Questions du sujet
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $F$. Étudier les variations de la fonction $F$ et la convexité de son graphe. 2. a. Démontrer que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone croissante. En déduire l’inégalité suivante : $$1 \leq \frac{(n!)^2}{(2n)!}\leq \frac{4^n}{2n!},\quad n = 0,1,2,\ldots$$ En déduire une majoration, sur la demi-droite fermée $[0,+\infty[$, de la fonction $F$ à l’aide de la fonction $x \mapsto \ch(2x)$. 3. b. Démontrer de même une minoration, sur la demi-droite ouverte $]0,+\infty[$, de la fonction $F$ à l’aide de la fonction $x \mapsto \sh(2x)/(2x)$. Pour tout réel $x$ strictement positif, soit $G(x)$ la moyenne géométrique des réels $\ch(2x)$ et $\sh(2x)/(2x)$. Soit $\psi$ la fonction définie, sur la demi-droite ouverte $]0,+\infty[$, par la relation suivante : $$\psi(x) = \frac{e^{2x}}{x}.$$ 4. c. Comparer les deux fonctions $G$ et $\psi$ à l’infini. 5. a. Un résultat préliminaire : soit $x$ un réel strictement positif donné $(x > 0)$ ; calculer pour tout entier naturel $k$ $(k \in \mathbb{N})$, l’intégrale $I_k$ suivante : $$I_k = \int_0^{+\infty} t^k e^{-xt} dt.$$} 6. b. Démontrer que la fonction $t \mapsto F(t) e^{-x t}$ est intégrable sur la demi-droite fermée $[0, +\infty[$ dès que le réel $x$ est strictement supérieur à 2 $(x > 2)$. Déterminer la fonction $\mathcal{L}F$ en calculant $\mathcal{L}F(x)$ au moyen de la somme d’une série. $$\mathcal{L}F(x) = \int_0^{+\infty} F(t) e^{-x t} dt.$$ 7. c. Soit $g$ la somme d’une série entière définie par la relation suivante : $$g(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} t^{2n}.$$ Déterminer l’intervalle ouvert $(-R, R)$ de définition de la fonction $g$. Déterminer au moyen de fonctions élémentaires l’expression de $g(t)$ en utilisant par exemple le développement en série entière de la fonction $u \mapsto \frac{1}{1-u}$. 8. d. En déduire l’expression, pour tout réel $x$ supérieur strictement à 2, de la transformée de Laplace de la fonction $F$. 9. e. Déterminer, en précisant son ensemble de définition, la transformée de Laplace de la fonction $\psi$, définie pour $t>0$ par la relation suivante : $$\psi(t) = \frac{e^{2t}}{t}.$$ Le résultat ci-contre est admis : $$\int_0^{+\infty} e^{-t} t^{-1/2} dt = \sqrt{\pi}.$$ 10. a. Démontrer que si le réel $x_0$ appartient à l’ensemble $I(f)$, alors la demi-droite fermée $[x_0, +\infty[$ est contenue dans $I(f)$.} 11. b. Démontrer que, pour toute fonction $f$ appartenant à l’ensemble $E$, l’ensemble $I(f)$ admet une borne inférieure $\alpha_f$ : $$\alpha_f = \inf\{x\, |\, x \in I(f)\}.$$ En déduire que l’ensemble $I(f)$ est la demi-droite ouverte $]\alpha_f, +\infty[$ ou la demi-droite fermée $[\alpha_f, +\infty[$. 12. c. Démontrer que, pour toute fonction $f$ appartenant à $E$, la fonction $x \mapsto \mathcal{L}f(x)$ est continue sur la demi-droite ouverte $]\alpha_f, +\infty[$. Démontrer que, si la fonction $f$ est positive, la fonction $\mathcal{L}f$ est décroissante ; en déduire que, si $\alpha_f$ appartient à $I(f)$, la fonction $\mathcal{L}f$ est bornée sur la demi-droite fermée $[\alpha_f, +\infty[$. 13. d. Soit $g$ une fonction positive appartenant à l’ensemble $E$, dont la transformée de Laplace $\mathcal{L}g$ est bornée sur la demi-droite ouverte $]\alpha_g, +\infty[$. Démontrer les propriétés suivantes : \\ i/ il existe une constante positive $M$, telle que, pour tout réel $x$ strictement supérieur à $\alpha_g$ $(x > \alpha_g)$ et tout réel positif $A$ : $$\int_0^{A} g(t) e^{-x t} dt \leq M.$$ \\ ii/ En déduire que la transformée de Laplace de la fonction $g$ est définie sur la demi-droite fermée $[\alpha_g, +\infty[$. 14. a. Soient $g$ et $h$ deux fonctions, positives, appartenant à l’espace $E$. Ces deux fonctions sont supposées croître vers l’infini lorsque le réel $t$ tend vers l’infini et être équivalentes à l’infini $g \sim h$. Démontrer que les deux réels $\alpha_g$ et $\alpha_h$ sont égaux. 15. b. Ici $\alpha_h$ n’appartient pas à $I(h)$. Quelle conclusion y-a-t-il lieu d’en tirer sur $\mathcal{L}h(x)$ lorsque le réel $x$ tend vers $\alpha_h$ (par valeurs supérieures)? Démontrer que, pour tout réel positif $\varepsilon$, il existe un réel $A$ tel que, pour $t$ supérieur à $A$, il vienne l’inégalité : $$|g(t) – h(t)| \leq \frac{\varepsilon}{2} |h(t)|.$$ En déduire l’inégalité ci-dessous, pour tout réel $x$ appartenant à la demi-droite ouverte $]\alpha_h, +\infty[$, $$|\mathcal{L}g(x) – \mathcal{L}h(x)| \leq \int_0^A |g(t) – h(t)| e^{-x t} dt + \frac{\varepsilon}{2} \int_A^{+\infty} |h(t)| e^{-x t} dt.$$ Démontrer que les deux fonctions $\mathcal{L}g$ et $\mathcal{L}h$ sont équivalentes lorsque le réel $x$ tend vers $\alpha_h$.} 16. Comparer les transformées de Laplace des fonctions $F$ et $\psi$. Est-il possible de proposer un équivalent à la fonction $F$ à l’infini ? 17. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ fixé, la fonction $k : t \mapsto k(t)$ est définie et continue sur la droite réelle $\mathbb{R}$, périodique et de période $2\pi$. En déduire la valeur de l’intégrale $J$ ci-dessous au moyen du réel $F(x)$ : $$J = \int_0^{2\pi} |k(t)|^2 dt.$$ 18. b. Calculer $k(t)$. En déduire une expression de $|k(t)|^2$. 19. c. En déduire l’expression de $F(x)$ au moyen de l’intégrale $\int_0^{\pi} \exp(2x \cos t)\,dt$. 20. a. Justifier l’existence de ces trois intégrales : \[ h_1(x) = \int_0^{\pi/2} \exp(x \cos t) dt ;\quad h_2(x) = \int_0^1 \exp\left(\frac{x t}{1-t}\right)dt ;\quad h_3(x) = \int_0^1 \exp(x t)(1-t)dt.\]} 21. b. En effectuant d’abord le changement de variable $u = 1-t$ dans l’intégrale servant à calculer $h_2(x)$, déterminer un équivalent de $h_2(x)$ lorsque le réel $x$ tend vers l’infini. 22. c. Déterminer de même un équivalent de $h_3(x)$ lorsque le réel $x$ tend vers l’infini. Le résultat ci-contre est admis : $$\int_0^{+\infty} e^{-u} u\,du = 1.$$ 23. d. Établir la propriété suivante : il existe une constante $C$ telle que, pour tout réel $u$ de l’intervalle semi-ouvert $[0,1[$, la relation ci-dessous soit vraie : $$\frac{1}{(1-u)^2} – \frac{1}{2(1-u)} \leq C(1-u).$$ 24. e. Déduire des résultats précédents un équivalent de $h_1(x)$ à l’infini. 25. Déduire des résultats précédents un équivalent de la fonction $F$ à l’infini.}FAQ
Pour cartonner à cette épreuve, il faut être solide sur l’analyse réelle, la manipulation des suites et séries, l’étude des fonctions (variations, convexité), les intégrales dépendant de paramètres, la transformée de Laplace et la manipulation astucieuse des développements asymptotiques. Tu dois aussi être à l’aise avec les outils classiques comme les équivalents, les séries entières, ou encore les fonctions liées à l’exponentielle. Enfin, quelques notions d’algèbre et de raisonnement sur les ensembles sont utiles pour certains passages du sujet.
La transformée de Laplace, c’est l’un des outils incontournables pour traiter les problèmes d’analyse des équations différentielles ou d’étude des fonctions « en grand ». Elle sert à relier intégrales, séries et croissance des fonctions, un cocktail typique dans ce type d’épreuve. En CPGE, on s’en sert aussi pour lier la théorie à l’application, que ce soit en maths ou en physique. Pour bien gérer ce sujet, il faut savoir la calculer, étudier ses domaines de convergence, exploiter la décroissance des fonctions et parfois établir des équivalents asymptotiques.
Les majorations et minorations sont au cœur de la résolution des questions d’analyse ou de suites/séries. L’astuce, c’est de chercher des encadrements astucieux en utilisant des fonctions ou des suites plus simples à manipuler (par exemple ici avec ch(2x), sh(2x)/(2x), ou l’utilisation d’inégalités classiques sur les factorielles). N’hésite pas à comparer avec des fonctions de référence ou à introduire des inégalités connues (Stirling, Bernoulli, inégalités intégrales…). Entraîne-toi systématiquement à prouver tout encadrement : c’est une habitude à prendre pour briller le jour du concours !
Quand tu dois étudier la convexité ou les variations, pense à calculer soigneusement les dérivées successives et à bien étudier leur signe, sans sauter d’étapes. Ajoute à ça un regard critique sur l’ensemble de définition (surtout pour éviter les pièges sur des domaines étranges). Pour aller au bout, compare si possible avec des courbes connues ou des équivalents à l’infini, et utilise les outils graphiques avec précision. C’est le genre de question qui revient très souvent dans les concours, alors automatise la méthodologie ! Pour approfondir chaque aspect, débloque les corrigés complets sur Prépa Booster.
Étudier le comportement à l’infini permet de comprendre la ‘tendance’ des fonctions : croissance, décroissance, oscillation… C’est clé pour donner des équivalents précis, notamment dans les questions sur la série ou l’intégrale lorsque x→+∞. Le bon réflexe : repère les points dominants, isole-les, et utilise les expansions (Taylor, etc.), les changements de variables ingénieux et les propriétés asymptotiques des fonctions simples comme l’exponentielle. En t’entraînant grâce aux corrigés détaillés et aux dashboards personnalisés de Prépa Booster, tu progresseras rapidement !
L’un des secrets, c’est de repérer comment une suite peut être reliée à une intégrale ou à une fonction génératrice (souvent via des séries entières). Analyse bien la convergence des séries, compare avec des séries de référence (géométrique, exponentielle, série de Taylor) et n’oublie pas la possibilité de passer par une transformée de Laplace ou une intégrale pour obtenir une expression exploitable. Penser à la dualité discrete/continue est toujours payant en maths sup et spé !
Savoir déterminer précisément où une fonction est définie, continue, dérivable, c’est essentiel pour éviter d’écrire des affirmations fausses (et de perdre des points bêtement). Par exemple, beaucoup de propriétés sur la transformée de Laplace ou sur le calcul d’intégrales exigent des conditions précises sur le domaine. Être rigoureux dès le début du sujet, c’est poser de bonnes bases pour une résolution efficace et sans erreurs !
Tu retrouveras souvent ce type de questions car elles offrent des méthodes puissantes pour comparer croissances, simplifier des expressions complexes, ou encore obtenir de jolis équivalents. La maîtrise des formules classiques (Stirling, propriétés sur les binômes et factorielles) est vitale. Dans ce sujet, cela intervient plusieurs fois pour passer des séries à des majorations/minorations efficaces.
Garde toujours l’œil sur le rayon de convergence ! Beaucoup d’élèves font des erreurs en allant trop vite, ou en utilisant des formules hors de leur domaine de validité. Vérifie la convergence, utilise la comparaison avec une série connue, et pense à manipuler prudemment les substitutions ou développements en série entière. Prends quelques minutes pour faire une étude de convergence avant d’utiliser les formules : tu éviteras les pièges du concours !
Le correcteur attend une rédaction claire, précise et structurée. Rappelle les hypothèses au début, expose le plan de ta démonstration, détaille chaque étape, et conclus explicitement. Ce sont ces habitudes qui te feront gagner des points précieux, surtout pour les énoncés longs et classiques du type Mines-Ponts. Si tu veux progresser sur ta méthode ou voir des exemples de rédaction parfaite, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster : tu y trouveras des modèles et des astuces pour chaque exercice.