Mines Maths 1 PSI 2012

Questions du sujet

1. Déterminer dans le quart de plan $x \geq 0, y \leq 0$, une équation polaire de la lemniscate sous la forme $\rho = g(\theta)$ où la fonction $g$ est définie sur l’intervalle $[-\pi/4,0]$. Préciser les symétries permettant de recouvrir l’ensemble de la courbe. 2. Montrer que $g$ constitue une bijection de $[-\pi/4,0]$ sur $[0,1]$. 3. Déterminer les tangentes à la lemniscate en $(0,0)$. 4. Déterminer dans le demi-plan $x \geq 0$, une équation paramétrique de la lemniscate en fonction de $\rho$ et en déduire que l’abscisse curviligne $s$ vérifie l’équation différentielle suivante sur $[0,1]$ : \[ s'(\rho) = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^4}}. \] 5. Montrer que l’intégrale $\int_0^1 \frac{dr}{\sqrt{1-r^4}}$ converge.} 6. Que représente $\sigma$ ? 7. Montrer que la fonction $F$ est continue sur $[-1,1]$ et de classe $C^{\infty}$ sur $]-1,1[$. 8. Dessiner le graphe de $F$ et en préciser le tableau de variations. 9. Montrer que $F$ est développable en série entière sur $]-1,1[$. 10. Donner l’expression des coefficients $a_n$ de cette série.} 11. Montrer que la série de terme général $a_n$ converge (on pourra utiliser la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}$) et a pour somme $\sigma$. 12. Montrer que $F$ admet une fonction réciproque $F^{-1}$, continue et impaire sur $[-\sigma,\sigma]$. 13. Montrer que $F^{-1}$ est de classe $C^1$ sur $]-\sigma,\sigma[$, calculer sa dérivée, en déduire qu’elle est de classe $C^1$ sur $[-\sigma,\sigma]$. 14. Montrer que si on prolonge $F^{-1}$ à $[-\sigma,3\sigma]$ en opérant sur son graphe une symétrie par rapport à la droite $x = 2\sigma$, puis on prolonge $F^{-1}$ à $\R$ tout entier par périodicité, on note $\sl$ la fonction ainsi construite. 15. Montrer que $\sl$ est de classe $C^1$ sur $\R$ et exprimer sa fonction dérivée.} 16. Tracer le graphe de $\sl$ sur $[0,3\sigma]$. 17. Montrer que $\sl$ est de classe $C^2$ et vérifie l’équation différentielle suivante sur $\R$ : \[ \sl”(x) + 2\,\sl^3(x) = 0. \] 18. Montrer que la fonction $H$ définie par \[ H(x)=f’^2(x)+f^4(x) \] est constante sur $\R$. On note encore $H$ cette constante. 19. Montrer que $q$ est de classe $C^1$ sur tout intervalle ouvert $\rbracket{\alpha,\beta}$ où $f’$ ne s’annule pas et calculer alors sa dérivée. En déduire qu’il existe une constante $b \in \mathbb{R}$ telle que \[ f(x)=H^{1/4}\sl(H^{1/4}x+b) \] pour tout $x \in \rbracket{\alpha,\beta}$. 20. En déduire que $f’$ s’annule au moins une fois sur tout intervalle ouvert de longueur supérieure à $2\sigma H^{-1/4}$.} 21. Soit $x_0$ une racine de $f’$, démontrer que $f”'(x_0)\neq 0$ et en déduire l’existence de $u_1$ et $u_2$, $u_1 < x_0 < u_2$, tels que $f'$ ne s'annule pas sur $]u_1,x_0[\cup ]x_0,u_2[$. 22. Démontrer l'existence de $x_1 = \inf\{x > x_0 \mid f'(x) = 0\}$. Montrer que $x_1 > x_0$ et $f'(x_1) = 0$. En déduire la valeur de $x_1-x_0$. 23. De même on pose $x_{-1} = \sup\{x < x_0 \mid f'(x) = 0\}$. Montrer que $f$ vérifie (8) pour tout $x \in ]x_{-1},x_1[$, puis sur $\R$ tout entier. 24. Montrer que pour tout $x$ réel on a \[ \sl^2(x)+\cl^2(x)=1 \] si l'on note $\cl$ la fonction définie par \[ \cl(x) = \frac{\sl'(x)}{1+\sl^2(x)}. \] 25. Montrer que pour tout $x$ réel on a \[ \cl(x) = \sl(\sigma - x) \] } 26. Calculer la fonction dérivée de $\cl$ de la fonction $\cl$ et en déduire que \[ \cl'(x) = -\sl(x)\cl^2(x). \] 27. Montrer que $G$ vérifie l'équation \[ \frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial G}{\partial y} \] en déduire que pour tout $a$ dans $\mathbb{R}$, $G$ est constante le long de la droite d'équation $x+y=a$. 28. Montrer que \[ \sl(x+y) = G(x,y) \] et en déduire une formule d'addition pour la fonction $\sl$, c'est-à-dire une expression de $\sl(x+y)$ ne faisant intervenir que $\sl(x)$, $\sl(y)$, $\cl(x)$ et $\cl(y)$. 29. Démontrer la formule de Fagnano, valable dans un intervalle $[-\alpha, \alpha]$ que l'on précisera : \[ 2\int_0^z \frac{dr}{\sqrt{1 - r^4}} = \int_0^{\frac{2z}{1+z^2}} \frac{dr}{\sqrt{1 - r^4}}. \] }

FAQ

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