Questions du sujet
1. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que $P(S_{k+1} = 1)$ s’écrit comme une combinaison linéaire des $(P(S_k = i), i = 1, \cdots , 5)$.
2. Expliciter la matrice carrée $B \in M_5(\mathbb{R})$ telle que $X_{k+1} = BX_k$ pour tout $k$ entier naturel.
3. En observant les colonnes de la matrice $B$, montrer que le réel $1$ est valeur propre de ${}^tB$ et expliciter un vecteur propre associé.
4. Montrer qu’alors les variables aléatoires $S_k$ ont toutes la même loi.
5. Est-ce que $S_0$ et $S_1$ sont indépendantes ?}
6. Soit $x \in \ker(u – \mathrm{Id}_E)$. Déterminer $\lim_{k \to +\infty} r_k(x)$.
7. Soit $x \in \mathrm{Im}(u – \mathrm{Id}_E)$. Montrer que $\lim_{k \to +\infty} r_k(x) = 0_E$.
8. En déduire que $E = \ker(u – \mathrm{Id}_E) \oplus \mathrm{Im}(u – \mathrm{Id}_E)$.
9. Soit $x \in E$, un vecteur quelconque. Montrer que la suite $\left( r_k(x) \right)_{k \in \mathbb{N}^*}$ converge vers un vecteur de $E$, que l’on notera $p(x)$. Interpréter géométriquement l’application $p : E \to E$ ainsi définie.
10. Montrer que la suite de matrices $(R_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ converge dans $M_n(\mathbb{R})$ vers une matrice $P$, telle que $P^2 = P$.}
11. Vérifier que la condition (4) équivaut à la condition $AU = U$.
12. En déduire que l’ensemble $E$ des matrices stochastiques (carrées d’ordre $n$) est stable par le produit matriciel.
13. Montrer que cet ensemble $E$ est une partie fermée et convexe de l’espace vectoriel $M_n(\mathbb{R})$.
14. Montrer que, si $A \in M_n(\mathbb{R})$ est stochastique, alors on a $\|AX\|_\infty \leq \|X\|_\infty$ pour tout $X \in M_{n,1}(\mathbb{R})$.
15. Montrer que $\ker(A^p – I_n)$ est de dimension $1$.\\ \textnormal{Indication : soit $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \ker(A^p – I_n)$, soit $s \in \{1, \ldots, n\}$ un indice tel que $x_s = \max_{1 \leq j \leq n} x_j$, on montrera que $x_j = x_s$ pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$.}}
16. En déduire que $\ker(A – I_n) = \mathrm{Vect}(U)$.
17. Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, la matrice $R_k$ est stochastique.
18. Montrer que la suite $(R_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ converge dans $M_n(\mathbb{R})$ vers une matrice $P$, stochastique, de rang $1$.
19. En déduire que l’on peut écrire $P = U L$, où $L = (\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \in M_{1,n}(\mathbb{R})$ est une matrice-ligne stochastique.
20. Montrer que $PA = P$. En déduire que $L$ est la seule matrice-ligne stochastique vérifiant $LA = L$.}
21. Montrer que les coecients de la matrice-ligne $L$ sont tous strictement positifs.
22. Montrer que le réel $1$ est valeur propre simple de la matrice $A$.
23. Expliciter la limite $P$ de la suite de matrices $(R_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ définie en (2) ?
24. Montrer qu’il existe une unique loi de probabilité sur l’ensemble $\{1, 5\}$ telle que, si la variable aléatoire $S_0$ suit cette loi, alors les variables $S_k$ suivent toutes la même loi (autrement dit, telle que la probabilité de présence du rat dans une salle soit la même à tous les instants $k$, $k \in \mathbb{N}$).}
FAQ
En appliquant la formule des probabilités totales, tu peux décomposer \( P(S_{k+1} = 1) \) en fonction des états précédents \( S_k \). Cela revient à écrire \( P(S_{k+1} = 1) = \sum_{i=1}^5 P(S_{k+1} = 1 | S_k = i) P(S_k = i) \). C’est une combinaison linéaire des probabilités \( P(S_k = i) \) pour \( i \) allant de 1 à 5. Pour voir le détail du calcul, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
La matrice \( B \) est une matrice de transition qui représente les probabilités de passage entre les différents états. Elle est carrée d’ordre 5 et ses coefficients \( B_{i,j} \) correspondent à \( P(S_{k+1} = j | S_k = i) \). Pour la construire explicitement, il faut analyser les transitions possibles entre les salles. Retrouve la construction détaillée dans le corrigé en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !
Le réel 1 est valeur propre de \( {}^tB \) car la somme des coefficients de chaque colonne de \( B \) vaut 1 (matrice stochastique). Un vecteur propre associé est donc un vecteur dont toutes les composantes sont égales, par exemple \( (1, 1, 1, 1, 1) \). Pour une démonstration rigoureuse, consulte le corrigé détaillé sur Prépa Booster !
Si la loi initiale \( S_0 \) est un vecteur propre associé à la valeur propre 1 de \( {}^tB \), alors \( X_{k+1} = B X_k \) implique que la loi reste inchangée. Cela signifie que \( S_k \) suit la même loi pour tout \( k \). Pour une explication complète, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Non, \( S_0 \) et \( S_1 \) ne sont pas indépendantes car \( S_1 \) dépend directement de \( S_0 \) via la matrice de transition \( B \). L’indépendance nécessiterait que \( P(S_1 = j | S_0 = i) = P(S_1 = j) \), ce qui n’est pas le cas ici. Pour une analyse détaillée, consulte le corrigé sur Prépa Booster !
Si \( x \) est dans le noyau de \( u – \mathrm{Id}_E \), alors \( u(x) = x \). Par récurrence, \( r_k(x) = u^k(x) = x \) pour tout \( k \). Donc, la limite est simplement \( x \). Pour une démonstration complète, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Si \( x \) est dans l’image de \( u – \mathrm{Id}_E \), alors \( x = (u – \mathrm{Id}_E)(y) \) pour un certain \( y \). En appliquant \( u^k \), on montre que \( r_k(x) \) tend vers \( 0_E \) quand \( k \) tend vers l’infini. Pour les détails, consulte le corrigé sur Prépa Booster !
Cette décomposition est une conséquence directe du théorème de décomposition des noyaux et images pour un endomorphisme. Comme \( u \) est un projecteur spectral, on a bien \( E = \ker(u – \mathrm{Id}_E) \oplus \mathrm{Im}(u – \mathrm{Id}_E) \). Pour une explication complète, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
L’application \( p \) est un projecteur sur \( \ker(u – \mathrm{Id}_E) \) parallèlement à \( \mathrm{Im}(u – \mathrm{Id}_E) \). Géométriquement, elle projette tout vecteur \( x \) sur sa composante dans le noyau, ce qui correspond à la limite de la suite \( r_k(x) \). Pour une interprétation détaillée, consulte le corrigé sur Prépa Booster !
La convergence de \( R_k \) vers \( P \) est due à la décomposition spectrale de \( u \). La matrice \( P \) est un projecteur car elle vérifie \( P^2 = P \), ce qui correspond à la projection sur l’espace propre associé à la valeur propre 1. Pour une démonstration complète, débloque les corrigés sur Prépa Booster !