Questions du sujet
1. Démontrer les inégalités suivantes : \[ \ln F (n) – \ln F (n – 1) \leq \frac{\ln F (n + x) – \ln F (n)}{x} \leq \ln F (n + 1) – \ln F (n). \] 2. Calculer $F(n)$. En déduire un encadrement de $F(n + x)$ à l’aide des deux expressions $(n – 1)^x\,(n – 1)!$ et $n^x (n – 1)!$. 3. Établir la relation qui lie, pour tout entier $p$ supérieur ou égal à $1$ ($p \geq 1$), $F(p + x)$ à $F(x)$. 4. En déduire les inégalités suivantes : \[ \left(\frac{n}{x+n}\right) F(x) \leq \frac{n^x n!}{x (x+1)\ldots(x+n)} \leq F(x). \] 5. Déterminer, en supposant le réel $x$ appartenir à l’intervalle semi-ouvert $]0, 1]$, la limite de la suite $(u_n(x))_{n\in\mathbb{N}^*}$ lorsque l’entier $n$ croît indéfiniment.} 6. En déduire la limite de la suite $(u_n(x))_{n\in\mathbb{N}^*}$ lorsque l’entier $n$ croît indéfiniment, pour tout réel $x$ strictement positif. 7. En déduire qu’il existe au plus une fonction $F$ définie sur la demi-droite $]0, \infty[$, strictement positive, vérifiant les propriétés i, ii et iii. 8. Étudier, pour un réel $x$ donné, l’intégrabilité de la fonction $t \mapsto t^{x – 1} e^{- t}$ sur la demi-droite ouverte $]0, \infty[$. 9. Établir que cette fonction $\Gamma$ est strictement positive ($\Gamma(x) > 0$). 10. Établir que cette fonction $\Gamma$ est deux fois continûment dérivable sur la demi-droite ouverte $]0, \infty[$. Donner les expressions de ces dérivées. Préciser l’expression de la dérivée de la fonction $\Gamma$ pour $x = 1$, $\Gamma'(1)$, au moyen d’une intégrale.} 11. Démontrer que la fonction $\Gamma$ est la fonction $F$ étudiée dans les questions précédentes. 12. Déterminer, à l’aide des résultats obtenus précédemment, la limite de $g_n(x)$ lorsque l’entier $n$ croît vers l’infini et que le réel $x$ appartient à la demi-droite ouverte $]0, \infty[$. 13. Il est admis que chaque fonction $v_n$, $n \in \mathbb{N}^*$, est continûment dérivable ; démontrer que la série des fonctions dérivées, de terme général $v_n'(x)$, $n \in \mathbb{N}^*$, est convergente pour tout $x$ strictement positif puis uniformément convergente sur tout segment $[a, b]$ contenu dans la demi-droite ouverte $]0, \infty[$. 14. En déduire la limite de la suite des fonctions dérivées $g_n’$. 15. Que vaut $\Gamma'(1)$ au moyen de la constante d’Euler $\gamma$ ?} 16. Étudier la convergence de la série de terme général $w_n, n\in\mathbb{N}$, défini par la relation suivante : \[ w_n = \frac{(-1)^n}{(2n + 1)^s}. \] 17. Démontrer que la série entière de terme général \[ \frac{(-1)^n}{2n+1}\,x^{2n+1},\ n\in\mathbb{N}, \] est uniformément convergente sur le segment $[0, 1]$. Soit $\varphi(x)$ la somme de cette série : \[ \varphi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}. \] Déterminer la fonction $\varphi$ définie sur le segment $[0, 1]$. En déduire $L(1)$. 18. Soit $h_s$ la fonction définie sur la demi-droite ouverte $]0, \infty[$, par la relation suivante : \[ h_s(x) = \frac{\ln x}{x^s}. \] Étudier les variations de la fonction $h_s$ sur son ensemble de définition. Soit $x_s$ l’abscisse du maximum de cette fonction. Préciser les variations de la fonction $s \mapsto x_s$. 19. Démontrer que la fonction $L$ est continûment dérivable sur la demi-droite ouverte $]0, \infty[$. Exprimer la valeur prise en $1$ par la fonction dérivée $L’$, $L'(1)$, au moyen de la somme d’une série. 20. Calculer, pour tout entier $n$ strictement positif ($n\in\mathbb{N}^*$), au moyen d’une valeur prise par la fonction $\Gamma$, l’intégrale suivante : \[ I_n = \int_0^{\infty} e^{-nt} t^{s-1} dt. \] } 21. Démontrer la relation : \[ L(s)\,\Gamma(s) = \int_0^{\infty} \frac{e^{-t}}{1 + e^{-2t}} t^{s-1} dt. \] 22. Après avoir donné au réel $s$ la valeur $1$, effectuer le changement de variable $u = e^t$ dans l’intégrale. Effectuer un nouveau changement de variables pour obtenir l’intégrale $I$ définie dans le préambule : \[ I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln (\ln (\tan x))\, dx. \] En déduire une expression de l’intégrale $I$ à l’aide de la constante d’Euler et de la somme d’une série.}FAQ
Tu vas retrouver dans ce sujet pas mal de notions centrales du programme CPGE scientifique, notamment l’étude des suites et séries, les inégalités de convexité, les propriétés des fonctions (positivité, dérivabilité, continuité), l’étude de la fonction Gamma (avec intégrales et limites), la manipulation de produits et quotients infinis, ainsi que plusieurs questions de convergence et d’approximation. Cet éventail balaye à la fois l’algèbre, l’analyse et la théorie des fonctions spéciales, pilier du concours Mines-Ponts en PC.
Difficile de faire l’impasse sur la fonction Gamma, elle est omniprésente en analyse car c’est l’extension naturelle de la factorielle au domaine des réels et même des complexes. En concours comme Mines-Ponts, elle sert souvent de fil rouge pour explorer des intégrales, des séries, la dérivation sous le signe somme ou intégrale et l’approximation asymptotique. Sa connaissance t’aidera aussi bien pour les calculs d’intégrales classiques que pour les questions plus pointues sur les séries et produits infinis.
Dans ce sujet, on t’invite à manipuler la convergence simple (convergence point par point) et la convergence uniforme, notamment lors des études de séries de fonctions et de suites de fonctions dérivées. Saisir la nuance, c’est allier rigueur d’analyse et capacité à maîtriser les justifications d’échanges limite-intégrale ou somme-dérivée. Retenir qu’une convergence uniforme est toujours plus forte et qu’elle assure des propriétés comme continuité ou intégrabilité du passage à la limite dans une série de fonctions.
Maîtriser l’encadrement, c’est crucial pour évaluer la précision d’une approximation ou obtenir des inégalités clés pour majorer ou minorer une suite/inégrale. En concours, on te demande souvent un double encadrement pour en déduire une limite ou une propriété qualitative. Réussir cette étape, c’est avoir compris le comportement de l’objet mathématique traité et montrer que tu sais tirer le meilleur parti des estimations et des inégalités.
Un bon réflexe consiste à tester le rayon de convergence via le critère de d’Alembert ou de Cauchy–Hadamard, puis à étudier la convergence sur les bords. Lorsque la série intervient dans l’étude d’une fonction, intéresse-toi aussi à la convergence uniforme, c’est le sésame pour échanger somme et intégration, ou somme et dérivation. Enfin, relie les propriétés de la série à celles de la fonction obtenue (continuité, dérivabilité…).
La constante d’Euler γ émerge naturellement dès qu’on travaille sur les sommes inverses (harmoniques), les développements asymptotiques, ou certaines limites de suites et d’intégrales. Elle fait le lien entre les fonctions logarithmiques et la croissance lente des suites, et tu la retrouveras dans de nombreux contextes, notamment dans l’étude de la fonction Gamma, des séries divergentes ou des calculs fins de limites.
Absolument ! Un sujet comme celui-ci est typique des concours Mines-Ponts : il t’oblige à allier rigueur d’analyse (étude de fonctions, limites, intégrales), techniques algébriques (formules de récurrence, manipulations d’expressions usuelles), et capacité de formuler des démonstrations solides et structurées. Travailler sur l’ensemble du corrigé, que tu peux débloquer sur Prépa Booster, te permet justement de progresser sur tous ces points, en découvrant les astuces et méthodes d’expert attendues en épreuve.