.}
11. Pour $i = 1, \ldots, n$, on note $Q_i$ l’endomorphisme de $X$ défini par $Q_i(e_j) = \delta_{ij} e_i, \ j = 1, \ldots, n$. Montrer que $Q_i$ est un projecteur orthogonal de rang 1.
12. On se place dans le cas particulier où $\mathrm{tr} T > \operatorname{rg} T$. Montrer qu’on peut choisir $i$ tel que $T – Q_i$ soit symétrique positif et vérifie $\operatorname{rg}(T – Q_i) = \operatorname{rg} T$. Quelle est la valeur de $\mathrm{tr} (T – Q_i)$ ?
13. On se place maintenant dans le cas général où $\mathrm{tr} T \geq \operatorname{rg} T$. Déduire de la question 12 qu’il existe $S$ symétrique positif tel que $Y$ soit stable par $S$, $\mathrm{tr} S = \operatorname{rg} S = \operatorname{rg} T$ et que $T – S$ soit la somme de $k = \mathrm{tr} T – r$ projecteurs orthogonaux de rang 1. On note $\mu_i, \ i = 1, \ldots, r$ les valeurs propres strictement positives de $S$.
14. Montrer que $S|_Y$ est inversible. On pose $U = S|_Y$ et pour $x$ et $y \in Y$, $\xi(x, y) = \langle U^{-1} x, y \rangle$. On note $\epsilon_i, \ i = 1, \ldots, r$ une base de vecteurs propres de $U$ associés aux valeurs propres $\mu_i$.
15. Démontrer que $\xi$ constitue un produit scalaire sur $Y$.}
16. Déterminer $w \in Y$, tel que $\|w\| = 1$ et $\xi(w, w) = 1$. On pourra, si nécessaire, chercher $w$ dans le sous-espace de dimension 2 engendré par deux vecteurs propres $\epsilon_i$ et $\epsilon_j$ bien choisis.
17. Montrer que $P$ est un projecteur orthogonal de rang 1 sur $X$ si et seulement s’il existe un vecteur $z$ unitaire dans $X$, tel que pour tout $x \in X$, $P(x) = \langle x, z \rangle z$.
18. On considère maintenant un $w$ tel que défini à la question 16 et l’endomorphisme $P_w$ défini sur $X$ par la formule suivante : $P_w(x) = \langle x, w \rangle w$. Démontrer que $S – P_w$ est symétrique et positif.
19. Démontrer que $N(S – P_w) = N(S) \oplus \operatorname{Vect}(U^{-1}w)$, où $\operatorname{Vect}(U^{-1} w)$ note l’ensemble des vecteurs colinéaires à $U^{-1}w$. En déduire que $\operatorname{rg}(S – P_w ) = \operatorname{rg}(S) – 1$.
20. Déduire des questions 17, 18 et 19 que $S$ est la somme d’un nombre fini de projecteurs orthogonaux de rang 1.
21. En déduire qu’un endomorphisme symétrique positif $T$ est une somme finie de projecteurs orthogonaux si et seulement si $\mathrm{tr} T \in \mathbb{N}$ et $\mathrm{tr} T \geq \operatorname{rg} T$.}
FAQ
C’est une propriété fondamentale de la trace ! En effet, si tu écris explicitement les coefficients des matrices A et B, tu verras que les termes diagonaux de AB et BA sont les mêmes, mais dans un ordre différent. La trace, qui est la somme des coefficients diagonaux, est donc identique pour les deux produits. C’est un résultat très utile en algèbre linéaire, notamment pour les calculs de formes bilinéaires ou en mécanique quantique.
Pour le démontrer, tu peux utiliser la propriété précédente sur la trace de AB et BA. Si tu changes de base, la matrice de l’endomorphisme T dans la nouvelle base s’écrit comme P⁻¹TP, où P est la matrice de passage. En utilisant la propriété de la trace, tu as tr(P⁻¹TP) = tr(TP⁻¹P) = tr(T). C’est une propriété essentielle qui montre que la trace est un invariant, très utile pour caractériser les endomorphismes.
C’est une conséquence directe de la définition d’un projecteur ! Un projecteur P vérifie P² = P, ce qui implique que tout vecteur x peut s’écrire comme x = Px + (x – Px). Or, Px ∈ Im(P) et (x – Px) ∈ Ker(P) car P(x – Px) = Px – P²x = 0. La somme est directe car si un vecteur est dans Ker(P) ∩ Im(P), alors Px = 0 et x = Py, donc x = P²y = Px = 0. C’est une décomposition fondamentale en algèbre linéaire !
Grâce à la décomposition X = Ker(P) ⊕ Im(P), tu peux choisir une base adaptée où les premiers vecteurs forment une base de Ker(P) et les suivants une base de Im(P). Dans cette base, la matrice de P est diagonale avec des 1 sur la partie Im(P) et des 0 sur Ker(P). La trace est donc égale au nombre de 1, c’est-à-dire la dimension de Im(P), qui est le rang de P. C’est un résultat très pratique pour calculer le rang d’un projecteur !
C’est une conséquence de la formule de Grassmann ! Si F et G sont deux sous-espaces, alors dim(F + G) = dim(F) + dim(G) – dim(F ∩ G). Comme dim(F ∩ G) ≥ 0, on en déduit que dim(F + G) ≤ dim(F) + dim(G). C’est un résultat fondamental en algèbre linéaire, très utile pour étudier les sommes de sous-espaces ou les applications linéaires.
Si S est une somme de projecteurs Pᵢ, alors tr(S) = Σ tr(Pᵢ) = Σ rg(Pᵢ), car la trace d’un projecteur est égale à son rang. Comme rg(Pᵢ) ∈ ℕ, tr(S) ∈ ℕ. De plus, rg(S) ≤ Σ rg(Pᵢ) car le rang est sous-additif. Donc tr(S) ≥ rg(S). C’est un résultat important pour l’étude des endomorphismes symétriques positifs, notamment en analyse spectrale.
Un endomorphisme symétrique T est positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. En effet, T est diagonalisable dans une base orthonormée, et ses valeurs propres sont les coefficients diagonaux. La positivité de T se traduit alors par la positivité de la forme quadratique associée, qui est équivalente à la positivité des valeurs propres. C’est un critère très pratique pour vérifier la positivité d’un endomorphisme !
Un projecteur P est orthogonal si et seulement si P = P*, c’est-à-dire s’il est symétrique. En effet, si P est orthogonal, alors P est l’adjoint de P, donc P est symétrique. Réciproquement, si P est symétrique, alors pour tout x, y, on a ⟨Px, y⟩ = ⟨x, Py⟩, ce qui implique que P est orthogonal. C’est une caractérisation très utile pour étudier les projecteurs en géométrie euclidienne !
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Les projecteurs orthogonaux sont des outils fondamentaux en algèbre linéaire. Ils vérifient P² = P et P* = P, ce qui implique qu’ils sont symétriques. De plus, ils sont positifs car leurs valeurs propres sont 0 ou 1. Ils permettent de décomposer un espace en une somme directe orthogonale, ce qui est très utile pour les problèmes de diagonalisation ou d’optimisation. N’oublie pas que tout projecteur orthogonal est associé à un sous-espace et son orthogonal !
Les endomorphismes symétriques positifs sont omniprésents en mathématiques et en physique. Ils interviennent dans l’étude des formes quadratiques, des matrices de covariance, des opérateurs en mécanique quantique, et bien d’autres domaines. Leur diagonalisation dans une base orthonormée permet de simplifier de nombreux problèmes, et leur positivité est souvent liée à des propriétés de stabilité ou d’optimisation. C’est un sujet incontournable pour les concours !