Questions du sujet
1. Soient $A$ et $B \in M_n$, montrer que $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$. 2. Montrer que la trace de la matrice $T_B$ associée à $T$ est indépendante de la base $B$. 3. Démontrer que $X = \mathrm{R}(P) \oplus \mathrm{N}(P)$. 4. En déduire que $\operatorname{rg} P= \mathrm{tr}\, P$. 5. On pose $P’ = I – P$. Montrer que $\mathrm{R}(P’) = \mathrm{N}(P)$ et que $\mathrm{R}(P) = \mathrm{N}(P’)$.} 6. Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces $F$ et $G$ de $X$ est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions. 7. Montrer que si l’endomorphisme $S$ est une somme finie de projecteurs $P_i$, $i = 1, \ldots, m$, alors $\mathrm{tr}\, S \in \mathbb{N}$ et $\mathrm{tr}\, S \geq \operatorname{rg} S$. 8. On suppose dans cette partie que le rang du projecteur $P$ est égal à $1$. Démontrer qu’il existe $\mu \in \mathbb{R}$ tel que $PTP = \mu P$. 9. Soit $\mathcal{C} = (f_1, f_2, \ldots, f_n)$ une base de $X$ adaptée à la décomposition $X = \mathrm{R}(P) \oplus \mathrm{N}(P)$. Montrer que dans la base $\mathcal{C}$ la matrice représentant $T$ s’écrit \[ T_\mathcal{C} = \begin{bmatrix} \mu & * \\ * & B \end{bmatrix} \] où $\mu$ est le nombre réel dont l’existence découle de la question 8, et $B \in M_{n-1}$. 10. Montrer que si $P’TP’$ n’est pas proportionnel à $P’$, alors $B$, défini en (1), n’est pas la matrice d’une homothétie. On rappelle que $P’ = I – P$.} 11. On suppose dans cette partie que l’endomorphisme $T$ n’est pas une homothétie. Démontrer qu’il existe un vecteur $x \in X$ tel que $x$ et $Tx$ ne soient pas liés (c’est-à-dire ne soient pas colinéaires). 12. Montrer qu’il existe une base $B = (e_1, e_2, \ldots, e_n)$ dans laquelle la matrice $T_B$ est de la forme suivante~: \[ T_B = \begin{bmatrix} 0 & * & \cdots & * \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A \end{bmatrix} \] où $A \in M_{n-1}$. 13. En déduire que si $\mathrm{tr}\, T=0$, il existe une base $B’$ dans laquelle la diagonale de $T_{B’}$ est nulle. 14. Soit $t_i$, $i = 1, \ldots, n$ une suite de $n$ nombres réels vérifiant $\mathrm{tr}\, T= \sum_{i=1}^n t_i$. En dimension $n = 2$, démontrer qu’il existe une base $B”$ dans laquelle $T_{B”}$ ait pour éléments diagonaux les $t_i$, $i=1,2$. 15. Soit $t \in \mathbb{R}$, on admettra qu’en dimension $n \geq 3$, il existe un projecteur $L$ de $X$ de rang $1$, tel que d’une part $LTL = tL$ et d’autre part $L’ T L’$ ne soit pas proportionnel à $L’ = I – L$. En dimension $n \geq 3$, à l’aide des questions 9 et 10 démontrer qu’il existe une base $\mathcal{C}$ dans laquelle la matrice représentant $T$ s’écrit \[ T_\mathcal{C}= \begin{bmatrix} t_1 & * \\ * & B \end{bmatrix} \] où $B$ n’est pas une homothétie.} 16. En dimension $n \geq 3$, démontrer par récurrence qu’il existe une base $B”$ dans laquelle $T_{B”}$ ait pour éléments diagonaux les $t_i$, $i = 1, \ldots, n$. 17. On suppose désormais que $T$ est un endomorphisme de $X$ vérifiant $\mathrm{tr}\, T \in \mathbb{N}$ et $\mathrm{tr}\, T \geq \operatorname{rg} T$. On pose $\rho = \operatorname{rg} T$ et $\theta = \mathrm{tr}\, T$. Montrer qu’il existe une base $B$ dans laquelle $T_B$ est de la forme suivante~: \[ \begin{pmatrix} T_1 & O \\ T_2 & O \end{pmatrix} \] où $T_1$ est une matrice de taille $\rho \times \rho$. 18. Supposons tout d’abord que $T_1$ ne soit pas la matrice d’une homothétie. À l’aide de la question 16 montrer qu’il existe une base $B’$ dans laquelle \[ T_{B’} = \begin{bmatrix} t_1 & * & \cdots \\ * & \ddots & \\ & & t_{\rho} \\ & O & \end{bmatrix} \] où les $t_i$, $i=1,\ldots,\rho$ sont des entiers non nuls. 19. En déduire que $T$ est la somme d’un nombre fini de projecteurs. 20. On suppose maintenant que $T_1$ est la matrice d’une homothétie. Démontrer que là encore, $T$ est la somme d’un nombre fini de projecteurs.}FAQ
C’est une propriété fondamentale de la trace ! En effet, si tu écris explicitement les sommes des produits des coefficients, tu verras que les termes s’arrangent différemment mais donnent le même résultat. C’est un classique à connaître pour les épreuves écrites comme Mines-Ponts.
La trace est un invariant par changement de base. Pour le démontrer, tu peux utiliser la relation de changement de base et la propriété de la question précédente. C’est une question typique qui peut tomber à l’oral comme à l’écrit.
C’est une propriété caractéristique des projecteurs ! Si P est un projecteur, alors X = Im(P) ⊕ Ker(P). C’est une décomposition fondamentale en algèbre linéaire, très utile pour les problèmes de réduction.
C’est une conséquence directe de la décomposition précédente ! Dans une base adaptée, la matrice d’un projecteur est diagonale avec des 1 et des 0. Le rang compte les 1, et la trace aussi. Un résultat à connaître absolument !
C’est immédiat en vérifiant les propriétés d’un projecteur ! Tu peux aussi remarquer que I-P est le projecteur sur Ker(P) parallèlement à Im(P). C’est un exercice classique de manipulation des projecteurs.
La formule de Grassmann te dit que dim(F+G) = dim(F) + dim(G) – dim(F∩G). C’est une formule fondamentale en algèbre linéaire, très utile pour les problèmes de dimension.
C’est une conséquence des propriétés des projecteurs ! Chaque projecteur a une trace égale à son rang, qui est un entier. La somme de traces d’entiers est un entier, et comme la trace est supérieure ou égale au rang, c’est un entier naturel.
Pour un projecteur P de rang 1, tu peux montrer qu’il existe un vecteur u et une forme linéaire φ tels que P(x) = φ(x)u. Ensuite, en composant avec T, tu obtiens PTP = μP avec μ = φ(T(u)) qui est un réel.
En utilisant la décomposition X = Im(P) ⊕ Ker(P), tu peux construire une base où les premiers vecteurs forment une base de Im(P) et les autres une base de Ker(P). Dans cette base, la matrice de T aura une structure bloc particulière avec un coefficient μ en haut à gauche.
Si P’TP’ n’est pas proportionnel à P’, alors dans la base adaptée, le bloc B ne peut pas être une homothétie. En effet, si B était une homothétie, P’TP’ serait proportionnel à P’, ce qui contredit l’hypothèse.
Si T n’est pas une homothétie, il existe au moins deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. En prenant x comme somme de ces deux vecteurs propres, x et Tx ne seront pas colinéaires.
En utilisant le résultat précédent, tu peux construire une base où le premier vecteur est x et le second Tx. Les autres vecteurs complètent la base. Dans cette base, la matrice de T aura une forme particulière avec des 1 et des 0 bien placés.
Si tr(T) = 0, tu peux utiliser la forme matricielle précédente et ajuster les coefficients diagonaux pour qu’ils s’annulent mutuellement. En particulier, en dimension 2, tu peux obtenir une matrice avec diagonale nulle.
En dimension 2, si tu as deux valeurs propres distinctes, tu peux diagonaliser T. Si T a une seule valeur propre, c’est une homothétie et la matrice est déjà diagonale. Dans tous les cas, tu peux obtenir une matrice diagonale avec les t_i sur la diagonale.
En dimension n ≥ 3, tu peux utiliser un projecteur de rang 1 pour obtenir une décomposition bloc de T. Le projecteur L te permet d’isoler un coefficient diagonal t1, et le reste de la matrice B n’est pas une homothétie.
Par récurrence sur la dimension, tu peux construire une base où les coefficients diagonaux sont les t_i. En utilisant les résultats précédents, tu peux ajuster la base pour obtenir la forme diagonale souhaitée.
En utilisant la décomposition liée au rang, tu peux obtenir une matrice où les ρ premières lignes forment une matrice T1 de taille ρ×ρ, et le reste est nul. C’est une forme très utile pour étudier les propriétés de T.
Si T1 n’est pas une homothétie, tu peux utiliser les résultats précédents pour obtenir une matrice diagonale par blocs. Les coefficients diagonaux seront les t_i, et tu pourras exprimer T comme somme de projecteurs.
En utilisant la forme diagonale obtenue, tu peux décomposer T en une somme de projecteurs sur les sous-espaces propres. Chaque projecteur correspond à une valeur propre non nulle.
Si T1 est une homothétie, c’est encore plus simple ! Tu peux exprimer T comme un multiple de l’identité sur Im(P) et zéro sur Ker(P). Dans ce cas aussi, T est somme de projecteurs.