Questions du sujet
1. Démontrer que M est semblable à une matrice complexe triangulaire supérieure, établir que les coecients diagonaux de cette dernière sont nuls, et en déduire que tr $u^k = 0$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.
2. Justifier que $N_B$ est un sous-espace vectoriel de $L(E)$ de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$, et mettre en évidence dans $N_B$ un élément nilpotent de nilindice $n$. On pourra introduire l’endomorphisme $u$ de $E$ défini par $u(e_i) = e_{i-1}$ pour tout $i \in [[2, n]]$, et $u(e_1)=0$.
3. Soit $u \in L(E)$. On se donne deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$, ainsi que deux entiers $p \geq q \geq 1$ tels que $u^p(x) = u^q(y)=0$, $u^{p-1}(x) \neq 0$ et $u^{q-1}(y) \neq 0$. Montrer que la famille $(x, u(x),…,u^{p-1}(x))$ est libre, et que si $(u^{p-1}(x), u^{q-1}(y))$ est libre alors $(x, u(x),…,u^{p-1}(x), y, u(y),…,u^{q-1}(y))$ est libre.
4. Soit $u \in N(E)$, de nilindice $p$. Déduire de la question précédente que $p \leq n$ et que si $p \geq n – 1$ et $p \geq 2$ alors $\mathrm{Im}\ u^{p-1} = \mathrm{Im}\ u \cap \ker u$ et $\mathrm{Im}\ u^{p-1}$ est de dimension 1.
5. Calculer la dimension de $L(E, \mathbb{R})$ en fonction de celle de $E$. Montrer que $a \mapsto \varphi_a$ définit un isomorphisme de $E$ sur $L(E, \mathbb{R})$.}
6. On fixe $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que l’application $a \in E \mapsto a \otimes x$ est linéaire et constitue une bijection de $E$ sur $\{u \in L(E) : \mathrm{Im}\ u \subset \mathrm{Vect}(x)\}$.
7. Soit $a \in E$ et $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que $\mathrm{tr}(a \otimes x)=(a | x)$.
8. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu’il existe une unique famille $(f_0^{(k)},…,f_k^{(k)})$ d’endomorphismes de $E$ telle que $\forall t \in \mathbb{R},\ (u + tv)^k = \sum\limits_{i=0}^k t^i f_i^{(k)}$. Montrer en particulier que $f_0^{(k)} = u^k$ et $f_1^{(k)} = \sum\limits_{i=0}^{k-1} u^i v u^{k-1-i}$. Pour l’unicité, on pourra utiliser une représentation matricielle.
9. À l’aide de la question précédente, montrer que $\sum\limits_{i=0}^{p-1} u^i v u^{p-1-i} = 0$.
10. Étant donné $k \in \mathbb{N}$, donner une expression simplifiée de $\mathrm{tr}(f_1^{(k+1)})$, et en déduire la validité du lemme C.}
11. Soit $y \in E$. En considérant, pour un $a \in K(V)^\ast$ quelconque, la fonction $t \in \mathbb{R} \mapsto (a | (u + tv)^{p-1}(y))$, démontrer que $f_1^{(p-1)}(y) \in K(V)$. À l’aide d’une relation entre $u(f_1^{(p-1)}(y))$ et $v(u^{p-1}(y))$, en déduire que $v(x) \in u(K(V))$ pour tout $x \in \mathrm{Im}\ u^{p-1}$.
12. Soit $x \in V^\bullet \setminus \{0\}$ tel que $K(V) \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On choisit $u \in V$ tel que $x \in \mathrm{Im}\ u^{p-1}$. Étant donné $y \in K(V)$, montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$ il existe $y_k \in K(V)$ et $\lambda_k \in \mathbb{R}$ tels que $y = \lambda_k x + u^k(y_k)$. En déduire que $K(V) \subset \mathrm{Vect}(x)$ puis que $v(x)=0$ pour tout $v \in V$.
13. Montrer que $V_x, W, \bar V$ et $Z$ sont des sous-espace vectoriels respectifs de $E, V, L(H)$ et $V$.
14. Montrer que $\dim \bar V = \dim(V_x) + \dim Z + \dim \bar V$.
15. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $L$ de $E$ tel que $Z = \{a \otimes x\ |\ a \in L\}$ et $\dim L = \dim Z$, et montrer qu’alors $x \in L^\perp$.}
16. En considérant $u$ et $(a \otimes x)$ pour $u \in \bar V$ et $a \in L$, déduire du lemme C que $V_x \subset L^\perp$, et que plus généralement $u^k(x) \in L^\perp$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $u \in \bar V$.
17. Justifier que $\lambda x \notin V_x$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}^*$, et déduire alors des deux questions précédentes que $\dim V_x + \dim L \leq n-1$.
18. Soit $u \in W$. Montrer que $(\bar u)^k(z) = \varphi(u^k(z))$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $z \in H$. En déduire que $\bar V$ est un sous-espace vectoriel nilpotent de $L(H)$.
19. Déduire des questions précédentes et du théorème A que\par
$\dim \bar V = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$, \par
$\dim(\mathrm{Vect}(x) + V_x) + \dim L = n$ et \par
$L^\perp = \mathrm{Vect}(x) + V_x$. \par
En déduire que $\mathrm{Vect}(x) + V_x$ contient $v^k(x)$ pour tout $v \in \bar V$ et tout $k \in \mathbb{N}$.
20. En appliquant, entre autres, l’hypothèse de récurrence et la question précédente, montrer que le nilindice générique de $\bar V$ est supérieur ou égal à $n-1$, et que si en outre $V_x = \{0\}$ alors il existe une base de $E$ dans laquelle tout élément de $V$ est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.}
21. Soit $v \in V$ tel que $v(x) \neq 0$. Montrer que $\mathrm{Im}\ v^{p-1} \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On pourra utiliser les résultats des questions 4 et 19.
22. On suppose qu’il existe $v_0$ dans $V$ tel que $v_0(x) \neq 0$. Soit $v \in V$. En considérant $v + t v_0$ pour $t$ réel, montrer que $\mathrm{Im}\ v^{p-1} \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On pourra s’inspirer de la méthode de la question 11.
23. Conclure.}