Questions du sujet
1. D\’emontrer que, lorsque la fonction $h$, d\’efinie sur $\mathbb{R}$, est \’egale \`a une constante r\’eelle $\alpha$ ($h(x) = \alpha \in \mathbb{R}$) et la fonction $f$ est nulle ($f(x)=0$), la seule solution $y$ du syst\`eme $(S)$ est la fonction nulle ($y(x)=0$ pour tout $x$), sauf pour certaines valeurs du r\’eel $\alpha$ qui seront pr\’ecis\’ees ; poser $\alpha = \omega^2$ ou $\alpha = -\omega^2$ ($\omega > 0$), suivant que le r\’eel $\alpha$ est strictement positif ou strictement n\’egatif. 2. Un r\’esultat pr\’eliminaire : soit $\varphi$ une fonction r\’eelle d\’efinie et continue sur la droite r\’eelle $\mathbb{R}$ ; soit $\Phi$ la fonction d\’efinie par la relation suivante :\\ pour tout r\’eel $x$, $\Phi(x) = (1 – x)\int_0^x t \varphi(t) dt + x\int_x^1 (1-t)\varphi(t) dt$.\\ D\’emontrer que la fonction $\Phi$ est d\’efinie et de classe $\mathcal{C}^2$ sur toute la droite r\’eelle $\mathbb{R}$ ; d\’eterminer sa d\’eriv\’ee seconde $\Phi”$ ainsi que les valeurs prises par la fonction $\Phi$ en $0$ et en $1$ : $\Phi(0)$, $\Phi(1)$. 3. D\’emontrer que, si $\Phi_1$ est une fonction r\’eelle, deux fois d\’erivable sur la droite r\’eelle $\mathbb{R}$, telle qu’elle v\’erifie les relations suivantes :\\ pour tout r\’eel $x$, $\Phi_1”(x) = -\varphi(x)$, $\Phi_1(0)=0$, $\Phi_1(1)=0$,\\ les fonctions $\Phi$ et $\Phi_1$ sont \’egales ($\Phi_1 = \Phi$). 4. En d\’eduire, lorsque la fonction $h$ est nulle, l’existence et l’unicit\’e d’une solution $y$ du syst\`eme $(S_0)$ suivant :\\ \[ (S_0) \left\{ \begin{array}{l} -y”(x) = f(x),\\ y(0) = 0,\\ y(1) = 0. \end{array} \right. \] 5. D\’emontrer que, pour qu’une fonction $y$, d\’efinie et continue sur la droite r\’eelle $\mathbb{R}$, v\’erifie le syst\`eme $(S_1)$, il faut et il suffit que la fonction $y$ v\’erifie, pour tout r\’eel $x$, la relation $(R)$ suivante :\\ \[ (R)\qquad\text{pour tout r\’eel $x$,}\qquad y(x) = (x-1) \int_{0}^{x} t\, h(t) y(t) dt + x \int_{x}^{1} (t-1) h(t) y(t) dt. \] } 6. D\’emontrer l’existence de deux r\’eels $H$ et $Y$ respectivement maximums des valeurs absolues des fonctions $h$ et $y$ sur le segment $I = [0,1]$. 7. Soit $y$ une solution du syst\`eme $(S_1)$ ; d\’emontrer, pour tout r\’eel $x$ appartenant au segment $I$ ($0 \leq x \leq 1$), l’in\’egalit\’e suivante : \[ |y(x)| \leq H Y \frac{1}{8}. \] 8. En d\’eduire une condition n\’ecessaire sur la fonction $h$, pour qu’il existe des solutions $y$, autres que la fonction nulle, du syst\`eme $(S_1)$. V\’erifier que, lorsque la fonction $h$ est constante, cette condition est remplie lorsqu’il y a des solutions diff\’erentes de $0$. 9. Tracer le graphe de la restriction de la fonction $G_x$ au segment $[-1,1]$. D\’eterminer le d\’eveloppement en s\’erie de Fourier de la fonction $G_x$. 10. Y a-t-il \’egalit\’e, pour tout r\’eel $t$, entre $G_x(t)$ et la somme de la s\’erie de Fourier obtenue ? Pr\’eciser et v\’erifier la nature de la convergence.} 11. En d\’eduire que la fonction $G : (x, t) \mapsto G(x, t)$ est, dans le carr\’e $I \times I$, la somme d’une s\’erie de fonctions uniform\’ement convergente. 12. D\’emontrer, lorsque la fonction $h$ est nulle, qu’il existe une seule solution possible $z$ au syst\`eme $(T)$. Pr\’eciser son expression \`a l’aide de la fonction $G$. 13. D\’eterminer, lorsque la fonction $h$ est nulle, le d\’eveloppement en s\’erie de Fourier de la fonction $z$ ; exprimer les coefficients de Fourier de la fonction $z$ \`a l’aide de ceux de $f$. En d\’eduire l’existence d’une solution au syst\`eme $(T)$. 14. Exemple : la fonction $h$ est nulle, $f$ est la fonction impaire, $2$-p\’eriodique, d\’efinie sur le segment $I$ par la relation suivante \[ f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} t & \text{si $0 \leq t \leq 1/2$,}\\ 1-t & \text{si $1/2 \leq t \leq 1$.} \end{array} \right. \] D\’eterminer le d\’eveloppement en s\’erie de Fourier de la fonction $f$ puis celui de la fonction $u$ solution du syst\`eme $(T)$. Est-ce que le d\’eveloppement en s\’erie de Fourier de la fonction $u$ obtenu est celui d’une fonction deux fois contin\^ument d\’erivable ? 15. La fonction $h$ est suppos\’ee dans la suite \’egale \`a une constante $a$ diff\’erente de $0$ ($a \neq 0$). La fonction $f$ est toujours une fonction impaire, $2$-p\’eriodique. Le but de cette question est de rechercher une solution du syst\`eme \[ (T_a) \left\{ \begin{array}{l} -y”(x) + a y(x) = f(x),\\ y(0) = 0,\\ y(1) = 0. \end{array} \right. \] La m\’ethode propos\’ee consiste \`a \’ecrire ce syst\`eme sous la forme suivante : \[ (T’_a) \left\{ \begin{array}{l} -y”(x) = f(x) – a y(x),\\ y(0) = 0,\\ y(1) = 0. \end{array} \right. \] et \`a consid\’erer que la fonction $x \mapsto f(x) – a y(x)$ joue le m\^eme r\^ole que celui jou\’e par la fonction $f$ aux questions 12 et 13.\\ En supposant qu’il existe une solution $z$ au syst\`eme $(T_a)$, d\’eterminer les relations que doivent v\’erifier les coefficients de Fourier de la fonction $z$.} 16. Discuter suivant les valeurs du r\’eel $a$ l’existence de solutions des \’equations v\’erifi\’ees par les coefficients de Fourier de la fonction $z$. 17. D\’emontrer, lorsque les \’equations donnant les coefficients de Fourier de la fonction $z$ admettent des solutions et que la fonction $f$ est de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$, l’existence d’une fonction $z$ solution du syst\`eme $(T_a)$. 18. Exemple : D\’eterminer le d\’eveloppement en s\’erie de Fourier de la fonction $z$ lorsque la fonction $f$ est la fonction d\’efinie \`a la question 14.}FAQ
Pour ce sujet, il est essentiel de maîtriser les équations différentielles linéaires, les conditions aux limites, le calcul intégral, ainsi que les séries de Fourier. Il faut aussi être à l’aise avec les méthodes de résolution de systèmes linéaires, les propriétés des fonctions continues et la théorie des solutions uniques. Ces bases te permettront d’aborder sereinement chaque exercice et de faire le lien entre théorie et applications.
Les séries de Fourier sont un outil incontournable pour décomposer et analyser des fonctions périodiques, mais aussi pour résoudre certaines équations différentielles et problèmes aux limites. Dans ce type de sujet, elles permettent d’approcher ou d’exprimer explicitement des solutions à des équations compliquées, notamment lorsqu’on travaille avec des conditions aux bords. Savoir manipuler les séries de Fourier est donc un vrai atout pour réussir les concours et progresser en physique et en ingénierie.
Pour bien réviser cette notion centrale, commence par maîtriser les techniques de résolution (à coefficients constants, à variables séparables, par variation de la constante, etc.). Entraîne-toi aussi à justifier l’unicité et l’existence des solutions avec les bons théorèmes. Pense à revoir les problèmes aux limites (conditions de Dirichlet, Neumann), car ils reviennent très fréquemment au concours.
Les conditions aux limites (par exemple y(0) = 0 et y(1) = 0 pour un segment [0,1]) permettent de sélectionner la ou les solutions qui ont un sens physique ou mathématique adapté au problème posé. Elles garantissent l’unicité de la solution dans de nombreux cas, ce qui est crucial pour aboutir à une réponse rigoureuse attendue dans les sujets des concours comme celui des Mines-Ponts.
La régularité des fonctions (\\( \\mathcal{C}^1, \\mathcal{C}^2 \\) ou \\( C^k \\)) assure que l’on peut dériver ou intégrer sans souci les fonctions impliquées dans les solutions. Cela évite de faux raisonnements et te permet d’utiliser légitimement certains théorèmes (comme l’intégration par parties ou le théorème de dérivation sous le signe intégral). Cette exigence est omniprésente dans les énoncés de concours et dans les corrigés détaillés disponibles en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !
Accéder au corrigé te permet de comprendre chaque étape de raisonnement attendue au concours, de voir les méthodes efficaces pour aborder les exercices et de repérer les subtilités fréquemment évaluées. Tu pourras aussi comparer ta propre rédaction à un modèle et accéder à des astuces pour gagner des points le jour J. N’oublie pas que Prépa Booster offre également des exercices types corrigés et un dashboard personnalisé pour organiser ta progression !
Absolument ! La question de l’existence et de l’unicité des solutions à un problème donné est un classique des concours scientifiques. Il s’agit de savoir dans quelles conditions un problème, comme une équation différentielle avec conditions aux limites, possède une solution unique – c’est fondamental non seulement en maths pures, mais aussi en physique et en ingénierie.
Oui, même si le cœur du sujet reste le calcul et la rigueur théorique, la représentation graphique – qu’il s’agisse de fonctions de base, de solutions ou de termes de séries de Fourier – t’aide à mieux comprendre les comportements, identifier les symétries ou visualiser les conditions aux bords. Les sujets demandent parfois une esquisse, c’est donc une compétence à travailler !
L’idéal est de t’appuyer sur de vrais sujets corrigés comme celui-ci, accessibles en débloquant les corrigés sur Prépa Booster. En pratiquant sur des annales complètes, tu apprends à cerner les attentes des examinateurs, à gérer ton temps et à structurer efficacement tes réponses. Combine cette approche avec une révision régulière des notions clés et tu seras prêt pour le jour du concours !