Questions du sujet
1. Déterminer dans le quart de plan $x \geq 0, y \leq 0$, une équation polaire de la lemniscate sous la forme $\rho = g(\theta)$ où la fonction $g$ est définie sur l’intervalle $[-\pi/4,0]$. Préciser les symétries permettant de recouvrir l’ensemble de la courbe.2. Montrer que $g$ constitue une bijection de $[-\pi/4,0]$ sur $[0,1]$. 3. Déterminer les tangentes à la lemniscate en $(0,0)$. 4. Déterminer dans le demi-plan $x \geq 0$, une équation paramétrique de la lemniscate en fonction de $\rho$ et en déduire que l’abscisse curviligne $s$ vérifie l’équation différentielle suivante sur $[0,1]$ : \[ s'(\rho) = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^4}}. \] 5. Montrer que l’intégrale $\int_0^1 \frac{dr}{\sqrt{1-r^4}}$ converge.} 6. Que représente $\sigma$ ? 7. Montrer que la fonction $F$ est continue sur $[-1,1]$ et de classe $C^{\infty}$ sur $]-1,1[$. 8. Dessiner le graphe de $F$ et en préciser le tableau de variations. 9. Montrer que $F$ est développable en série entière sur $]-1,1[$. 10. Donner l’expression des coefficients $a_n$ de cette série.} 11. Montrer que la série de terme général $a_n$ converge (on pourra utiliser la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}$) et a pour somme $\sigma$. 12. Montrer que $F$ admet une fonction réciproque $F^{-1}$, continue et impaire sur $[-\sigma,\sigma]$. 13. Montrer que $F^{-1}$ est de classe $C^1$ sur $]-\sigma,\sigma[$, calculer sa dérivée, en déduire qu’elle est de classe $C^1$ sur $[-\sigma,\sigma]$. 14. Montrer que si on prolonge $F^{-1}$ à $[-\sigma,3\sigma]$ en opérant sur son graphe une symétrie par rapport à la droite $x = 2\sigma$, puis on prolonge $F^{-1}$ à $\R$ tout entier par périodicité, on note $\sl$ la fonction ainsi construite. 15. Montrer que $\sl$ est de classe $C^1$ sur $\R$ et exprimer sa fonction dérivée.} 16. Tracer le graphe de $\sl$ sur $[0,3\sigma]$. 17. Montrer que $\sl$ est de classe $C^2$ et vérifie l’équation différentielle suivante sur $\R$ : \[ \sl”(x) + 2\,\sl^3(x) = 0. \] 18. Montrer que la fonction $H$ définie par \[ H(x)=f’^2(x)+f^4(x) \] est constante sur $\R$. On note encore $H$ cette constante. 19. Montrer que $q$ est de classe $C^1$ sur tout intervalle ouvert $\rbracket{\alpha,\beta}$ où $f’$ ne s’annule pas et calculer alors sa dérivée. En déduire qu’il existe une constante $b \in \mathbb{R}$ telle que \[ f(x)=H^{1/4}\sl(H^{1/4}x+b) \] pour tout $x \in \rbracket{\alpha,\beta}$. 20. En déduire que $f’$ s’annule au moins une fois sur tout intervalle ouvert de longueur supérieure à $2\sigma H^{-1/4}$.} 21. Soit $x_0$ une racine de $f’$, démontrer que $f”'(x_0)\neq 0$ et en déduire l’existence de $u_1$ et $u_2$, $u_1 < x_0 < u_2$, tels que $f'$ ne s'annule pas sur $]u_1,x_0[\cup ]x_0,u_2[$. 22. Démontrer l'existence de $x_1 = \inf\{x > x_0 \mid f'(x) = 0\}$. Montrer que $x_1 > x_0$ et $f'(x_1) = 0$. En déduire la valeur de $x_1-x_0$.
23. De même on pose $x_{-1} = \sup\{x < x_0 \mid f'(x) = 0\}$. Montrer que $f$ vérifie (8) pour tout $x \in ]x_{-1},x_1[$, puis sur $\R$ tout entier. 24. Montrer que pour tout $x$ réel on a \[ \sl^2(x)+\cl^2(x)=1 \] si l'on note $\cl$ la fonction définie par \[ \cl(x) = \frac{\sl'(x)}{1+\sl^2(x)}. \] 25. Montrer que pour tout $x$ réel on a \[ \cl(x) = \sl(\sigma - x) \] } 26. Calculer la fonction dérivée de $\cl$ de la fonction $\cl$ et en déduire que \[ \cl'(x) = -\sl(x)\cl^2(x). \] 27. Montrer que $G$ vérifie l'équation \[ \frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial G}{\partial y} \] en déduire que pour tout $a$ dans $\mathbb{R}$, $G$ est constante le long de la droite d'équation $x+y=a$.
28. Montrer que \[ \sl(x+y) = G(x,y) \] et en déduire une formule d’addition pour la fonction $\sl$, c’est-à-dire une expression de $\sl(x+y)$ ne faisant intervenir que $\sl(x)$, $\sl(y)$, $\cl(x)$ et $\cl(y)$.
29. Démontrer la formule de Fagnano, valable dans un intervalle $[-\alpha, \alpha]$ que l’on précisera : \[ 2\int_0^z \frac{dr}{\sqrt{1 – r^4}} = \int_0^{\frac{2z}{1+z^2}} \frac{dr}{\sqrt{1 – r^4}}. \] }
Questions du sujet
1. Trouver le réel $c$ tel que la suite $\frac{c}{\lambda^n n!}, n \geq 0$, appartienne à $P$.
2. Soit $p$ et $q$ deux réels de $[0, 1]$. Calculer $$\mathrm{dist}((1-p, p, 0, \cdots), (1-q, q, 0, \cdots)).$$
3. Soit $f \in F$ et $P \in P$, montrer que la série de terme général $(f(n) p_n, n \geq 0)$ est convergente.
4. Soit $f \in F$, montrer que la série de terme général $(n f(n) p^{(\lambda)}_n, n \geq 0)$ est convergente.
5. Pour tout $f \in F$, établir l’identité suivante :
$$
\lambda \sum_{n=0}^{\infty} f(n+1) p^{(\lambda)}_n = \sum_{n=0}^{\infty} n f(n) p^{(\lambda)}_n.
$$}
6. En choisissant convenablement des éléments de $F$, montrer que $Q = P^{(\lambda)}$.
7. Montrer que $\mathcal{S}_h$ possède une infinité d’éléments et que pour tout $f \in \mathcal{S}_h$, pour tout entier $n \geq 1$,
$$
f(n) = \frac{(n-1)!}{\lambda^n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\widetilde{h}(k)}{\frac{k!}{\lambda^k}}.
$$
8. Pour $f \in \mathcal{S}_h$, pour tout entier $n \geq 1$, établir l’identité suivante :
$$
f(n) = – \frac{(n-1)!}{\lambda^n} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{\widetilde{h}(k)}{\frac{k!}{\lambda^k}}.
$$
9. En déduire que toute fonction $f \in \mathcal{S}_h$ est bornée.
10. Établir pour $1 \leq n \leq m$, l’identité suivante :
$$
f_m(n) = – \frac{(n-1)!}{\lambda^n} p^{(\lambda)}_m \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\lambda^k}{k!}.
$$
}
11. Établir une identité analogue pour $n > m \geq 0$ et en déduire le signe de $f_m(n)$ pour tout $n \geq 1$.
12. Montrer que la fonction $f_m$ est négative sur $\mathbb{N} \setminus \{0, m\}$.
13. Établir les identités suivantes :
$$
f_0(0) = \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda}, \quad
f_m(m) = e^{-\lambda} \left[\sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} + \sum_{k=1}^m \frac{k}{m} \frac{\lambda^k}{k!} \right] \text{ pour } m > 0.
$$
14. En déduire que
$$
\sup_{n \geq 1} f_m(n) \leq \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda}.
$$
15. Montrer que $\mathcal{S}_h = \mathcal{S}_{h^+}$ où $h^+(n) = h(n) – \inf_{k \in \mathbb{N}} h(k)$.}
16. Montrer que la série
$$
\sum_{m=0}^{\infty} h^+(m) f_m(n)
$$
est convergente pour tout entier $n \geq 1$.
17. Montrer que la fonction $f$ définie, pour tout $n \geq 1$, par
$$
f(n) = \sum_{m=0}^{\infty} h^+(m) f_m(n)
$$
appartient à $\mathcal{S}_h$.
18. En déduire que pour tout entier $n \geq 1$,
$$
f(n+1) – f(n) \leq \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda} \left( \sup_{k \in \mathbb{N}} h(k) – \inf_{k \in \mathbb{N}} h(k) \right).
$$
19. Pour tout $k \in \{1, \cdots, n\}$, pour tout $f \in F$, montrer que
$$
X_k f(S) = X_k f(W_k + 1) \text{ et que } \mathbb{E}(f(W_k) X_k) = r_k \mathbb{E}(f(W_k)).
$$
20. Soit $h \in F$ et $f \in \mathcal{S}_h$, établir l’identité suivante.
$$
\mathbb{E}\left( \lambda f(S+1) – S f(S) \right) = \sum_{k=1}^n r_k \mathbb{E}\left[ X_k (f(W_k+2) – f(W_k+1)) \right].
$$
}
21. Établir que
$$\mathrm{dist}(\mathrm{loi}(S), P^{(\lambda)}) = \sup_{A \subset \mathbb{N}} \left| \mathbb{E} \left(\lambda f_A(S+1) – S f_A(S)\right) \right| ,$$
où $f_A$ est un élément de $\mathcal{S}_{\mathbbm{1}_{A}}$.
22. En déduire que
$$\mathrm{dist}(\mathrm{loi}(S), P^{(\lambda)}) \leq \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda} \sum_{k=1}^n r_k^2.$$}
FAQ
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L’épreuve de mathématiques du concours Mines-Ponts en filière PSI est composée de problèmes variés, souvent axés sur l’analyse, l’algèbre et les probabilités. Les sujets mettent l’accent sur la rigueur, la créativité et la maîtrise des concepts fondamentaux. Pour te préparer efficacement, entraîne-toi sur des annales comme celle de 2015, et n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à des exercices corrigés et à un dashboard personnalisé.
Pour cette question, il faut déterminer le réel $c$ tel que la suite $\frac{c}{\lambda^n n!}$ appartienne à un ensemble $P$ donné. Cela implique généralement de vérifier des conditions de convergence ou d’appartenance à un espace fonctionnel. Si tu bloques, débloque les corrigés sur Prépa Booster pour voir la solution détaillée et comprendre la démarche.
La distance entre deux lois de probabilité, comme celle calculée dans la question 2, mesure l’écart entre deux distributions. Dans ce cas, il s’agit de la distance entre les vecteurs $(1-p, p, 0, \cdots)$ et $(1-q, q, 0, \cdots)$. Cela peut être lié à la distance en variation totale ou à d’autres métriques probabilistes. Pour approfondir, consulte les corrigés et les ressources sur Prépa Booster.
Pour montrer la convergence d’une série comme dans les questions 3 et 4, tu dois utiliser des critères de convergence adaptés (comparaison, d’Alembert, Cauchy, etc.). Par exemple, pour la série de terme général $(f(n) p_n)$, il faut analyser le comportement asymptotique de $f(n)$ et $p_n$. Si tu as des difficultés, les corrigés détaillés sur Prépa Booster t’aideront à maîtriser ces techniques.
Les identités comme celle de la question 5 sont cruciales car elles établissent des relations entre des sommes infinies et des fonctions. Elles sont souvent utilisées pour simplifier des expressions ou pour résoudre des équations fonctionnelles. Dans ce cas, l’identité relie $\lambda \sum_{n=0}^{\infty} f(n+1) p^{(\lambda)}_n$ et $\sum_{n=0}^{\infty} n f(n) p^{(\lambda)}_n$. Pour comprendre leur utilité, explore les corrigés et les exercices sur Prépa Booster.
La question 6 demande de montrer que $Q = P^{(\lambda)}$ en choisissant convenablement des éléments de $F$. Cela signifie que tu dois trouver des fonctions spécifiques dans $F$ qui permettent de prouver cette égalité. Cela peut impliquer des manipulations algébriques ou des propriétés des fonctions génératrices. Pour voir comment procéder, débloque les corrigés sur Prépa Booster.
L’ensemble $\mathcal{S}_h$ est un espace de fonctions qui vérifient certaines propriétés, comme celles décrites dans la question 7. Il est souvent lié à des solutions d’équations fonctionnelles ou à des conditions de régularité. La question montre que $\mathcal{S}_h$ a une infinité d’éléments et donne une formule explicite pour $f(n)$. Pour approfondir, consulte les ressources et les corrigés sur Prépa Booster.
Pour les questions sur les séries et les sommes infinies, comme dans les questions 8 et 9, il faut souvent utiliser des techniques de sommation, des changements d’indice ou des propriétés de convergence. Par exemple, la question 8 établit une identité pour $f(n)$ en utilisant une somme infinie. Si tu veux maîtriser ces techniques, entraîne-toi avec les corrigés et les exercices sur Prépa Booster.
Les questions 10 à 14 explorent les propriétés des fonctions $f_m$, comme leur expression, leur signe et leur borne supérieure. Ces questions sont importantes pour comprendre le comportement des solutions d’équations fonctionnelles et pour établir des inégalités. Par exemple, la question 14 montre que $\sup_{n \geq 1} f_m(n) \leq \frac{1 – e^{-\lambda}}{\lambda}$. Pour voir comment ces résultats sont obtenus, consulte les corrigés sur Prépa Booster.
Les questions 15 à 18 traitent des fonctions $h^+$ et des séries associées, comme $\sum_{m=0}^{\infty} h^+(m) f_m(n)$. Elles montrent comment construire des solutions à partir de fonctions positives et établissent des inégalités importantes. Par exemple, la question 18 donne une borne pour $f(n+1) – f(n)$. Pour comprendre ces constructions, débloque les corrigés et les exercices sur Prépa Booster.
Les questions 19 à 22 introduisent des concepts probabilistes comme les espérances conditionnelles et les variables aléatoires. Par exemple, la question 20 établit une identité pour $\mathbb{E}(\lambda f(S+1) – S f(S))$. Ces questions sont cruciales pour comprendre les liens entre les fonctions et les lois de probabilité. Pour approfondir, consulte les corrigés et les ressources sur Prépa Booster.
Pour te préparer efficacement, travaille régulièrement sur des annales comme celle de 2015, et entraîne-toi sur des exercices variés. Utilise des ressources comme Prépa Booster pour accéder à des corrigés détaillés, des exercices corrigés et un dashboard personnalisé. Cela te permettra de maîtriser les concepts clés et d’aborder l’épreuve avec confiance.
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