Questions du sujet
1. Justifier que la série entière $\sum_{n \geq 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^n$ a pour rayon de convergence $+\infty$. Qu’en est-il de la série entière $\sum_{n \geq 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^{pn}$ ? 2. Pour $x > 0$ fixé, étudier le signe de la fonction \[ \psi_x : t \in [1, +\infty[ \mapsto t^{1-r}(t-1)^r – x. \] En déduire que $\psi_x$ s’annule en un unique élément de $[1, +\infty[$ que l’on note $t_x$. Montrer que la suite finie $(u_n(x))_{0 \leq n \leq \lfloor t_x \rfloor}$ est croissante et que la suite infinie $(u_n(x))_{n > \lfloor t_x \rfloor}$ est décroissante, où $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière du nombre réel $x$. 3. Pour tout $-\in \mathbb{R}$, déterminer la limite de $\psi_x(x+ -)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. En déduire que $t_x – x – r$ tend vers zéro lorsque $x \to +\infty$. (On pourra s’aider de la définition d’une limite.) 4. Montrer que pour tout entier relatif $k$, $u_{\lfloor x \rfloor+k}(x) \sim u_{\lfloor x \rfloor}(x)$ lorsque $x \to +\infty$. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $x$ au voisinage de $+\infty$, \[ \sum_{i = \lfloor x \rfloor – n}^{\lfloor x \rfloor} u_i(x) > n u_{\lfloor x \rfloor}(x). \] 5. En déduire que pour tout entier relatif $k$, \[ u_{\lfloor x \rfloor+k}(x) = o(x^r e^{x}) \] quand $x \to +\infty$. Montrer alors que \[ M_x = o(x^r e^x). \] (On pourra d’abord démontrer que, pour $x$ assez grand, $M_x = u_{\lfloor x \rfloor + i}(x)$ pour un entier $i$ compris entre $\lfloor r \rfloor – 1$ et $\lfloor r \rfloor + 2$.)} 6. Soit $z$ un nombre complexe tel que $|z| = 1$ et $z \neq 1$. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[ D_n = \sum_{k=0}^{n-1} z^k. \] Pour tout nombre réel $x > 0$, comparer $S_{r,1}(z x)$ à la somme \[ \sum_{n=1}^{+\infty} D_n \left( u_{n-1}(x) – u_n(x) \right). \] En déduire que pour tout $x$ au voisinage de $+\infty$, \[ |S_{r,1}(z x)| \leq \frac{4 M_x}{|1 – z|} \] et conclure que lorsque $x \to +\infty$, \[ S_{r,1}(z x) = o(x^r e^x). \] 7. On pose $\xi = \exp\left(\frac{2 i \pi}{p}\right)$. Pour tout réel $x$, montrer que \[ \sum_{k = 0}^{p-1} S_{r,1}(\xi^k x) = p S_{r,p}(x) \] et en déduire que les énoncés $(H_{r,p})$ et $(H_{r,1})$ sont équivalents. 8. Pour tout réel $-\ > 0$, montrer que $\mathbb{P} \left( |X_x – x| > – x^{2/3} \right) \to 0$ quand $x \to +\infty$. 9. Montrer que, pour tout réel $x > 1$, les variables aléatoires \[ A_x = \mathbf{1}_{\{Z_x<1-x^{-1/3}\}} Z_x^r \qquad \text{ et } \qquad B_x = \mathbf{1}_{\{|Z_x-1| \leq x^{-1/3}\}} Z_x^r \] sont d’espérance finie et trouver les limites de $\mathbb{E}(A_x)$ et de $\mathbb{E}(B_x)$ lorsque $x \to +\infty$. 10. Montrer que pour tout réel $x>0$, la variable aléatoire \[ Y_{N,x} = \mathbf{1}_{\{X_x > x + x^{2/3}\}} \prod_{k=0}^{N-1}(X_x-k) \] est d’espérance finie et que \[ x^N \mathbb{P}(X_x > x + x^{2/3} – N) = \mathbb{E}(Y_{N,x}). \] Déduire alors de la question 8 que $\mathbb{E}(Y_{N,x}) = o(x^N)$ quand $x \to +\infty$.} 11. Montrer qu’il existe des réels $a_1, …, a_N$ tels que pour tout réel $x > 0$, \[ \mathbf{1}_{\{X_x > x + x^{2/3}\}} X_x^N = \sum_{k=1}^N a_k Y_{k,x} \] et en déduire la limite de $\mathbb{E}\left[ \mathbf{1}_{\{Z_x > 1 + x^{-1/3}\}} Z_x^N \right]$ lorsque $x \to +\infty$. 12. Démontrer que $\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{Z_x > 1 + x^{-1/3}\}} Z_x^r \right] \to 0$ quand $x \to +\infty$. En déduire que $\mathbb{E}(Z_x^r) \to 1$ quand $x \to +\infty$ et conclure à la validité de l’énoncé $H_{r,1}$. 13. En remarquant que pour tout réel $x > 0$, \[ S_{r,p}(x) = x^p \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(p(n+1))^r}{(p(n+1))!} x^{np}, \] déduire du lemme de comparaison asymptotique des séries entières que $S_{r,p}(x) \sim_{x \to +\infty} x^p S_{r-p, p}(x)$. En déduire que $(H_{r, p})$ implique $(H_{r-p, p})$ et conclure à la validité de $(H_{r, p})$. 14. Soit un réel $x > 0$. Pour tout entier $n > 0$, on pose \[ v_n = \sum_{k=1}^n \ln k + x \ln n – \sum_{k=0}^n \ln(x + k). \] Établir la convergence de la série $\sum(v_n – v_{n-1})$, et en déduire l’existence d’un réel $\Gamma(x) > 0$ vérifiant la formule d’Euler : \[ \prod_{k=0}^n (x+k) \sim_{n \to +\infty} n^x \frac{n!}{\Gamma(x)}. \] 15. Justifier qu’il existe une unique solution $f$ de (Ai) sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$.} 16. Expliciter une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que pour tout réel $t$, $f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n$. 17. Démontrer que $a_{3n} \sim \frac{(2/3)^{n+1/3}}{9^n (n!)^2}$ puis que $a_{3n} \sim n^{-1/6} \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} \frac{3^{2n}}{(2n)!}$ lorsque $n \to +\infty$. 18. En déduire une constante $C$, que l’on exprimera à l’aide de $\left(\frac{2}{3}\right)$, telle que \[ f(t) \sim_{t \to +\infty} C t^{-1/4} \exp\left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right). \]}FAQ
La factorielle domine toute puissance : en appliquant le critère du rapport (ou en utilisant Stirling), on obtient pour la première série que le rapport des termes tend vers 0 quel que soit z, donc le rayon de convergence est +\infty. Pour la seconde série, la substitution w = z^p montre que c’est essentiellement la même série indexée sur n mais en variable w, donc son rayon de convergence en z est encore +\infty. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé détaillé.
Pour x>0 fixé, ψ_x(1)=−x<0 et ψ_x(t)→+∞ quand t→+∞, donc ψ_x s’annule en un unique t_x≥1. L’inégalité u_{n+1}(x)/u_n(x) ? 1 s’exprime par une condition équivalente à ψ_x(n+1) ? 0 : ainsi les u_n croissent tant que n≤⌊t_x⌋ et décroissent pour n>⌊t_x⌋. L’argument rigoureux fait intervenir le rapport des termes et la définition de t_x ; voir le corrigé pour les détails techniques.
On développe (x−1)^r=(x)^r(1−1/x)^r et on trouve t↦x donne ψ_x(x)≈x(1−r/x)−x=−r, donc ψ_x(x)→−r lorsque x→+∞. En combinant ceci avec la définition de t_x et un argument d’approximation on en déduit que t_x−x−r→0 quand x→+∞ ; autrement dit t_x∼x+r. Le corrigé montre les détails via une définition formelle de limite.
Le maximum des u_n est localisé près de n≈x et les rapports successifs tendent vers 1 lorsque n−x reste borné et x→+∞ (contrôle par Stirling / développement local). D’où u_{⌊x⌋+k}(x)∼u_{⌊x⌋}(x) pour tout entier k fixé. En particulier, pour x assez grand, la somme sur n∈[⌊x⌋−n,⌊x⌋] dépasse n u_{⌊x⌋}(x). Le raisonnement est détaillé dans le corrigé.
Le terme maximal M_x est atteint à distance O(1) de ⌊x⌋ ; en utilisant l’estimation locale des u_n (Stirling/Euler) on montre que chaque u_{⌊x⌋+k} est négligeable devant x^r e^x quand x→+∞. En combinant avec le contrôle du nombre d’indices pertinents on obtient M_x=o(x^r e^x). Pour une preuve complète (notamment le choix précis des indices i entre ⌊r⌋−1 et ⌊r⌋+2), consulte le corrigé détaillé.
Avec D_n=\sum_{k=0}^{n-1} z^k on fait une sommation d’Abel : S_{r,1}(z x)=\sum_{n≥1} z^n u_n(x)=\sum_{n≥1} D_n( u_{n-1}(x)-u_n(x) ). Sur le cercle unité |D_n|≤2/|1−z|, ce qui donne |S_{r,1}(z x)|≤(4 M_x)/|1−z| pour x grand. Puisque M_x=o(x^r e^x), on en déduit S_{r,1}(z x)=o(x^r e^x) quand x→+∞. Voir le corrigé pour la sommation d’Abel complète.
Si ξ=exp(2iπ/p), les p valeurs ξ^k parcourent les racines de l’unité et on montre \sum_{k=0}^{p-1} S_{r,1}(ξ^k x)=p S_{r,p}(x) par séparation des classes modulo p dans la somme. D’où H_{r,p} est équivalent à H_{r,1} : la propriété asymptotique pour p découle de celle pour 1 et réciproquement.
C’est un phénomène de concentration autour de l’espérance (typique d’une loi de Poisson ou proche) : on applique des inégalités de type Tchebychev ou des estimations de queues (Chernoff) pour montrer que les probabilités de déviation de l’ordre x^{2/3} sont négligeables. Le résultat découle aussi des contrôles précédents sur les séries et moments ; détails techniques dans le corrigé.
Les indicatrices contrôlent deux zones : « très à gauche » et « proche de 1 ». Grâce à la concentration précédente, la masse s’accumule dans la fenêtre |Z_x−1|≤x^{−1/3}, donc E(A_x)→0 tandis que E(B_x)→1 (après normalisation par Z_x^r qui tend vers 1 en moyenne). Les espérances sont finies pour x>1 ; voir le corrigé pour le calcul rigoureux et l’échange limite/espérance.
Par définition Y_{N,x}=1_{\{X_x>x+x^{2/3}\}}\prod_{k=0}^{N-1}(X_x-k). Si l’on multiplie par la loi de probabilité on obtient l’égalité x^N P(X_x>x+x^{2/3}−N)=E(Y_{N,x}). Grâce à la question 8 (probabilité de grandes déviations→0) on en déduit E(Y_{N,x})=o(x^N) quand x→+∞. Les manipulations exactes sont dans le corrigé.
On écrit X_x^N comme combinaison linéaire finie des polynômes ∏_{j=0}^{k-1}(X_x−j) ; il existe donc a_1,…,a_N tels que 1_{\{X_x>x+x^{2/3}\}} X_x^N=\sum_{k=1}^N a_k Y_{k,x}. En prenant les espérances et en utilisant que chaque E(Y_{k,x})=o(x^k) on obtient E[1_{\{Z_x>1+x^{−1/3}\}} Z_x^N]→0 quand x→+∞. Détails algébriques et justification sont dans le corrigé.
La contribution de la queue droite est nulle asymptotiquement (question 11) et la partie centrale donne une contribution qui tend vers 1 (question 9). La portion gauche tend vers 0 aussi : on en déduit E(Z_x^r)→1 quand x→+∞. Cela établit l’énoncé H_{r,1} ; via la question 7 on obtient ensuite H_{r,p}. Le corrigé rassemble toutes les étapes et les limites d’espérance.
En factorisant le premier terme de la série on écrit S_{r,p}(x)=x^p\sum_{n≥0} (p(n+1))^r/(p(n+1))! x^{np} = x^p S_{r-p,p}(x) × facteur asymptotique mineur ; le lemme de comparaison asymptotique des séries entières donne S_{r,p}(x)∼ x^p S_{r-p,p}(x). Ainsi si H_{r,p} tient pour un r, on l’obtient aussi pour r−p en itérant l’argument, ce qui permet une récurrence sur r. Voir le corrigé pour la justification rigoureuse du lemme de comparaison.
On définit v_n=\sum_{k=1}^n \ln k + x\ln n − \sum_{k=0}^n \ln(x+k) et on montre que la suite des différences v_n−v_{n-1} est sommable, donc v_n converge. Posant Γ(x)=\lim_{n→∞} n^x n!/∏_{k=0}^n(x+k) on obtient la formule d’Euler souhaitée. Le calcul détaillé utilise des développements en séries et une comparaison terme à terme ; voir le corrigé pour la démonstration complète.
L’équation (Ai) (équation d’Airy ou variante polaire selon l’énoncé) admet une solution entière déterminée par les conditions initiales en 0 ; l’unicité découle du théorème d’existence et d’unicité pour ODE linéaires à coefficients analytiques. Il existe donc une unique série de puissance f satisfaisant f(0)=1 et f'(0)=0 sur ℝ. Les détails formels et la construction par série sont dans le corrigé.
Tu obtiens les coefficients a_n en injectant la série formelle dans l’équation différentielle et en identifiant les coefficients de t^n : cela donne une relation de récurrence reliant a_{n+3} à a_n (typique de l’équation d’Airy). On peut ainsi exprimer a_{3n}, a_{3n+1}, a_{3n+2} en fonction des premiers termes. Pour la formule explicite et la démonstration, reporte-toi au corrigé.
En utilisant la relation de récurrence et des méthodes d’approximation (stirling, méthodes d’intégrales de type Laplace sur les coefficients), on montre d’abord a_{3n}∼(2/3)^{n+1/3}/(9^n (n!)^2). Une autre formule équivalente s’obtient par transformation donnant a_{3n}∼ n^{−1/6} (2/3)^{\sqrt{\pi}/2} 3^{2n}/(2n)! ; ces développements mènent à l’asymptotique de la fonction f. Les étapes techniques sont exposées dans le corrigé.
La méthode de la somme dominante sur les coefficients donne l’asymptotique classique de la solution croissante : f(t)∼ C t^{−1/4} exp( (2/3) t^{3/2} ) quand t→+∞. La constante C s’exprime en termes de (2/3) et des facteurs issus des estimations précédentes ; la valeur explicite se trouve en suivant la normalisation issue des coefficients a_{3n} (voir le corrigé pour l’expression exacte de C en fonction de (2/3)).