Questions du sujet
1. Montrer que si $f$ appartient à $C^0$ alors $T f$ aussi. 2. Montrer que pour tout élément $f$ de $C^0$ on a l’inégalité $ \|T f\|_\infty \leq \|f\|_\infty $ puis que $\sup_{\|f\|_\infty=1} \|T f\|_\infty = 1$. 3. Montrer que $H_0$ est stable par $T$. 4. Expliciter la projection $P$ sur $D$ parallèlement à $H_0$. 5. Déterminer $T e_k$ (respectivement $P e_k$) pour tout entier relatif $k$ et en déduire que les espaces $E_n$ sont $T$-stables (respectivement $P$-stables).} 6. Calculer les valeurs propres de $T_2$. L’endomorphisme $T_2$ est-il diagonalisable ? 7. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $k$ l’unique entier tel que $2^{k-1} \leq n < 2^k$. Montrer pour tout entier $p > k$, l’identité suivante : $T^p_n = P_n$. 8. Calculer les coefficients de Fourier de $T f$ en fonction de ceux de $f$ pour tout $f \in C^0$. 9. Déterminer le noyau de $T$. 10. Montrer que $C^\alpha$ est stable par $T$.} 11. Montrer que pour tout $f \in C^\alpha$, $\|T_\alpha f\|_\alpha \leq \|f\|_\alpha$ puis que $\sup_{\|f\|_\alpha = 1} \|T_\alpha f\|_\alpha = 1$. 12. Soit $\lambda$ un nombre complexe de module strictement inférieur à 1. On pose, pour tout réel $x$, $$ S_n(x) = \sum_{k=0}^n \lambda^k e_{2^k}(x). $$ Montrer que la série de fonctions $\sum_k \lambda^k e_{2^k}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ vers une fonction $f_\lambda \in C^0$. 13. On admettra, que dans ce cas, la suite $(S_n,\, n > 0)$ converge dans l’espace vectoriel $(C^0, \| \cdot \|_\infty)$ vers $f_\lambda$ : $$ \lim_{n \to +\infty} \| S_n – f_\lambda \|_\infty = 0. $$ Montrer qu’alors $T f_\lambda = \lambda f_\lambda$. Est-ce que $\lambda$ est une valeur propre de $T$ ? 14. Soit maintenant $\lambda$ tel que $|\lambda| \leq 2^{-\alpha}$ et deux réels $x$ et $y$ tels que $2^{-n-1} < |x-y| \leq 2^{-n}$. En considérant séparément les sommes avec $k \leq n$ et $k > n$ dans la série ayant pour valeur $f_\lambda(x) – f_\lambda(y)$, montrer que $f_\lambda \in C^\alpha$. 15. Montrer que $T_\alpha$ laisse invariant $H_\alpha = H_0 \cap C^\alpha$.} 16. Soit $f \in C^0$, montrer que $$ T^n f(x) = 2^{-n} \sum_{k=0}^{2^n-1} f\left(k2^{-n} + x2^{-n}\right). $$ 17. Établir, pour $f \in C^\alpha$, l’inégalité suivante : $$ \sup_{x \in [0,1]} \left| T_\alpha^n f(x) – \int_0^1 f(t)\,dt \right| \leq 2^{-n\alpha} m_\alpha(f). $$ 18. Montrer que si $f \in H_\alpha$ alors pour tout entier $n$, l’inégalité suivante est vérifiée : $$ \|T_\alpha^n f\|_\alpha \leq 2^{1-n\alpha} \|f\|_\alpha. $$ 19. En déduire que l’ensemble des valeurs propres de $T_\alpha$ est la réunion du singleton $\{1\}$ et du disque fermé de centre $0$ et de rayon $2^{-\alpha}$ (phénomène de trou spectral).}FAQ
Le sujet de mathématiques Mines-Ponts 2009 PC touche à plusieurs notions de l’analyse fonctionnelle : espaces de fonctions continues, opérateurs linéaires (comme les endomorphismes de type T), les projections, stabilité des sous-espaces, séries de fonctions, convergence de séries, coefficients de Fourier, valeurs propres, diagonalisabilité, espaces de Hölder et normes associées, ainsi que le phénomène de trou spectral. Tu y travailleras aussi la manipulation des outils classiques comme les suites, les espaces de Banach, et le raisonnement par récurrence.
La stabilité d’un espace par un opérateur signifie que l’application de l’opérateur à n’importe quel élément de cet espace renvoie encore un élément de ce même espace. C’est crucial, par exemple, quand tu travailles avec des sous-espaces invariants pour réduire la complexité d’un problème, ou pour étudier les propriétés spectrales d’un opérateur sur une base restreinte. Dans le sujet, ça intervient quand on cherche à montrer que H₀ ou C^α sont stables par T, ou encore pour comprendre les sous-espaces propres.
Le phénomène de trou spectral fait référence à la situation où, dans l’étude du spectre d’un opérateur (les valeurs propres), il existe une « zone vide » entre le plus grand module d’une valeur propre isolée (ici 1) et le reste du spectre (généralement contenu dans un disque de rayon strictement inférieur, comme 2^{-α}). Cela a des conséquences profondes en analyse fonctionnelle et en convergence des suites d’opérateurs : une telle propriété permet de montrer la vitesse de convergence vers la projection sur l’ensemble des fonctions invariantes par T. Si tu veux approfondir cette notion, débloque les corrigés sur Prépa Booster pour voir des explications détaillées et des exercices d’entraînement adaptés.
Commence toujours par identifier la nature des espaces (C⁰, C^α, sous-espaces invariants), puis comprends précisément la définition de ton opérateur (ici T ou T_α). N’oublie pas de vérifier sa linéarité, d’étudier son image, son noyau, et sa norme. Aborde chaque question avec rigueur, ne néglige pas les démonstrations de stabilité ou d’inégalités de norme, qui sont souvent demandées. Enfin, relie toujours les concepts à des exemples simples que tu maîtrises. Pour progresser rapidement, l’idéal est de t’appuyer sur les corrigés et supports pédagogiques fournis par Prépa Booster.
Les séries de Fourier sont omniprésentes en mathématiques appliquées, en physique et dans de nombreux sujets de concours. Elles permettent de décomposer une fonction en une somme de sinusoïdes, ce qui simplifie l’étude d’opérateurs linéaires sur des espaces fonctionnels, comme on le voit ici avec T et ses effets sur les coefficients de Fourier. Bien maîtriser le calcul, la convergence et l’interprétation de ces séries te donne un vrai avantage, tant pour les oraux que pour les écrits des concours scientifiques.
L’espace de Hölder C^α, pour α entre 0 et 1, regroupe les fonctions continues sur [0,1] qui vérifient une borne sur la croissance de leurs variations – c’est ce qu’on appelle une régularité intermédiaire entre la simple continuité et la dérivabilité. Dans ce sujet, c’est central pour étudier la stabilité de l’opérateur et affiner les inégalités de norme. Cela t’oblige à manipuler de nouveaux outils (norme de Hölder, majoration des accroissements finis) très utiles dans tout le spectre de l’analyse moderne.
Oui, la notion de projection sur un sous-espace selon une direction fixée est un pilier de l’algèbre linéaire et de l’analyse fonctionnelle. On la retrouve partout : en géométrie (projections orthogonales), en résolution d’équations différentielles (méthode de variation de la constante), en statistiques (méthode des moindres carrés), en physique quantique (mesure d’observables). Pour le concours, c’est un réflexe capital à avoir dès qu’on étudie une famille génératrice ou qu’on travaille sur des endomorphismes. Si tu veux vraiment progresser sur ce thème, n’oublie pas de consulter les exercices corrigés de Prépa Booster.
La récurrence est incontournable pour prouver des identités impliquant des opérateurs appliqués plusieurs fois (comme T^n ou T_α^n), ou pour manipuler des suites de sommes, de fonctions, ou d’espaces indexés par un entier. Dans le cadre de ce sujet, elle sert souvent à établir des formules fermées, à montrer des propriétés d’invariance ou à justifier la convergence rapide vers une solution particulière. Fais-en un réflexe systématique en concours !