Questions du sujet
1. Démontrer que toute fonction $f$, qui appartient à l’ensemble $F$, est, sur l’intervalle ouvert $I = ]-1, 1[$, une fonction indéfiniment dérivable, croissante sur le segment $[0, 1]$ et convexe sur l’intervalle semi-ouvert $[0, 1[$. 2. Démontrer que toute fonction $f$, qui appartient à l’ensemble $F$, est continue à gauche en 1. 3. Montrer que les suites $G$, $E_q$ et $V$ sont dans $S$. Déterminer les images $\overline{G} = j(G)$, $\overline{E_q} = j(E_q)$ des suites $G$ et $E_q$ ; calculer la dérivée $\overline{V}’$ de la fonction $\overline{V} = j(V)$ image de la suite $V$ ; puis donner l’expression de $\overline{V}(x)$ à l’aide d’une intégrale. 4. Soit $f$ une fonction appartenant à l’ensemble $F$.\\ Démontrer que, si la fonction $f$ est nulle en 0 ($f(0) = 0$), la fonction $f$ est, soit égale à $x$ sur le segment $[0, 1]$, soit strictement majorée par $x$ sur l’intervalle ouvert $]0, 1[$ ($0 < x < 1 \implies f(x) < x$).\\ Démontrer que, si la fonction $f$ est strictement positive en 0 ($f(0) > 0$), l’équation $f(x) = x$ a, dans l’intervalle ouvert $]0, 1[$, au plus une solution. 5. Démontrer que, pour toute suite $U$ appartenant à l’ensemble $S$, la fonction $j(U)$ appartient à l’ensemble $F$. Démontrer que l’application $j$ est une application bijective de l’ensemble $S$ sur l’ensemble $F$.} 6. Démontrer que la suite $U \ast V = (w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ainsi définie appartient à l’ensemble $S$. 7. Démontrer qu’étant données deux suites $U$ et $V$ de $S$, à la composée $U \ast V$ de ces suites correspond par l’application $j$ le produit des fonctions $j(U)$ et $j(V)$ : $$ j(U \ast V) = j(U) j(V) \qquad \text{ou} \qquad \overline{U \ast V} = \overline{U} \cdot \overline{V} $$ 8. Démontrer que la loi de composition $\ast$ définie ci-dessus est associative, a un élément neutre et est commutative. 9. Démontrer que les trois suites $B_p,\, \Gamma_p$ et $\Pi_\lambda$ appartiennent à l’ensemble $S$. Déterminer leurs images $\overline{B}_p,\, \overline{\Gamma}_p$ et $\overline{\Pi}_\lambda$ par l’application $j$. 10. Étant donné un entier naturel $q$ strictement positif, déterminer les suites $B_p^{\ast q}$, $\Gamma_p^{\ast q}$ et $\Pi_\lambda^{\ast q}$ obtenues respectivement à partir des suites $B_p$, $\Gamma_p$ et $\Pi_\lambda$ par composition $q$ fois avec elle-même. Préciser les termes de ces suites notés respectivement $\beta_{p^{\ast q}, n}$, $\gamma_{p^{\ast q}, n}$ et $\pi_{\lambda^{\ast q}, n}$, $n \in \mathbb{N}$.\\ Pour un réel $\lambda$ donné, limite de la suite $B_{\lambda/q}^{\ast q}$ lorsque l’entier $q$ croît vers l’infini.} 11. Le réel strictement positif $\lambda$ est donné ; lorsque l’entier $q$ est suffisamment grand, le rapport $\lambda/q$ est un réel strictement compris entre $0$ et $1$.\\ Déterminer, pour tout entier $n$ fixé, la limite du terme $\beta_{\lambda/q}^{\ast q, n}$ de rang $n$ de la suite $B_{\lambda/q}^{\ast q}$, lorsque l’entier $q$ croît vers l’infini. Exprimer cette limite à l’aide du terme $\pi_{\lambda, n}$ de rang $n$ de la suite $\Pi_\lambda$. 12. Soit une suite $(U_q)_{q \in \mathbb{N}}$ d’éléments de l’ensemble $S$. Soit $u_{q, n}$ le terme de rang $n$ de la suite $U_q$ : $$ U_q = (u_{q, n})_{n \in \mathbb{N}}. $$ Cette suite d’éléments de $S$ est supposée telle que chacune des suites des termes de rang $n$ $(u_{q, n})_{q \in \mathbb{N}}$ est, lorsque l’entier $q$ croît vers l’infini, une suite convergente de limite $v_n$.\\ Démontrer que la série de terme général $v_n$, $n \in \mathbb{N}$, est une série de terme général positif ou nul, convergente, de somme inférieure ou égale à $1$ : $$ \sum_{n=0}^{\infty} v_n \leq 1. $$ Donner un exemple de suite $(U_q)_{q \in \mathbb{N}}$ d’éléments de l’ensemble $S$ telle que chacune des suites $(u_{q, n})_{q \in \mathbb{N}}$ définie par les termes de rang $n$ soit convergente et de limite $v_n$ nulle. 13. Étant donné un réel $r$ strictement positif $(r > 0)$, soit $S_r$ le sous-ensemble des éléments $U = (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de l’ensemble $S$ tels que la série de terme général $u_n n^r$, $n \in \mathbb{N}$, soit convergente, $$ S_r = \left\{ U \mid U \in S,\, U = (u_n)_{n \in \mathbb{N}},\, \sum_{n=1}^\infty u_n n^r < \infty \right\}. $$ 14. Étant donnés deux réels $r$ et $s$ strictement positifs $(r > 0,\, s > 0)$, démontrer que, si les réels $r$ et $s$ sont distincts l’un de l’autre $(r \neq s)$, l’un des deux sous-ensembles $S_r$ et $S_s$ est contenu dans l’autre.\\ À une suite $U = (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ appartenant à l’ensemble $S_1$, est associé le réel $M(U)$, appelé moyenne de $U$, défini par la relation suivante : $$ M(U) = \sum_{n=1}^{\infty} n u_n. $$ À une suite $U = (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ appartenant à l’ensemble $S_2$, est associé le réel $V(U)$, appelé variance de $U$, défini par la relation suivante : $$ V(U) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 u_n – M(U)^2. $$ Dans toute la suite du problème l’élément $U$ de $S$ appartient au sous-ensemble $S_2$. 15. Un résultat préliminaire : soient $N$ un entier strictement positif et $A = (a_i)_{1 \leq i \leq N}$ une suite de $N$ réels strictement positifs ($1 \leq i \leq N$, $a_i > 0$). Démontrer que l’application $\varphi$ qui, à deux vecteurs de $\mathbb{R}^N$, $X = (x_i)_{1 \leq i \leq N}$ et $Y = (y_i)_{1 \leq i \leq N}$ associe le réel $$ \varphi(X, Y) = \sum_{i=1}^N a_i x_i y_i, $$ est un produit scalaire dans $\mathbb{R}^N$.} 16. Pour tout élément $U$ de $S_2$, démontrer l’existence des deux grandeurs $M(U)$ et $V(U)$. Démontrer que la variance $V(U)$ est positive ou nulle : $$ V(U) \geq 0. $$ \emph{Indication : comparer, pour tout entier $N$, les deux expressions suivantes : $$ \left(\sum_{n=1}^N n u_n\right)^2 \quad\text{et}\quad \sum_{n=1}^N u_n \cdot \sum_{n=1}^N n^2 u_n. $$} 17. Démontrer que les dérivées première $\overline{U}’$ et seconde $\overline{U}”$ de $\overline{U}$ admettent une limite lorsque le réel $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures. Déterminer ces deux limites, notées $\overline{U}'(1)$ et $\overline{U}”(1)$, en fonction de $M(U)$ et $V(U)$. 18. Soit $x \mapsto \varepsilon(x)$ la fonction définie sur l’intervalle ouvert $]-1, 1[$ par la relation suivante : $$ \varepsilon(x) = \overline{U}”(1) – \overline{U}”(x). $$ Démontrer, pour tout réel $x$ compris strictement entre $0$ et $1$, l’inégalité suivante : $$ \overline{U}(x) – 1 – M(U)(x-1) – \frac{1}{2}\left(V(U) + M(U)^2 – M(U)\right) (x-1)^2 \leq \frac{1}{2}(x-1)^2 \varepsilon(x). $$ 19. Démontrer, lorsque $p$ est un réel strictement compris entre $0$ et $1$ et $\lambda$ un réel strictement positif, que les trois suites $B_p,\,\Gamma_p$ et $\Pi_\lambda$ définies ci-dessus appartiennent à l’ensemble $S_2$. 20. Calculer pour chacune de ces suites $B_p,\,\Gamma_p$ et $\Pi_\lambda$ la moyenne et la variance. C’est-à-dire les six grandeurs : $$ M(B_p),\,\, V(B_p),\,\, M(\Gamma_p),\,\, V(\Gamma_p),\,\, M(\Pi_\lambda),\,\, V(\Pi_\lambda). $$}FAQ
Dans le sujet de 2004, on retrouve des thèmes récurrents comme l’étude des suites de probabilités, la correspondance entre suites et fonctions (notamment via des applications bijectives), la convexité, la croissance et la dérivabilité de fonctions sur des intervalles ouverts, l’analyse de points fixes, ainsi que des propriétés telles que la moyenne et la variance associées à des séries. Le sujet aborde aussi la structure algébrique de certains ensembles via des lois de composition, des produits scalaires généralisés, et l’étude des séries à termes positifs. Ces thèmes sont centraux en mathématiques de prépa PSI et forment la base des raisonnements à maîtriser pour réussir ce concours.
Pour étudier la convexité d’une fonction, il faut analyser le signe de la dérivée seconde : si $f”(x) \geq 0$ sur un intervalle, alors la fonction est convexe sur cet intervalle. La croissance se traite via la dérivée première : si $f'(x) \geq 0$ sur une portion, $f$ est croissante là-dessus. En concours, il s’agit souvent de justifier soigneusement l’indéfinie dérivabilité, puis d’en tirer les propriétés qualitatives. Ces méthodes sont classiques, mais il est important de bien rédiger et de justifier chaque étape pour répondre aux attentes des examinateurs.
Mettre en place une bijection permet d’établir un lien fort entre des outils discrets (comme les suites) et des outils continus (fonctions). Cela donne accès à la puissance de l’analyse pour étudier des propriétés de suites via leur image fonctionnelle : en particulier, dérivabilité, croissance, convexité, comportement en des points frontières, etc. C’est typiquement le genre de pont conceptuel que les concepteurs de sujet aiment faire manipuler pour tester la profondeur de ta compréhension et ta maîtrise de plusieurs chapitres à la fois. Si tu veux progresser sur ces aspects, pense à débloquer les corrigés pour accéder à des explications détaillées et à notre dashboard personnalisé sur Prépa Booster.
Dès qu’il est question de positivité, de croissance ou de majoration, pense à mobiliser les bons outils d’analyse : comportement des dérivées, utilisation judicieuse d’inégalités classiques et, si besoin, d’arguments de structure (récurrence, points fixes, etc.). Assure-toi de bien relier les hypothèses du sujet (par exemple : séries à termes positifs, fonctions définies sur un segment, etc.) aux conclusions que tu veux démontrer. Soigne la rédaction : ce sont souvent des questions-pièges dans lesquelles la rigueur et la clarté font la différence entre une copie correcte et une copie qui sort du lot.
Une loi de composition interne, c’est une opération qui prend deux éléments d’un même ensemble et en donne un troisième qui reste dans cet ensemble, tout en vérifiant potentiellement des propriétés supplémentaires comme l’associativité, la commutativité ou l’existence d’un élément neutre. Dans les concours, cela permet de montrer ta capacité à faire le lien entre algèbre (groupes, monoïdes, etc.) et analyse (lorsque par exemple la composition porte sur des suites ou fonctions définies par des propriétés analytiques). C’est un classique des sujets de synthèse.
La moyenne et la variance sont des statistiques fondamentales, que ce soit pour décrire des séries numériques, des lois de probabilité discrète, ou pour modéliser des phénomènes aléatoires. En prépa PSI, leur calcul ou leur étude intervient souvent pour relier plusieurs notions étudiées (analyse de convergence, structure des séries, interprétation géométrique via produit scalaire, etc.) et je t’invite à bien maîtriser leurs différentes formulations. Par ailleurs, comme en sciences de l’ingénieur, ils servent à mesurer la dispersion et donner du sens aux résultats théoriques.
Entraîne-toi à rédiger rigoureusement et complètement chaque solution, en prenant soin de maîtriser les classiques : convergence des suites et des séries, étude des fonctions sur intervalles (croissance, convexité, continuité, etc.), manipulation des lois de composition et des produits scalaires, connexion suite-fonction, résultats liés à la probabilité discrète. Pense également à refaire d’anciens sujets et à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour bénéficier de solutions détaillées, d’explications alternatives et du dashboard pour suivre ta progression.
Le produit scalaire généralisé (souvent pondéré par des coefficients) permet de traduire des notions d’orthogonalité, de norme, de distance ou de projection dans le contexte des suites ou des séries. Cela débouche très souvent sur des résultats d’inégalités (Cauchy-Schwarz, etc.) utiles pour majorer, minorer, comparer des sommes et obtenir des bornes précises en analyse. En plus, c’est un bon moyen de rattacher rapidement plusieurs fils du cours dans un raisonnement, c’est donc vraiment à connaître sur le bout des doigts.