Questions du sujet
1. Montrer que pour tout \( \theta \in ]-\pi ; \pi[ \), la fonction \( f \) définie par
\[ f : ]0 ; +\infty[ \to \mathbb{C} \]
\[ t \mapsto \frac{t^{x-1}}{1 + t e^{i\theta}} \]
est définie et intégrable sur \( ]0; +\infty[ \).
2. Montrer que la fonction \( r \) est de classe \( C^1 \) sur \( ]-\pi ; \pi[ \) et que :
\[
\forall \theta \in ]-\pi ; \pi[, \quad r'(\theta) = -i e^{i\theta} \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x}}{(1 + t e^{i\theta})^2} dt.
\]
Indication : soit \( \beta \in ]0; \pi[ \), montrer que pour tout \( \theta \in [-\beta; \beta] \) et \( t \in [0, +\infty[ \),
\[
|1 + t e^{i\theta}|^2 \geq |1 + t e^{i\beta}|^2 = (t + \cos(\beta))^2 + (\sin(\beta))^2.
\]
3. Montrer que la fonction \( g \) est de classe \( C^1 \) sur \( ]-\pi; \pi[ \) et que pour tout \( \theta \in ]-\pi; \pi[ \),
\[
g'(\theta) = i e^{ix\theta} \int_{0}^{+\infty} h'(t) dt,
\]
où \( h \) est la fonction définie par
\[
h : ]0; +\infty[ \to \mathbb{C}, \quad t \mapsto \frac{t^x}{1 + t e^{i\theta}}.
\]
Calculer \( h(0) \) et \(\lim_{t \to +\infty} h(t) \). En déduire que la fonction \( g \) est constante sur \( ]-\pi; \pi[ \).
4. Montrer que pour tout \( \theta \in ]0; \pi[ \),
\[
g(\theta) \sin(x\theta) = \frac{1}{2i} [ g(-\theta) e^{ix\theta} – g(\theta) e^{-ix\theta} ] = \sin(\theta) \int_{0}^{+\infty} \frac{t^x}{t^2 + 2t\cos(\theta) + 1} dt.
\]
5. En déduire que :
\[
\forall \theta \in ]0; \pi[, \quad g(\theta) \sin(\theta x) = \int_{\cotan(\theta)}^{+\infty} \frac{u \sin(\theta) – \cos(\theta)}{u^{2x}(1 + u^2)} du,
\]
où \( \cotan(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \).
}
6. Montrer, en utilisant le théorème de convergence dominée, que :
\[
\lim_{\theta \to \pi^-} g(\theta) \sin(x\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{1 + u^2}.
\]
7. En déduire que
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1 + t} dt = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}.
\]
8. Montrer que
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1 + t} dt = \int_{0}^{1} \left[ \frac{t^{x-1}}{1+t} + \frac{t^{-x}}{1+t} \right] dt.
\]
9. Montrer que :
\[
\int_{0}^{1} \frac{t^{x-1}}{1+t} dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+x}.
\]
10. Établir l’identité
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1+t} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+x} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1-x}.
\]}
11. En déduire que l’on a
\[
\frac{\pi}{\sin(\pi x)} = \frac{1}{x} – \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n x}{n^2 – x^2}.
\]
12. En déduire enfin que :
\[
\forall y \in ]0 ; \pi[, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n y \sin(y)}{y^2 – n^2\pi^2} = 1 – \frac{\sin(y)}{y}.
\]
13. Montrer que l’intégrale
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{1 – \cos(t)}{2^{2p+1} t^2} dt
\]
converge et que :
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{1 – \cos(t)}{2^{2p+1} t^2} dt = (2p + 1) \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{2^{2p} t \sin(t)} dt.
\]
14. Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
\[
\int_{\frac{\pi}{2} + n\pi}^{\frac{\pi}{2} + (n-1)\pi} \frac{\cos(t)}{2^{2p} \sin(t) t} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(t)}{2^{2p}} \frac{2(-1)^n t \sin(t)}{t^2 – n^2\pi^2} dt.
\]
15. En déduire que :
\[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{2^{2p}\sin(t)t} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(t)}{2^{2p}} \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n t \sin(t)}{t^2 – n^2\pi^2} \right) dt.
\]}
16. En déduire que :
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{2^{2p} \sin(t) t} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(t)}{2^{2p}} dt.
\]
Dans le cas \( p = 0 \), cette intégrale est communément appelée “Intégrale de Dirichlet”.
17. Montrer que :
\[
(\cos(t))^{2p} = \frac{1}{2^{2p}} \left[ \binom{2p}{p} + 2 \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2p}{k} \cos(2(p-k)t) \right].
\]
Indication : On pourra développer \( \left(\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}\right)^{2p} \).
18. En déduire que :
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{1 – \cos(t)}{2^{2p+1} t^2} dt = \frac{\pi^2}{(2p+1)! 2^{2p} (p!)^2}.
\]
19. Déterminer, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( \mathbb{E}(S_n) \) et \( \mathrm{Var}(S_n) \).
\\
Soient \( S \) et \( T \) deux variables aléatoires indépendantes prenant toutes deux un nombre fini de valeurs réelles. On suppose que \( T \) et \( -T \) suivent la même loi.
20. Montrer que :
\[
\mathbb{E}\left( \frac{\cos(S+T)}{2} \right) = \mathbb{E}\left( \frac{\cos(S)}{2} \right) \mathbb{E}\left( \frac{\cos(T)}{2} \right).
\]}
21. En déduire que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), et pour tout \( t \in \mathbb{R} \) :
\[
\mathbb{E}\left( \frac{\cos(t S_n)}{2} \right) = \frac{\cos(t)}{2^n}.
\]
22. Soient \( a, b \in \mathbb{R} \) tels que \( a \neq 0 \) et \( |b| \leq |a| \). Montrer que
\[
|a + b| = |a| + \text{sgn}(a) b
\]
où \( \text{sgn}(x) = x/|x| \) pour \( x \) réel non nul. En déduire que :
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathbb{E}|S_{2n}| = \mathbb{E}|S_{2n-1}|.
\]
23. Montrer que pour tout \( s \in \mathbb{R} \)
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{1 – \cos(st)}{t^2} dt = \pi^2 \frac{1}{|s|}.
\]
24. En déduire que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
\[
\mathbb{E}|S_n| = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{1 – \cos(t)}{2^n t^2} dt.
\]
25. Conclure que :
\[
\forall n \in \mathbb{N},\qquad \mathbb{E}|S_{2n}| = \mathbb{E}|S_{2n-1}| = \frac{(2n-1)!}{2^{2n-2}((n-1)!)^2}.
\]}