Questions du sujet
1. Montrer que $kMNk \leq kMk\ kNk$ pour toutes les matrices $M \in M_{n,r}(K)$ et $N \in M_{r,m}(K)$. 2. Montrer que $kPk = 1$. 3. Montrer que pour tout $k \geq 1$, $P^k$ est une matrice stochastique. 4. Montrer que l’existence d’un pseudo-inverse implique que $\textrm{rang}(a) = \textrm{rang}(a^2)$. 5. Montrer que le noyau et l’image de $a$ sont en somme directe : $\mathbb{R}^n = \textrm{Im}(a) \oplus \textrm{Ker}(a)$.} 6. Montrer qu’il existe $B \in M_{r,r}(\mathbb{R})$, $B$ inversible et $W \in M_{n,n}(\mathbb{R})$, $W$ inversible, telles que $A = W \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} W^{-1}$. 7. Montrer que $A$ admet au moins un pseudo-inverse. 8. Montrer que $\textrm{Ker}(a)$ et $\textrm{Im}(a)$ sont stables par $a^0$ et montrer qu’il existe $D \in M_{r,r}(\mathbb{R})$ telle que $A^{0} = W \begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} W^{-1}$. 9. Montrer que $a a^{0}$ est un projecteur dont on précisera le noyau et l’image en fonction de ceux de $a$ et préciser ce que vaut $W^{-1}(A A^{0}) W$. 10. Montrer que $A$ admet au plus un pseudo-inverse.} 11. Montrer que $a^c \circ a^c = (a^2)^c$. 12. Montrer que $a^c(\mathbb{C}^n) = (a^2)^c(\mathbb{C}^n)$. 13. Montrer que $\textrm{rang}(a) = \textrm{rang}(a^2) = n – 1$. 14. Soit $C \in M_{n,n}(\mathbb{R})$ inversible. Établir, pour tout entier non nul $k$, l’identité $ \sum_{j=0}^{k-1}(I_n – C)^{j} = (I_n – (I_n – C)^k) C^{-1}$. 15. Établir, pour tout entier non nul $k$, l’identité suivante : $\sum_{j=0}^{k-1} P^j = (I_n – P^k)A^0 + k(I_n – A A^0)$.} 16. Montrer que $$ \lim_{k \to +\infty} \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} P^j $$ existe et donner sa valeur. 17. Montrer que $(I_n – AA^0)$ est stochastique et que $(I_n – AA^0)A = 0$. 18. Montrer que $I_n – AA^0 = J_n X_\infty$.}FAQ
Une matrice stochastique est une matrice carrée dont les coefficients sont réels, positifs ou nuls, et dont la somme sur chaque ligne vaut 1. Ce type de matrice modélise fréquemment des chaînes de Markov ou des systèmes probabilistes. Au concours Mines-Ponts, on aime ce concept parce qu’il croise probabilités et algèbre linéaire, tout en étant applicable à de nombreux contextes d’exercices (transitions, processus itératifs, etc). N’oublie pas qu’en CPGE, tout lien entre plusieurs notions clefs te fera gagner des points au corrigé !
Le pseudo-inverse d’une matrice, souvent noté A⁰ ou A⁺, est un outil incontournable pour traiter les cas où A n’est pas inversible. Il permet de résoudre des systèmes linéaires “au mieux” (au sens des moindres carrés) lorsqu’il n’y a pas de solution unique, ou même pas de solution du tout. Dans ce sujet, il structure l’étude des applications linéaires de rang non plein, et t’invite à réfléchir aux propriétés de noyau, image et stabilité. Comprendre sa construction est une astuce récurrente pour débloquer les corrigés d’exercices de niveau concours.
Un projecteur est un endomorphisme (ou une matrice) qui vérifie l’égalité P² = P. C’est l’outil de base pour décomposer un espace vectoriel en somme directe : image et noyau sont alors complémentaires. Le concours Mines-Ponts raffole de cette notion car elle illustre parfaitement la rigueur de l’algèbre linéaire en CPGE : chaque fois qu’il apparaît, vérifie soigneusement qui sont l’image et le noyau du projecteur ! Pour progresser et apprendre à structurer l’argumentation attendue au concours, pense à débloquer les corrigés de l’épreuve sur Prépa Booster.
Pas de panique, le théorème du rang est fondamental : il assure que pour toute application linéaire de E dans F, dim(E) = rang(a) + dim(ker a). Les sujets type Mines-Ponts jouent sur le rang des composées (a², etc.), souvent en lien avec la stabilité du noyau et de l’image. Savoir manipuler le théorème du rang, et relier rang(a), rang(a²) et le rang de pseudo-inverses, c’est maîtriser les bases de l’analyse matricielle attendue en PC.
Savoir que Im(a) et Ker(a) sont en somme directe, c’est garantir que tout vecteur se décompose de façon unique sur ces sous-espaces. C’est crucial dans une démonstration, pour justifier l’existence d’une base adaptée, ou construire des matrices de passage lors de la réduction. Au concours Mines-Ponts, cet argument revient souvent lorsque tu manipules des pseudo-inverses ou des projecteurs. N’hésite pas à t’entraîner sur les énoncés disponibles et à consulter les exercices corrigés pour t’entraîner à cette rédaction spécifique.
Ce type de matrice traduit une réduction en blocs fondée sur le choix d’une base adaptée à l’image et au noyau ; c’est une stratégie gagnante pour exhiber des propriétés essentielles (rang, stabilité, projecteurs, pseudo-inverse…). Au concours, cela fait partie des “trucs de pros” : si tu repères cette forme, c’est presque gagné pour toute la suite du raisonnement !
Retenir que l’itération d’une matrice (P, stochastique ou non) mène à des questions de convergence, de stabilité ou de projecteur associé. Savoir analyser $\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} P^j$, c’est relier algèbre linéaire et analyse, et prouver ta maîtrise des méthodes de convergence matricielle. Tu pourras retrouver des corrigés détaillés sur ces méthodes en débloquant l’accès sur Prépa Booster !