Questions du sujet
1. Montrer les inégalités suivantes :\\ \[ \ln(1 + t) \leq t, \quad \text{pour tout } t \in ] – 1, + \infty [, \] \[ t\ln(t) \geq -\frac{1}{e}, \quad \text{pour tout } t \in ]0, +\infty[. \] 2. Soit $\psi$ une bijection de l’intervalle ouvert $I$ sur l’intervalle ouvert $J$. Si $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\psi$ soit un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $I$ sur $J$. Dans ce cas, rappeler l’expression de la dérivée de $\psi^{-1}$. 3. Soit $F_f$ définie par \[ F_f(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u) e^{-u^2/2} \, du. \] En particulier \[ F_1(x) = \int_{-\infty}^{x} e^{-u^2/2} \, du. \] Montrer que $F_f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}$ sur $]0, \sqrt{2\pi}[$. 4. Montrer qu’il existe une unique fonction $\varphi$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout réel $x$, on ait \[ \int_{-\infty}^{\varphi(x)} f(u)e^{-u^2/2}\,du = \int_{-\infty}^{x} e^{-u^2/2}\,du. \] 5. Montrer que $\varphi$ est monotone et que $\varphi$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$.} 6. Pour tout réel $x$, calculer \[ \ln(\varphi'(x)) + \ln(f(\varphi(x))) – \frac{1}{2}\varphi(x)^2, \] et \[ \ln((\varphi^{-1})'(x)) – \ln(f(x)) – \frac{1}{2}(\varphi^{-1}(x))^2. \] 7. Soit $h$ une fonction continue par morceaux de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que la fonction $u \mapsto h(u)f(u) e^{-u^2/2}$ soit intégrable sur $\mathbb{R}$.\\ Montrer l’identité suivante : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} h(u)f(u)e^{-u^2/2} du = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\varphi(u))e^{-u^2/2} du. \] 8. Montrer qu’il existe un réel $A > 0$ tel que pour tout réel $x \geq A$, on ait : \[ \int_{x}^{x+1} \varphi^2(u) e^{-u^2/2} du \geq \varphi^2(x) e^{-(x+1)^2/2}. \] 9. Montrer qu’il existe un réel $B > 0$ tel que pour tout réel $|u| \geq B$, on ait : \[ |\varphi(u)| \leq e^{(|u|+1)^2/4}. \] 10. Déterminer une primitive de la fonction \[ u \mapsto [u\varphi(u) – u^2 – \varphi'(u) + 1]e^{-u^2/2}. \]} 11. Calculer l’intégrale suivante \[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} [u\varphi(u) – u^2 – \varphi'(u) + 1]e^{-u^2/2} du. \] 12. Justifier la convergence de ces deux intégrales : \[ E(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \ln(f(u))e^{-u^2/2} du,\qquad \Phi(f) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} |u – \varphi(u)|^2 e^{-u^2/2} du. \] 13. Montrer l’identité : \[ E(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \ln(f(\varphi(u)))e^{-u^2/2} du. \] 14. Montrer l’égalité suivante : \[ E(f) – \Phi(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} [\varphi'(u) – 1 – \ln(\varphi'(u))]\, e^{-u^2/2} du. \] 15. Quelle est la relation d’ordre entre $\Phi(f)$ et $E(f)$?} 16. Déterminer les fonctions telles que $E(f) = \Phi(f)$.}FAQ
Ce sujet aborde plusieurs noyaux durs de l’analyse en CPGE scientifique : inégalités classiques sur le logarithme, étude des fonctions de classe C¹ et C¹-difféomorphismes, changement de variables dans les intégrales, et propriétés fines de la fonction gaussienne. Les techniques de dérivation, d’inversion de fonctions et de calcul intégral sur ℝ sont omniprésentes dans ce sujet.
Un C¹-difféomorphisme est une bijection de classe C¹ (c’est-à-dire continûment dérivable) dont la réciproque est aussi de classe C¹. Cette propriété garantit la « réversibilité » locale par changement de variable, point clé lorsque l’on manipule des fonctions inverses dans les changements d’intégration, comme dans ce sujet. Savoir repérer et justifier le caractère de difféomorphisme permet d’être solide sur tous les transferts de propriété entre la fonction et sa réciproque.
La fonction gaussienne (ici e^{-u²/2}) sert de poids dans la plupart des intégrales du sujet. Elle est omniprésente dès qu’il s’agit de probabilités ou d’études d’intégrales sur ℝ dont la convergence dépend d’une décroissance rapide à l’infini. En prépa, il est indispensable de savoir manipuler ses propriétés, en particulier pour tous les calculs d’intégrales généralisées et l’utilisation de la formule de changement de variables. Petite astuce : entraîne-toi à calculer sa dérivée, ses primitives sur des intervalles variés et à justifier pourquoi elle assure la convergence de certaines intégrales cruciales.
Pour ce genre d’intégrale, tout se joue dans l’estimation fine de l’intégrande à l’infini. Il faut contrôler la croissance éventuelle des fonctions (ici f, φ et leurs composées) par rapport à la décroissance de la gaussienne. On applique souvent des inégalités au voisinage de ±∞ pour montrer que le produit décroît suffisamment vite pour rendre l’intégrale finie. Savoir manipuler la notion de majoration et faire un changement de variable astucieux, c’est la clé !
Ce sujet fait le pont entre l’analyse pure et la théorie des probabilités, par l’utilisation répétée de fonctions gaussiennes et la construction de fonctions bijectives intervenant dans les lois de probabilité continues. Les intégrales ressemblent fortement à des espérances mathématiques, et certains passages utilisent des outils qu’on retrouve en probabilités (transformation d’une densité, changement de variable, entropie). C’est un excellent entraînement pour te préparer à l’oral où ces liens interdisciplinaires sont souvent mis en avant.
Pour montrer l’unicité d’une fonction vérifiant une propriété intégrale, il faut scruter les propriétés d’injectivité, puis utiliser une hypothèse de monotonie ou dériver l’égalité pour aboutir à une équation différentielle. Il est essentiel d’identifier les possibilités d’égalité des applications obtenues, et de bien motiver chaque étape algébrique ou analytique. L’unicité repose fréquemment sur les propriétés strictes de croissance ou décroissance.
Les inégalités comme ln(1+t) ≤ t ou tln(t) ≥ -1/e sont de vrais basiques d’attaque pour contrôler la croissance des fonctions dans les intégrales ou lors de l’étude de convergences. Elles servent à majorer ou minorer des termes, à assurer la convergence d’intégrales et à garantir que certaines conditions d’application de théorèmes sont bien vérifiées. Quand tu tombes sur un logarithme, pense toujours à vérifier si une bonne vieille inégalité classique ne te donnerait pas le coup de pouce attendu !
Tout se joue sur la logique des chaines d’implication, la clarté du style, et le soin porté aux justifications de passage à la limite, de changement de variable et de manipulation de fonctions définies par intégrales. Lis régulièrement des corrigés détaillés, et compare-les à tes propres brouillons pour identifier où tu peux gagner en rigueur. Pour aller encore plus loin et t’entraîner avec le dashboard personnalisé de Prépa Booster, pense à débloquer les corrigés disponibles !
La clé, c’est de t’assurer une parfaite maîtrise des fondamentaux du programme (analyse, probabilités, fonctions, intégrales, équations différentielles…), d’être rapide sur les calculs d’estimations et de justifications élémentaires, et surtout de t’entraîner régulièrement sur des sujets d’annales pour identifier la trame classique des raisonnements attendus. Les corrigés détaillés et les dashboards personnalisés proposés par Prépa Booster sont là pour t’accompagner tout au long de l’année vers la réussite !