Questions du sujet
1. Montrer que J est une matrice de permutation. Calculer les valeurs propres réelles et complexes de J, et en déduire que J est diagonalisable sur $\mathbb{C}$. 2. Déterminer une base de $\mathbb{C}^n$ de vecteurs propres de J. 3. Déterminer $U_0$ et une matrice A de $M_n(\mathbb{R})$ telle que pour tout $m \in \mathbb{N}$, $U_{m+1} = AU_m$. On exprimera A à l’aide de la matrice J. 4. Déterminer les valeurs propres de la matrice A et un vecteur propre de $\mathbb{R}^n$ unitaire associé à la valeur propre de module maximal. 5. En déduire la limite de $U_m$ lorsque $m \to +\infty$.} 6. Montrer que l’ensemble $B_n$ est convexe et compact. Est-il un sous espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$ ? 7. Montrer que $P_n \subset B_n$ et que $P_n$ est un sous-groupe multiplicatif de $GL_n(\mathbb{R})$. Tout élément de $P_n$ est-il diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ? L’ensemble $P_n$ est-il convexe ? 8. Montrer que toute matrice de $P_n$ est extrémale dans $B_n$. 9. Montrer qu’il existe un entier $r > 0$ et deux familles $i_1, i_2, \ldots, i_r$ et $j_1, j_2, \ldots, j_r$ d’indices distincts dans $\{1, 2, \ldots, n\}$ tels que pour tous $k \in \{1, 2, \ldots, r\}$, $A_{i_k, j_k} \in ]0, 1[$ et $A_{i_k, j_{k+1}} \in ]0, 1[$ avec $j_{r+1} = j_1$. 10. En considérant la matrice $B = (B_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ de $M_n(\mathbb{R})$ définie par : \[ \begin{cases} B_{i_k, j_k} = 1 & k \in \{1, 2, \ldots, r\} \\ B_{i_k, j_{k+1}} = -1 & k \in \{1, 2, \ldots, r\} \\ B_{i,j} = 0 & \text{dans les autres cas} \end{cases} \] montrer que A n’est pas un élément extrémal de $B_n$. En déduire l’ensemble des éléments extrémaux de $B_n$.} 11. Montrer que A admet un chemin strictement positif. 12. Montrer que $A_0$ est bien définie, et que c’est une matrice bistochastique contenant au moins un élément nul de plus que $A$. 13. En raisonnant par récurrence, démontrer que $A$ s’écrit comme une combinaison linéaire d’un nombre fini de matrices de permutation $M_0, M_1, \ldots, M_s$ : \[ A = \lambda_0 M_0 + \lambda_1 M_1 + \cdots + \lambda_s M_s \] où les coefficients $\lambda_i$ sont tous strictement positifs et de somme $\sum_{i=0}^s \lambda_i = 1$. 14. Soit $\varphi$ une forme linéaire de $M_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\inf_{M \in P_n} \varphi(M)$ existe. En déduire que $\inf_{M \in B_n} \varphi(M)$ existe et est atteint en une matrice de permutation. 15. Montrer que pour tous $A \in M_n(\mathbb{R})$ et $P, Q$ dans $O_n(\mathbb{R})$, on a $\|PAQ\| = \|A\|$.} 16. Montrer qu’il existe deux matrices diagonales réelles $D_A, D_B$, et une matrice orthogonale $P = (P_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ telles que $\|A – B\|^2 = \|D_A P – P D_B\|^2$. 17. Montrer que la matrice $R$ définie par $R_{i,j} = (P_{i,j})^2$ pour tous $i, j$ dans $\{1, 2, \ldots, n\}$ est bistochastique et que \[ \|A – B\|^2 = \sum_{1 \leq i,j \leq n} R_{i,j} |\lambda_i(A) – \lambda_j(B)|^2 \] où $\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A)$ désignent les valeurs propres de $A$ et $\lambda_1(B), \ldots, \lambda_n(B)$ celles de $B$. 18. En déduire que \[ \min_{\sigma} \sum_{j=1}^n |\lambda_{\sigma(j)}(A) – \lambda_j(B)|^2 \leq \|A – B\|^2 \] où le minimum porte sur l’ensemble de toutes les permutations de $\{1, 2, \ldots, n\}$. 19. Montrer que \[ d^2(P_1, P_2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |a_{(i)} – b_{(i)}|^2 \] où l’on a noté $a_{(1)} \leq \cdots \leq a_{(n)}$ et $b_{(1)} \leq \cdots \leq b_{(n)}$ les suites $(a_1, \ldots, a_n)$ et $(b_1, \ldots, b_n)$ réordonnées par ordre croissant. En déduire que pour toutes matrices symétriques réelles $A, B$ de valeurs propres respectives $(a_1, \ldots, a_n)$ et $(b_1, \ldots, b_n)$, on a l’inégalité : \[ n d^2(P_1, P_2) \leq \|A – B\|^2. \] }FAQ
Une matrice de permutation est une matrice carrée binaire (composée de 0 et de 1) où chaque ligne et chaque colonne contient exactement un 1. Pour montrer que J est une matrice de permutation, tu dois vérifier que ses coefficients sont bien 0 ou 1 et que chaque ligne et chaque colonne a un seul 1. C’est une propriété fondamentale en algèbre linéaire, souvent utilisée en théorie des groupes et en combinatoire. Si tu veux voir un exemple concret, n’hésite pas à débloquer les corrigés pour accéder à des exercices détaillés !
Les valeurs propres d’une matrice de permutation sont des racines de l’unité, car ces matrices sont orthogonales et leur polynôme caractéristique se factorise en termes de racines complexes. Pour J, tu peux utiliser le fait que J^n = I (matrice identité) pour en déduire que ses valeurs propres sont des racines n-èmes de l’unité. C’est un résultat classique en réduction des endomorphismes. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé détaillé !
Une matrice de permutation est diagonalisable sur ℂ car elle est normale (elle commute avec sa transposée) et que tout endomorphisme normal est diagonalisable dans une base orthonormée. C’est un théorème central en algèbre linéaire, lié à la décomposition spectrale. Si tu veux approfondir ce point, le corrigé propose une démonstration rigoureuse.
Pour construire une base de vecteurs propres, tu peux utiliser les racines de l’unité et les vecteurs de Fourier. Ces vecteurs sont définis en utilisant les puissances des racines complexes et forment une base orthonormée de ℂⁿ. C’est une technique puissante en analyse harmonique et en théorie des représentations. Le corrigé te guide pas à pas dans cette construction !
Une matrice bistochastique est une matrice carrée dont les coefficients sont positifs et dont la somme des coefficients sur chaque ligne et chaque colonne vaut 1. Les matrices de permutation sont des cas particuliers de matrices bistochastiques. L’ensemble des matrices bistochastiques est convexe et compact, ce qui en fait un objet d’étude important en optimisation convexe. Pour voir des exemples, débloque les corrigés !
Pour montrer qu’un ensemble est convexe, tu dois vérifier que toute combinaison convexe de deux éléments de l’ensemble reste dans l’ensemble. Pour la compacité, tu peux utiliser le fait que l’ensemble est fermé et borné dans un espace de dimension finie. C’est une notion clé en topologie et en analyse fonctionnelle. Le corrigé détaille ces propriétés pour l’ensemble Bₙ.
Un élément extrémal d’un ensemble convexe est un point qui ne peut pas s’écrire comme combinaison convexe stricte de deux autres points distincts de l’ensemble. Dans le cas des matrices bistochastiques, les matrices de permutation sont des éléments extrémaux. C’est un concept fondamental en analyse convexe et en optimisation. Le corrigé explique pourquoi les matrices de permutation sont extrémales dans Bₙ.
D’après le théorème de Birkhoff-Von Neumann, toute matrice bistochastique peut s’écrire comme une combinaison convexe de matrices de permutation. C’est un résultat profond en algèbre linéaire et en théorie des matrices. Le corrigé te montre comment appliquer ce théorème pour décomposer une matrice bistochastique donnée. C’est un outil puissant pour comprendre la structure des matrices bistochastiques !
La distance entre deux matrices symétriques réelles peut être définie à l’aide de la norme de Frobenius, qui est la racine carrée de la somme des carrés des différences entre leurs coefficients. Pour deux matrices symétriques, cette distance est liée aux valeurs propres des matrices. C’est un sujet important en algèbre linéaire numérique et en optimisation matricielle. Le corrigé détaille cette relation !
Pour comparer deux matrices symétriques, tu peux utiliser leurs valeurs propres triées. En effet, la distance entre les valeurs propres triées donne une borne inférieure sur la distance entre les matrices. C’est une technique courante en analyse spectrale et en théorie des perturbations. Le corrigé montre comment appliquer cette méthode pour obtenir des inégalités précises.