Questions du sujet
1. Q1 Soient $f \in P(\mathbb{R})$ et $g \in C_0(\mathbb{R})$. Montrer que l’intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t)dt$ converge pour tout réel $x$. Puis montrer que $f * g$ définit une fonction continue sur $\mathbb{R}$. (On pourra utiliser le théorème de continuité sous le signe $\int$ et on vérifiera avec soin que les conditions de validité sont remplies). Vérifier de plus que \[ \forall x \in \mathbb{R},\quad f * g(x) = g * f(x). \]} 2. Q2 Montrer que $\lim_{x \to +\infty} f * g(x) = 0$. (On considérera une suite réelle quelconque $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tendant vers $+\infty$. On vérifiera avec soin qu’on peut appliquer le théorème de convergence dominée pour étudier $\lim_{n \to +\infty} f * g(x_n)$). Montrer de même que \[ \lim_{x \to -\infty} f * g(x) = 0. \] } 3. Q3 Soient $f$ et $g$ appartenant à $P(\mathbb{R})$. Montrer alors que $f * g$ définit une fonction de $P(\mathbb{R})$. Plus précisément, montrer que $f * g$ définit une fonction continue sur $\mathbb{R}$, bornée, positive et d’intégrale égale à $1$. (On appliquera le théorème de Fubini à la fonction $(x, y) \mapsto f(y)g(x-y)$ et on pourra se contenter de ne vérifier que les conditions 1] et 3]).} 4. Q4 Soit $f$ une fonction de $P(\mathbb{R})$. Prouver que pour tout $u \in C_0(\mathbb{R})$, \[ \|T_f(u)\|_{\infty} \leq \|u\|_{\infty}. \]} 5. Q5 Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $P(\mathbb{R})$. Prouver que pour toute fonction $u$ de $C_0(\mathbb{R})$, \[ T_f T_g(u) = T_g T_f(u) \] où $T_f T_g$ désigne la composée des opérateurs $T_f$ et $T_g$.} 6. Q6 Soient $f_1, f_2, g_1, g_2$ des fonctions de $P(\mathbb{R})$. Prouver que pour tout $u \in C_0(\mathbb{R})$, \[ \|T_{f_1} T_{f_2}(u) – T_{g_1} T_{g_2}(u)\|_{\infty} \leq \|T_{f_1}(u) – T_{g_1}(u)\|_{\infty} + \|T_{f_2}(u) – T_{g_2}(u)\|_{\infty} \] } 7. Q7 Soient $f$ et $g$ des fonctions de $P(\mathbb{R})$. Prouver que si $u \in C_0(\mathbb{R})$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[ \|(T_f)^n(u) – (T_g)^n(u)\|_{\infty} \leq n\|T_f(u) – T_g(u)\|_{\infty}. \] } 8. Q8 Pour tout réel $h > 0$, montrer que $g_h$ est une fonction de $P(\mathbb{R})$, puis calculer les deux intégrales suivantes : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x g_h(x)dx,\quad \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 g_h(x)dx. \] } 9. Q9 Soit $h>0$. Établir les deux égalités suivantes entre opérateurs : \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\quad T_{g_h} = \left( T_{g_{\sqrt{h/n}}} \right)^{n} = T_{(g_{\sqrt{h/n}})^{*n}}. \] } 10. Q10 Soit $h$ strictement positif fixé et $k \in \mathbb{N}$. Démontrer qu’il existe un polynôme $P_{k,h}$ dont on précisera le degré tel que : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ \frac{d^k}{dx^k} g_h(x) = P_{k,h}(x) e^{-\frac{x^2}{2h^2}}. \] } 11. Q11 Soient $h, a \in \mathbb{R}_{+}^*$ et $k$ un entier positif ou nul. Prouver qu’il existe une fonction $\varphi_k : \mathbb{R} \to [0, +\infty[$ continue par morceaux et intégrable sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \forall x \in [-a,a],\ \forall t \in \mathbb{R},\ |P_{k,h}(x-t) e^{-\frac{(x-t)^2}{2h^2}}| \leq \varphi_k(t). \] La fonction $\varphi_k$ ne dépend que de $h, a$ et $k$. (On pourra majorer $|P_{k,h}(x-t) e^{- \frac{(x-t)^2}{4h^2}}|$ indépendamment de $(x-t)$. Ensuite, on pourra majorer convenablement $e^{-\frac{(x-t)^2}{4h^2}}$ pour $|t|\geq2a$ et $x\in[-a,a]$). } 12. Q12 Soient $h$ strictement positif fixé et $u \in C_0(\mathbb{R})$. Démontrer que $T_{g_h}(u)$ est une fonction de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. Puis montrer que $T_{g_h}(u)$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.} 13. Q13 Pour $h$ strictement positif fixé et $u \in C_0(\mathbb{R})$, démontrer que $T_{g_h}(u)$ est une fonction de $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$.} 14. Q14 Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Déterminer \[ \lim_{h \to 0^+} \int_{-\infty}^{-\alpha} g_h(t)dt\quad \text{et} \quad \lim_{h \to 0^+} \int_{\alpha}^{+\infty} g_h(t)dt. \] } 15. Q15 Soit $u \in C_0(\mathbb{R})$. Prouver que \[ \lim_{h \to 0^+} \|T_{g_h}(u) – u\|_{\infty} = 0. \] Pour cela on utilisera la question précédente ainsi que le résultat admis suivant, valable pour tout $u\in C_0(\mathbb{R})$ : \[ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \alpha > 0, \forall x, y \in \mathbb{R},\ |x-y|\leq \alpha \Rightarrow |u(x) – u(y)| \leq \varepsilon. \] } 16. Q16 Soit $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $P(\mathbb{R})$ et $f$ une fonction de $P(\mathbb{R})$. On suppose que pour toute fonction $u$ de $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$, \[ \lim_{n \to +\infty} \|T_{f_n}(u) – T_f(u)\|_{\infty} = 0. \] Prouver alors que $(f_n)$ converge faiblement vers $f$. (On pourra utiliser les questions 4 et 15). } 17. Q17 Soit $x \in \mathbb{R}$ et $u \in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$. Vérifier que $t \mapsto \frac{u(x-t) – u(x) + t u'(x)}{t^2}$ se prolonge continûment en $t = 0$. Puis montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on a : \[ n\left[ T_{f_n}(u)(x) – u(x) \right] – \frac{1}{2}u”(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{u(x-t) – u(x) + t u'(x)}{t^2} – \frac{1}{2}u”(x)\right) f_n^\#(t)dt, \] où $u’$ désigne la dérivée première de $u$ et $u”$ désigne la dérivée seconde de $u$. } 18. Q18 Démontrer que pour toute fonction $u$ de $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$, \[ \lim_{n \to +\infty} \left\| n\left(T_{f_n}(u) – u\right) – \frac{1}{2}u” \right\|_{\infty} = 0. \] (On pourra considérer les trois intégrales $\int_{-\infty}^{-\alpha}$, $\int_{-\alpha}^{\alpha}$ et $\int_{\alpha}^{+\infty}$, avec $\alpha > 0$ bien choisi, dans le second membre de la formule de la question précédente). } 19. Q19 Montrer que pour toute fonction $u$ de $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$, \[ \lim_{n\to+\infty} \| T_{f_n}^{n}(u) – T_{g_1}(u)\|_{\infty} = 0, \] où $g_1$ a été définie au début de la partie III. Conclure que la suite $(f_n^{*n})$ converge faiblement vers $g_1$ ; on rappelle que la notation $f^{*n}$ a été définie juste après la question 3. }FAQ
Dans ce sujet, \( P(\mathbb{R}) \) désigne l’ensemble des fonctions dites “probabilités” sur \( \mathbb{R} \), c’est-à-dire toutes les fonctions mesurables, positives, intégrables, et dont l’intégrale sur \( \mathbb{R} \) vaut 1. C’est une classe de fonctions essentielle pour comprendre la convolution, les opérateurs linéaires associés, ou encore l’étude des approximations en analyse. Maîtriser ces notions est stratégique pour réussir ce type de sujet aux écrits du concours Mines-Ponts en PSI.
La convolution permet d’associer deux fonctions (par exemple une “noyau” et une fonction test) pour obtenir une nouvelle fonction avec des propriétés améliorées, type régularité ou comportement asymptotique. En analyse comme en probabilité, c’est fondamental : utilise-la pour lisser une fonction, résoudre certaines équations différentielles ou construire des approximations de l’identité. Aux concours comme le Mines-Ponts PSI, ce genre d’outil revient souvent car il relie l’analyse, l’algèbre, et même parfois la physique mathématique.
Le théorème de convergence dominée (Lebesgue) est l’outil clé dès que tu dois justifier le passage à la limite sous le signe intégrale, ce qui arrive souvent pour des convolutions, des études de régularité ou d’approximation. Il te suffit de trouver une fonction “majorante” bien choisie et tu peux alors échanger sans risque limite et intégrale. Maîtriser son application, c’est gagner du temps sur le corrigé et montrer ta rigueur mathématique à l’examinateur !
Tout simplement parce que ces applications (notamment les convolutions) permettent non seulement de “lisser” des fonctions mais servent également à relier des espaces fonctionnels importants : si tu montres que ton opérateur conserve la continuité, la décroissance à l’infini ou la dérivabilité, tu obtiens des outils puissants pour l’analyse des solutions d’équations ou pour la théorie des distributions. C’est central pour la transition entre le formalisme de la sup/infini et la réalité des approximations pratiques.
Le noyau gaussien (fonction en cloche centrée sur zéro, normalisée pour que son intégrale vaille 1) intervient en théorie des probabilités, mais surtout en analyse car il a une “propagation” idéale sous convolution : il régularise super bien les fonctions, tout en étant très simple à manipuler au niveau calculatoire, même pour de multiples convolutions. C’est le cas type d’un noyau d’approximation de l’identité, et sa maîtrise t’est indispensable pour réussir les sujets type Mines-Ponts PSI. Pour affiner ta compréhension et voir des corrections détaillées étape par étape, n’hésite pas à débloquer les corrigés Prépa Booster !
Il faut tenir compte de la linéarité, de la conservation des normes (surtout la norme infinie !), et des propriétés de commutation ou d’associativité. Argumente en utilisant à chaque étape les théorèmes fondamentaux du cours d’analyse. Un bon réflexe : décomposer les étapes, vérifier chaque hypothèse (convergence, continuité) pour éviter toute confusion… et pense à rédiger proprement : clarté = points assurés !
Oui, totalement ! Ces outils sont omniprésents, de la mécanique quantique à l’ingénierie du signal en passant par la résolution numérique d’équations différentielles. Le fait d’opérer sur des convolutions se retrouve dans la statistique, le traitement d’image, ou même l’apprentissage automatique. Donc, ce que tu travailles ici pour le sujet Mines-Ponts PSI te servira vraiment sur le long terme, même hors des concours !