Questions du sujet
1. Soit $r$ et $R$ des nombres réels strictement positifs, $\alpha$ et $\theta$ des nombres réels. On note $w = r e^{i\alpha}$ et $z = R e^{i\theta}$. Montrer que l’équation $z e^{z} = w$ équivaut au système : \[ \begin{cases} Re^{R\cos(\theta)} = r \\ R\sin(\theta) = \alpha – \theta \quad (\text{modulo } 2\pi). \end{cases} \]} 2. Déterminer les limites de $\varphi(\theta)$ lorsque $\theta \to 0^{+}$ et lorsque $\theta \to \pi^{-}$. Que peut-on en déduire sur les solutions de l’équation $\varphi(\theta) = r$ pour $r > 0$ fixé~?} 3. Déduire de ce qui précéde que $g$ est surjective.} 4. Montrer qu’il existe $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$ telle que $N^{n-1}X \neq 0$ et que la famille $\{X, NX, \ldots, N^{n-1}X\}$ est libre.} 5. En déduire que $N$ est semblable à $J_{n}(0)$.} 6. Montrer que $e^{J_n(0)}$ est inversible et que $J_n(0) e^{J_n(0)}$ est nilpotente d’indice $n$.} 7. Montrer que si $P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ est inversible, on a $P e^{J_n(0)}P^{-1} = e^{P J_n(0) P^{-1}}$. En déduire qu’il existe $N^e \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $J_n(0) = N^e e^{N^e}$.} 8. Justifier l’existence d’un nombre complexe $\mu \neq -1$ tel que $\lambda = \mu e^{\mu}$ et montrer que l’on peut écrire : \[ J_n(\mu) e^{J_n(\mu)} = \lambda I_n + (\mu+1)e^{\mu} J_n(0) + (J_n(0))^2 p(J_n(0)) \] où $p$ est un polynôme à coefficients complexes qui dépend de $\mu$.} 9. Montrer que $(\mu+1) e^{\mu} J_n(0) + (J_n(0))^2 p(J_n(0))$ est nilpotente d’indice $n$. En déduire qu’il existe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $J_n(\lambda) = M e^M$.} 10. Montrer qu’il existe $B \in \mathcal{M}_{p,n-p}(\mathbb{C})$ et $C \in \mathcal{M}_{n-p,n-p}(\mathbb{C})$ telles que $N$ est semblable à la matrice par blocs suivante : \[ A = \begin{pmatrix} J_p(0) & B \\ O & C \end{pmatrix} \] où $O$ est la matrice nulle de $\mathcal{M}_{n-p,p}(\mathbb{C})$.} 11. Pour tout $X \in \mathcal{M}_{p, n-p}(\mathbb{C})$, on définit la matrice par blocs $T_X$ suivante : \[ T_X = \begin{pmatrix} I_p & X \\ O & I_{n-p} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). \] Montrer que $T_X$ est inversible et calculer son inverse. Vérifier que $A’ = T_X A T_X^{-1}$ est de la forme \[ A’ = \begin{pmatrix} J_p(0) & Y \\ O & Z \end{pmatrix} \] où l’on explicitera les matrices $Y \in \mathcal{M}_{p, n-p}(\mathbb{C})$ et $Z \in \mathcal{M}_{n-p, n-p}(\mathbb{C})$.} 12. Montrer que dans l’écriture de $A’$ de la question précédente, on peut choisir $X \in \mathcal{M}_{p, n-p}(\mathbb{C})$ de telle sorte que toutes les lignes de $Y$, à l’exception éventuelle de la dernière, soient nulles. (On pourra noter $X^{(i)}$ la $i$-ème ligne de $X$ pour $i \in \{1, \ldots, p\}$ et étudier l’effet sur les lignes de $X$ de la multiplication par $J_p(0)$ dans le produit $J_p(0) X$.)} 13. Justifier que $A’$ est nilpotente d’indice $p$. En déduire que si la matrice $X$ est choisie comme dans la question précédente, la matrice $Y$ est nulle. (On pourra raisonner par l’absurde en étudiant l’effet des endomorphismes associés aux puissances de $A’$ sur les vecteurs de la base canonique de $\mathbb{C}^n$.)} 14. En déduire que lorsque $1 \leq p \leq n$, la matrice nilpotente $N$ est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme : \[ \begin{pmatrix} J_{p_1}(0) & (0) & & \\ & J_{p_2}(0) & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{p_r}(0) \end{pmatrix} \] où $r$ et $p_1, p_2, \ldots, p_r$ désignent des entiers naturels non nuls.} 15. Montrer que l’espace vectoriel $\mathbb{C}^n$ est la somme directe des espaces $F_i$. En considérant une base de $\mathbb{C}^n$ adaptée à cette somme directe, montrer que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme : \[ \begin{pmatrix} \lambda_1 I_{\alpha_1} + N_1 & (0) \\ & \lambda_2 I_{\alpha_2} + N_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_s I_{\alpha_s} + N_s \end{pmatrix} \] où $N_1, N_2, \ldots, N_s$ sont des matrices nilpotentes.} 16. Montrer que l’application $A \mapsto A e^A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dans lui-même est surjective.}FAQ
Écris z e^z = R e^{i\theta} \cdot e^{R\cos\theta} e^{iR\sin\theta} = R e^{R\cos\theta}\, e^{i(\theta+R\sin\theta)}. L’égalité z e^z = w = r e^{i\alpha} impose l’égalité des modules et des arguments à un multiple de 2\pi. On obtient donc : Re^{R\cos\theta}=r et \theta+R\sin\theta\equiv\alpha\pmod{2\pi}, ce qui revient à R\sin\theta=\alpha-\theta\ (\text{mod }2\pi).
Pour résoudre Re^{R\cos\theta}=r en fixant un paramètre angulaire, on étudie le comportement des quantités intervenant en θ. Lorsque θ→0^+ ou θ→π^-, le terme sinθ→0 et les quantités R qui satisfont la seconde équation R sinθ=α-θ+2kπ doivent tendre vers +∞ (pour compenser le petit dénominateur). Concrètement, les branches paramétrées par θ donnent des R qui divergent près de 0 et π, de sorte qu’en faisant varier θ sur (0,π) on balaye des valeurs de r de 0 à +∞ par continuité ; pour tout r>0 fixé on trouve donc des θ (et des indices entiers k) donnant des solutions.
En combinant les observations précédentes sur la représentation polaire et le fait que pour tout r>0 et tout argument α on trouve des solutions (variations en θ et indices entiers k), on montre de façon constructive que pour tout w=r e^{iα} il existe z tel que z e^z=w. Autrement dit, chaque valeur complexe est atteinte : g est surjective. (On peut aussi invoquer le théorème de Picard essentiel pour une preuve complexe globale.)
Considère l’indice de nilpotence de N, égal à m≤n. Si m=n on prends X tel que N^{n-1}X≠0 (existe par définition de l’indice). Si l’indice est m on travaille dans l’espace image de N^{n-m} pour obtenir une chaîne de longueur n. La liberté de la famille se vérifie en appliquant N^{n-1},N^{n-2},… successivement : une combinaison linéaire nulle ∑ a_k N^k X=0, en appliquant N^{n-1} annule tous les termes sauf a_0 N^{n-1}X qui doit être nul, d’où a_0=0 ; on récursive sur les autres coefficients. C’est la construction classique d’une chaîne de Jordan (vecteur cyclique).
La famille libre {X,NX,…,N^{n-1}X} est une base de C^n ; la matrice de l’endomorphisme N dans cette base est exactement la matrice de Jordan nilpotente J_n(0) (les images successives décalent les vecteurs). Donc N est semblable à J_n(0).
e^{J_n(0)} est une somme finie I+J+J^2/2!+…+J^{n-1}/(n-1)! (J^n=0), donc det(e^{J_n(0)})=e^{tr(J_n(0))}=e^0=1 — en particulier elle est inversible. Par ailleurs J e^{J}=J+J^2/1!+…+J^{n-1}/(n-2)! est une combinaison de puissances strictement positives de J, donc c’est une matrice nilpotente; sa puissance n est nulle car chaque terme est multiple de J, et J^n=0. L’indice de nilpotence ≤ n et on vérifie qu’il vaut n par construction.
Pour P inversible, la série d’exponentielle commute à la conjugaison : P e^{J} P^{-1}=e^{P J P^{-1}} car on conjugue terme à terme la série. Si e^{J} est inversible on peut poser N^e=J e^{-J} (ici J=J_n(0)) ; alors N^e e^{N^e}=J e^{-J} e^{J e^{-J}} et en utilisant la compatibilité par conjugaison et les identités formelles on obtient l’égalité voulue après vérifications algébriques (construction classique : on résout N e^{N}=J).
Comme g(z)=z e^z est surjective, pour toute valeur propre λ il existe μ≠−1 telle que λ=μ e^{μ}. Écris J_n(μ)=μ I+J_n(0) et e^{J_n(μ)}=e^{μ} e^{J_n(0)}. Le produit donne, en développant et regroupant les termes selon les puissances de J_n(0), l’identité : J_n(μ)e^{J_n(μ)}=λ I_n+(μ+1)e^{μ}J_n(0)+(J_n(0))^2 p(J_n(0)), où p est un polynôme obtenu par le développement des termes d’ordre ≥2.
Les deux termes sont des polynômes en J_n(0) sans terme constant, donc leur somme est nilpotente (ses seules valeurs propres sont 0). Comme il est nilpotent d’indice ≤ n, on applique la construction précédente (cas nilpotent) : on trouve une matrice M (construite comme somme d’un nilpotent et d’un scalaire convenable) telle que J_n(λ)=M e^M. C’est la même méthode que pour les blocs de Jordan nilpotents, adaptée après centrage par μ.
Soit p=rang N. Choisis une base adaptée à l’image et au noyau de N: complète une base d’Im N par des vecteurs envoyés par N sur une base choisie de Im N, etc. On peut alors placer N sous forme triangulaire par blocs où la sous-matrice en haut à gauche agit comme J_p(0), les blocs inférieurs correspondent aux autres chaînes de Jordan et le bloc supérieur droit B est une matrice arbitraire de M_{p,n-p}(C). Cette construction s’obtient par choix de bases compatibles avec la filtration par images successives de N.
T_X est inversible et son inverse s’écrit T_X^{-1} = [[I_p, -X],[0, I_{n-p}]]. En effectuant la conjugaison par blocs on obtient A’ = [[J_p(0), J_p(0)X + B – X C],[0, C]], donc Y = J_p(0)X + B – X C et Z = C. C’est la formule de passage de bloc par conjugaison par une matrice de cisaillement.
Note que la multiplication J_p(0)X décale les lignes de X vers le haut (la i-ème ligne de J_p(0)X dépend de la (i+1)-ème ligne de X). En résolvant de manière récursive les équations ligne par ligne pour J_p(0)X + B – X C = Y, tu peux choisir les lignes X^{(i)} pour annuler successivement les premières lignes de Y : commence par la première ligne à annuler et remonte en utilisant la dépendance en décalage. Cette récurrence permet d’obtenir Y nul sur toutes les lignes sauf éventuellement la dernière.
Si A’ est nilpotente d’indice p, alors l’action des puissances de A’ sur les vecteurs de la base canonique conduit à une annulation des composantes supérieures après au plus p-1 itérations. Si une ligne de Y (autre que la dernière) était non nulle, on exhiberait un vecteur dont les images par A’ restent non nulles plus longtemps que p-1 itérations, contredisant l’indice de nilpotence. Ainsi, pour respecter l’indice p, toutes les lignes de Y sauf éventuellement la dernière doivent être nulles; l’argument de filtration/amplitude des chaînes de Jordan force finalement Y=0.
En répétant l’argument précédent récursivement sur le bloc inférieur (de taille n-p) on décompose N en blocs de Jordan nilpotents de diverses tailles p_1,p_2,…,p_r. La procédure d’éclatement par chaînes de Jordan donne exactement la forme diagonale par blocs avec J_{p_i}(0) sur la diagonale. C’est la forme normale de Jordan pour une matrice nilpotente.
Décompose C^n comme somme directe des sous-espaces généralisés F_i associés aux valeurs propres λ_i (espaces propres généralisés). Choisis une base adaptée à cette somme directe ; la matrice de A dans cette base est bloc diagonale, chaque bloc correspondant à l’action de A sur F_i et s’écrit λ_i I_{α_i}+N_i où N_i est nilpotente (partie de Jordan). C’est la forme de Jordan généralisée : blocs diagonaux avec partie scalaire plus nilpotente.
On montre que tout bloc de Jordan λ I+N (avec N nilpotente) est de la forme M e^M pour une certaine matrice M (construction déjà faite en centrant par μ tel que λ=μ e^{μ} puis traitant la partie nilpotente). Comme toute matrice est similaire à une matrice bloc diagonale λ_i I+N_i, et que la propriété d’être une expo-convolution se conserve par conjugaison, on en déduit que toute matrice A s’écrit M e^M pour une certaine M, donc l’application est surjective. Si tu veux le corrigé détaillé et le suivi pas-à-pas avec les calculs complets, débloque les corrigés sur Prépa Booster pour accéder au corrigé complet de l’épreuve, aux exercices corrigés et au dashboard personnalisé.